книги из ГПНТБ / Мазин П.Н. Основы ядерной электроники учеб. пособие
.pdfПо найденным коэффициентам мохво написать асимпто тический ряд
|
|
|
< п / ) ( 1 |
tD 1" / I |
|
т |
‘ Н р « - р ) |
' i ' 1 w F p ) f (г}' |
|
||
' (i-2p)(i-p +p s) |
|
Ю (/-2р) |
}> |
||
^ |
% р (/-р ) |
|
?%)+* |
||
|
б! Nep(hp) |
|
|||
где |
|
_ |
|
|
|
|
„ |
N ~ N _ |
Н-рМо |
|
|
|
г ° |
Щ |
Щ р1/-р) |
|
|
Все это било построение асимптотического ряда, ос нованное на ортогональных полиномах Эрмита. Выражение плотности вероятности ряда через ряды Эджворта и Гра- ма-1 арлье удобно в том случае, когда искомый закон тя
готеет к нормальному распределению. Обычно это имеет место при достаточно хоромей статистике, когда не учи тывается влияние электронной схемы. Для случая анализа прохождения сигнала по каналу измерительного прибора,
когда случайная величина X |
неотрицательна, |
импульс |
||
ная характеристика электрической цепи h ( i ) > |
О для |
|||
всех значений времени t |
, а плотность вероятности |
|||
сигнала на выходе четырехполюсника У |
сосредоточена |
|||
в области значений 0^ |
4^ ° ° |
, целесообразно прини |
||
мать разложение по полиномам Лаггера [ 6 |
] , так как |
|||
закон распределения при этом будет несимметричным. |
||||
Используя функцию |
F ^ u i ) = е х р (- |
|
|
|
как базу (ядро разложения) для выражения какой-нибудь плотности вероятности f(id-) , получим
НО
|
|
/ М |
- |
п t) |
|
(2.5.3) |
|
|
|
|
(го) |
|
|||
|
|
|
т=о |
|
|
|
|
ИЛИ |
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f М |
= 2 |
й/77 ел^ |
(~М-)Х<г '/*,) |
\ |
||
|
|
т*с |
|
|
|
|
|
где |
- |
коэффициента |
ряда, |
а |
|
|
|
(l-f) |
' |
|
|
//77 |
г |
_ |
|
X щ |
( ^ = ~ / е * / ° ( г м ) и £ - <г~1) — — т ieaLp(-u^)u^m tri,l\ |
||||||
|
т■ |
|
|
а Ю |
L |
] |
|
есть |
поливон Лаггера. |
|
|
|
|
||
|
Полиномы Лаггера ортогональны на участке от С до |
||||||
^ |
. Умножая |
Х *'°Ы ) |
на |
Х ^ ° ( и я ) |
м интегрируя |
||
от нуля до бесконечности, получим из-за ортогональности полиномов Лаггера выражение для коэффициентов ряда
*п ~ T ^ 7n) \ f (u>) |
• |
(2 ,5 *4) |
о |
|
|
Подставляя в данное выражение полином Лаггера и вводя
начальные |
моменты величины |
и} |
|
|
|
|||
|
и г / 1^ |
*f(*>)<**> |
; |
то,и> = |
/ , |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
можно получить первые коэффициент |
= 0 , |
выбирая |
||||||
г |
- т |
t и второй коэффициент аг |
= |
О |
, если момен |
|||
ты |
m UVJ |
и |
rnt uf |
удовлетворяв! |
условии» |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Л1 |
т. иЛ |
(г +1)т |
i'Uf- |
+- — ( г -<-{) =О , |
|
|||
2 |
|
|
g |
' |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что вместе дает |
т г, -ил |
т 1 ил |
* т /, им |
|
|||
Условие а |
= |
= 0 |
может быть получено, |
если перей |
|||
ти к новой переменной, |
произведя |
с первой линейное пре |
|||||
образование вида |
zo- — |
|
, где |
^ |
- сопи. |
Начальные |
|
моменты новой величины связаны с начальными моментами
величины и* |
выражением |
|
|
т 7,ил |
Ч |
|
|
|
Приняв а |
О , имеем |
|
|
/77 L J L |
|
|
? - /г?„ |
/77 f |
|
Ч |
" Ч |
Связь между кумулянтами и начальными моментами, как бы ло показано выше, имеет вид:
|
= т . , ; |
|
|
|
|
|
|
|
Ч |
|
|
|
2 |
|
|
|
у-' ^ |
= |
m n4J ~ |
|
|
||
ч |
С5, |
т . |
’ |
|
|||
* |
|
Ч |
|
Ч |
|
||
зе„ = /77 |
- |
3 Z |
^ |
^ |
ч |
И т.д. |
|
Ч |
^ |
|
^ |
|
ч |
|
|
Используя выражения для |
|
^ |
и кумулянтов, запишем: |
||||
9 |
X,ч |
|
|
|
|
|
|
1 - |
т1,ил |
|
|
|
|
|
|
112
Clj |
Qg = 0 , |
(2.5.5)
где
r(i) - J t V V *1 .
