книги из ГПНТБ / Мазин П.Н. Основы ядерной электроники учеб. пособие

Кумулянты имеют удобное для линейного преобразования случайной величины вида г =. ах + ё , свойство, за­ ключающееся в том, что они также подвергаются линейному преобразованию:

X /z)= аХ^эс) +£ ;

Это свойство приводит к равенству коэффициентов асиммет­ рии и эксцесса для величин г и х , связанных зави­

симостью

х. - ЗС

100

Действительно, эту связь можно представить так:

а кумулянты следуияих порядков определятся по второй формуле:

Подставим полученные выражения в формулы для коэф­ фициентов асимметрии и эксцесса:

101

§ 5 . Определение закона распределения случайной величины по ее моментам

Как известно, закон распределения является полной характеристикой случайной величины. Непосредственное нахождение закона распределения весьыа сложно. Наиболее часто встречающиеся задачи ядеряой электроники требует при своей реиенни сложения случайных величин, что при­ водит к композиции законов распределения слагаемых.При­ менение свойства производящих функций, заключающегося в перемножении производящих функций слагаемых, значи­ тельно облегчает определение закона распределения,прав­ да, при этом приходится вычислять интеграл обратного преобразования Фурье. Последнее тоже не всегда легко выполнимо. Поэтому на практике часто прибегают к асимп­ тотическому нахоидению закона распределения случайной величины в виде ряда

Для случая регистрации сигналов детекторов ЯИ удоб­ ной функцией является квадратичная экспонента, так как появляется возможность осуществления связи нейду за­ коном Пуассона и нормальным законом, которые являются основными законами, применяемыми при регистрации ядерных излучений.

Перейдем для удобства проведения выкладок к норми­ рованной случайной величине

102

г

¥( г ) -

Найден производные этой функции:

у ' щ ' v w e г ^ * >;

f “(z)

f b ) - {(гг-1)Г(1)'\-(-1*-И1)Г(г);

Нетрудно заметить, что между производными функции f( ? ) и самой функцией имеется связь черев полиномы, порядок которых определяется порядком производной. Эти полиномы называется полиномами Эрмита. В обмен виде связь между производной f m( i) и функцией </>(г ) вы­

ражается формулой

103

где /7? - порядок производной;

Hm(i) ~ полином Эрмита т -го порядка. Полиномы Эрмита имеет следующие свойства:

I . Полиномы любых трех последовательных порядков связаны между собой рекуррентной формулой

101

оО

откуда

/77 0 0

—<00

Но второй начальный момент нормализованной случайной

лу ряда, получим асимптотическое выражение закона рас­ пределения случайной величины z

105

Сделаем теперь обратный переход к случайной величи­ не х , для чего найдем связь между выражениями для плотностей вероятности обычной и нормированной случай­ ных величин. Известно, что если две случайные величины связаны между собой линейной зависимость» вида i =

70 в* плотности вероятности тоже связаны меж­ ду собой следущей зависимостью:

ffa ) = — f(l: = af i)-

Тогда асимптотическое выражение для плотности вероятно­

представляют собой также и центральные ыоыенты, поэтому можно написать:

т

I -з

Асимптотический ряд теперь запишется в виде

(2.5.2)

106

В литературе данный ряд получил название ряда Гра- ма-Шарлье. Недостатком такого ряда является сравнитель­ но медленная сходимость. Поэтому предложен ряд Эджворта, отличающийся от ряда Грама-Шарлье порядком членов и имеющий вид [5 J

Для получения наилучшего приближения члены ряда Эд­ жворта берут группами: за основу принимается первый член ряда (нормальный закон), для более точного прибли­ жения берутся два первых члена ряда, для еще более точ­ ного приближения - четыре первых члена ряда и т .п . Та­ ким образом, ряд автоматически показывает, в какой ме­ ре отличается полученный закон от нормального.

Пример I . Найти асимптотическое выражение для за­ кона Пуассона в виде ряда Эджворта.

Р е ш е н и е . Формула закона Пуассона имеет вид

( Л ) м - f W - P J V - ' - j r * - " .

Характеристическая функция закона Пуассона находится следующим образом:

Логарифм характеристической функции, очевидно, ра-

107

вен

Y(&) =■Ц (е ^ ~ /).

Определяем» далее» кумулянты:

Подставляем полученные выражения в формулу асимпто­ тического ряда:

/

■f

где

H-N

г= ] [ Г

108

Пример 2 . Найти приближенное выражение в виде ря­ да Эджворта для биномиального распределения.

Формулу закона Бернулли возьмем в виде

B(N0,N) =f(N) =

Производящая функция моментов закона Бернулли запи­ шется как

н0-н

N-0

Продолжая дифференцирование, получаем следующие вы­ ражения для коэффициентов асимметрии и эксцесса:

109