o
Беря только четыре первых члена ряда, получим окон чательное выражение
(2.5.6)
[ - и£ъ+ 3(г +2)и/~ Ъ(г+2.)(г+{)и>+(г+2.)(г+{)гу
Таким образом, определив так или иначе кумулянты случайное величины , можно получить приближенное выражение для ее плотности вероятности.
§ 6 . Теорема о наложении случайных возмущений
При измерении тех или иных параметров ЯИ в боль шинстве случаев задача сводится к сложению случайных
8 |
ИЗ |
величин. Например, на выходе детектора ЯИ сигнал обычно носит ижпульсныв характер, причем импульсы, как правило, имеют экспоненциальный спад и накладываются друг на друга. Степень наложения может быть очень вели ка, тогда говорят о токовом режиме работы детектора. Сигнал, естественно, при этом является огибащей, оп ределяемой суммой всех элементарных импульсов. Если на ложения элементарных импульсов нет, то они суммируются в силу принципа измерения конкретного параметра ЯИ. Для математического описания таких явлений целесообраз но применять так называемую теорему о наложении случай ных возмущений. В настоящее время она вироко применяет ся для описания дробового тока [7 ] , реверберации [8 ], процессов в ионизационной камере [ 9 ] и в радиотехничес ких схемах [ 10 ] .
Реализация случайного процесса в этом случае пред
ставляется |
в виде |
суммы |
|
|
|
|
N |
|
|
|
(2 .6 .1) |
|
|
|
i =/ |
где я , |
- |
случайная амплитуда г -го импульса; |
|
S(i) |
- |
форма |
i -го^импульса; |
t- |
- |
случайный момент появления г -го импульса; |
|
Н- случайное число импульсов, появившихся за
t |
время t ; |
- момент времени наблюдения. |
|
Форма |
импульса обычно берется неслучайной, хотя |
можно и ее сделать изменяющейся по какому-то закону. Запись в виде (2 .6 .1 ) является частным случаем ме
тода канонических разложений случайных функций [5 ] ,
где а г - коэффициент разложения, S(t) - координатная функция.
Ш
Все амплитуды импульсов принимается статистически независимыми от моментов их появления. И те и другие параметры имеют свои плотности вероятности /(а) и f(t).
Реализация случайной функции |
|
является |
в мо |
||
мент |
t случайной величиной, |
зависящей от 2Н |
слу |
||
чайных параметров |
« г и tL |
. Для определения |
закона |
||
распределения значений величины x N (t ) |
необходимо |
||||
предварительно найти законы для амплитуд импульсов и |
|||||
моментов их появления. Другими словами, |
x N(i) |
являет |
|||
ся системой случайных величин, вид распределения кото |
|||||
рой |
определяется |
индивидуальными распределениями величин, |
|||
ее составляющих.
Теорема о наложении случайных возмущений устанавли вает связь между кумулянтами и параметрами импульсной последовательности. Для доказательства ее необходимо найти характеристическую функцию случайной величины X . В соответствии с формулой полной вероятности характе ристическую функцию системы случайных величин можно вы разить через условный закон появления импульсов и услов ную характеристическую функцию:
<30
|
|
в (о) |
- ’Ъ Р ( н н )в(°-/и11) , |
(2 .6 .2 ) |
|
|
|
|
N-0 |
|
|
W |
P (HN) |
- |
вероятность появления |
гипотезы |
Нм , |
|
|
|
которая состоит в появлении А/ |
им |
|
|
|
|
пульсов ; |
|
|
|
|
- условная характеристическая функция. |
|||
|
Так как |
характеристическая функция |
суммы равна про |
||
изведению характеристических функций случайных величин, составляющих эту сумму, то
I I 5
* |
Н » , , ) - п в ( * М (2.6.3) |
|
где Q(*** j Н ) ~ Условная |
характеристическая функция |
|
1 |
i -го члена импульсной последователь |
|
|
ности из |
А/ импульсов. Так как за |
коны распределения амплитуд и моментов появления импульсов одинаковы для всех импульсов, то
Таким образом, задача свелась к определению услов ней характеристической функции для одного импульса.Ею, очевидно, будет выражение, усредняющее случайные вели чины по всем возможным значениям. В данном случае необ ходимо усреднение произвести по амплитуде и по времени. Общее выражение для условной характеристической функ ции имеет вид
~ оо |
|
(2.6.5) |
|
|
|
гда f ( x l H t )- условный |
закон распределения при |
|
наличии одного импульса. Он равен |
||
произведению законов |
амплитуды а |
|
и времени |
e = t - t i |
, т .е . |
116
Тогда характеристическая функция будет равна
—с»о - схэ
При доказательстве теоремы о наложении случайных возмущений целесообразно усреднение по времени произ водить, используя эргодическое свойство процесса. Оно заключается в усреднении в пределах одной реализации больной протяженности, когда время наблюдения реализа ции увеличивается теоретически бесконечно. На практи ке интервал наблюдения т всегда конечен, поэтому все последующие выкладки будут приближенными. Функция
$(t - t,) » определяющая форму импульса, |
при этом мо |
|
жет быть усреднена следующим образом: |
|
|
7 |
t-T |
t |
S(t-ti) -jjstt-tjdti-jJsfeW -ehjJsm e.
о |
t |
t -т ( 2 .6 .6 ) |
Формула (2.6.6) получена с иомощью замены переменной |
||
t |
- t ^ e . |
|
Примем произвольный момент i |
равным 1 . Тог- |
|
да |
|
|
S ( t - t ) |
Т S(6)d6 . |
(2.6.7) |
|
||
Формула (2.6.5) с учетом эргодмческого свойства примет вид
117
(2 .6 .8)
«90 |
T |
OO |
у |
- |
0 |
- fflaU a Ш м % у |
|
-°° |
30 |
0 |
|
где ar = aS(&) •
Условная характеристическая функция импульсной по следовательности из /V импульсов будет равна
е ( % ) ' \ р м « ф м Ы ' -
0 |
(2.6.9) |
Пусть закон распределения гипотез представляет со бой закон Пуассона, т.е.
( п Т ) н |
_п Т |
р (н„) =рт (Ю
(2.6 .10)
где гг - интенсивность появления импульсов;
Т- время наблюдения (равнее было t ).
Подставляя (2.6.10) в (2 .6 .2), получим
m = 2 |
(пТ) ы |
е* а& (2.6.11) |
|
N! '"1 |
|||
/V=P |
|
||
или |
|
л |
|
|
|
||
|
|
■>М Ъ |
118
оо |
Я*/Т |
|
~nT [n ffta jd a fe |
|
|
= e |
|||
|
= e |
g -<*> |
о |
|
L N'-O "/К7 |
|
|
|
|
|
|
ii?ag(0). |
|
|
= exp \\njf(a)daJe} |
de |
|
||
= еяуэ |
|
^jl?ag(e> J |
de • |
|
W]
(2.6.12)
Формула (2.6.12) дает выражение характеристической функции сигнала через параметры импульсной последова тельности: интенсивность, закон распределения амплиту ды, амплитуду импульса, его форму, закон распределения интервала между импульсами. Так как характеристическая функция определяется посредством усреднения по ансамб лю амплитуд и использования эргодического свойства про цесса, то из-за конечного времени наблюдения Т ра венство будет приближенным.
Бпринципе закон распределения случайной величины
xN(T) можно найти через обратное преобразование
Фурье, т.е.
. |
_ |
°° |
«э |
f( x ) = ~ |
J e x p |
- ^ H(T )^ + n J f( a ) d a J ( / ° ***- j)d0 did, |
|
(2.6.13)
Однако определить функцию распределения по этой форму ле часто довольно сложно. Удобнее использовать асимпто тическое нахождение в виде рядов, а коэффициенты ряда определять через кумулянты.
Чтобы установить связь между кумулянтами и парамет рами импульсной последовательности нужно использовать
119