книги из ГПНТБ / Мазин П.Н. Основы ядерной электроники учеб. пособие

разлохеяие логарифма характеристической функции в ряд Маклорена, так как известно (см. § 4 данной главы),что кумулянты представляют собой коэффициенты при членах такого разложениях

Для этого разложим в ряд Маклорена экспоненциаль­ ную функцию под знаком интеграла в (2.6.12), учитывая, что общая формула имеет вид

Характеристическая функция теперь будет иметь

= е х р

Сравнивая это выражение с формулой (2.6.14), получим приближенную зависимость, представляющую сущность те­ оремы о наложении случайных возмущений:

120

-ОО Q

Как видно из формулы, теорема о наложении случай­ ных возмущений позволяет по параметрам пуассоновской импульсной последовательности определить приближенно закон распределения сигнала в канале системы. Следует отметить, что приближение довольно хороиее, так как величина Т обычно велика, а функция g(p) убыва­ ет быстро.

121

МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЯДЕРНЫХ ИЗЛУЧЕНИЙ

$ I . Методика измерения параметров ядерного

излучения

При измерении тех или иных параметров ядерных излу­ чений решение задачи сводится к построению теоретичес­ кой вероятностной модели, устанавливающей связь между измеряемым параметром и величиной выходного сигнала прибора, а затем к получению статистической оценки па­ раметра.

В самом общем виде благодаря статистическому харак­ теру ядерно-физических процессов, происходящих в источ­ нике ЯИ и электронно-физической аппаратуре (ЭФА), веро­ ятностная модель позволяет определить не измеряемую ве­ личину, а вероятность того, что ее значение находится в некотором диапазоне. При этом имеют место две случай­ ные величины или случайные функции: измеряемый параметр X и сигнал ЭФА У . Законом распределения измеряемого параметра можно задаться или определить его, исходя из физики процессов, имеющих место в источнике ЯИ и среде, его окружающей. Далее определяется ряд преобразований исходной случайной величины и закон распределения У ~ функции случайной величины X • Как правило, преобра­

122

зования вносят искажения в закон распределения измеряе­ мого параметра. Кроме того, всегда имеет место помеха, представлящая собой случайную функцию Z .

Учитывая вышеперечисленное, можно предложить сле­ дующую методику решения задачи измерения:

1. Получение вероятностной модели, позволяющей оп­ ределить параметр х •

2.Выбор метода детектирования ЯИ с учетом необхо­ димости выделения нужного параметра, определение эффек­ тивности схемы.

3.Выбор метода измерения параметра X ЯИ и элек­ тронно-физической аппаратуры.

4. Измерения.

5. Обработка полученной количественной информации, составление гистограммы,, проверка на соответствие полу ченного экспериментального закона теоретическому.

Часто можно упростить решение задачи измерения ЯИ, так как нет необходимости в оценке закона распределе­ ния, достаточно определить математическое ожидание и дисперсию СВ, характеризующей параметр. В некоторых случаях упрощается конструктивная схема измерения, это токе влияет на методику, особенно на ее последний пункт Re всегда учитывается процесс прохождения случайного сигнала от детектора к измерительному прибору и т.п. Вышеприведенная методика является общей и может быть использогага во всех случаях в той или иной степени. Итак, в соответствии с методикой вначале рассматрива­ ются модели процессов, происходящих в источнике ЯИ и окружающей его среде до места расположения детектора. Построение модели во многом определяется простой зада­ чей измерения и необходимой точностью его проведения. При решении задачи спектрометрии, т.е. при определении спектра энергий Е ядерных честиц (квантов), упрощен­

123

но наиболее характерные части спектра описывает нормаль­ ный законом

( х - х f

2S0 ^

(3 .I .I)

где ос - математическое охидание случайной величины (энергии Е ядерной частицы);

оОх - дисперсия случайной величины.

Нормальный закон применяют для описания, например, фотопиков гамма-спектров. Гамма-спектры однокристальных сцинтилляционных и полупроводниковых спектрометров, как правило, кроме фотопиков содержат комптонозские компо­ ненты, границы которых в одномерном случае можно пред­ ставить в виде кривой:

компоненты, соответствующие процессу аннигиляции пар, т.е.

* i + J*L

0,511

и пики, обусловленные вылетом одного аннигиляционного кванта, т.е.

124

В некоторых случаях спектры аппроксимируются про­ стейшими законами распределения: экспоненциальными,

d - функциями и т .д . При решении задачи определения временных и количественных характеристик ядерных излу­ чений, т .е . задачи радиометрии, измеряются такие пара­ метры, как активность источника ядерных излучений,плот­ ность потока, интенсивность излучения (две последние являются характеристиками поля излучений). Нахождение закона распределения соответствующего параметра при этом значительно сложнее. В данном случае приходится проводить последовательный анализ процессов образова­ ния параметра и, используя формулы полной вероятности, теоремы умножения и сложения вероятностей и т .д ., на­ ходить закон распределения этого параметра.

При определении активности источника, например,ис­ пользуется биномиальное распределение, особенно для тех случаев, когда число радиоактивных ядер в ис­ точнике ограничено. При больном числе ядер может быть применен пуассоновский закон. При этом биномиальное распределение справедливо для описания распадов ядер, но в зависимости от схемы распада ядра может быть сде­

лан переход к более сложным законам: многомерному нуассоновскому, полиномиальному и т.д . Кроме того, распад ядра сопровождается вылетом одной или нескольких ядерных частиц с какой-то вероятностью, что соответственно приводит к закону распределения числа ядерных частиц, появившихся за какой-то отрезок времени т • Далее не­ обходимо определить закон распределения числа ядерных частиц, вылетевших за пределы источника ЯИ и достигших детектора.

125

Нередко встречаются слогане радиоактивные системы, в которых происходит параллельный или последовательный

гии и с образованием различных конечных продуктов рас­ пада. При этом отдельные акты распада независимы друг от друга, а статистическая зависимость между различны­ ми направлениями распада может возникнуть линь как следствие ограниченности общего числа ядер, ибо распад больного числа ядер в одном из направлений уыеньмает вероятность распада в других направлениях. В качестве примера параллельного распада можно привести некоторые превращения природных радиоизотопов, например

Последовательным распадом называются такие радиоак­ тивные превращения, в которых при распаде ядер одного радиоактивного вещества (материнского) образуется дру­ гое радиоактивное вещество (дочернее). Таким образом, акты радиоактивного распада в последовательных звеньях оказываются генетически связанными. Наиболее известными примерами последовательного радиоактивного распада ядер являются длинные цепи превращений природных изотопов урана и тория, заканчивающихся образованием стабильных изотопов свинца. Примером одновременного осуществления

126

параллельных и последовательных распадов является деле­ ние урана и других тяжелых элементов. Здесь возможно образование многочисленных различных пар радиоактивных осколков, каждый из которых кладет начало трех-четырех- активной цепочке бета-превращений.

Для определения статистических характеристик в раз­ ных конкретных случаях необходимо использовать вероят­ ности р осуществления того или иного события для од­ ного ядра. Для описания ансамбля радиоактивных ядер ранее мы использовали биномиальный закон, по которому вероятность распада // ядер в интервале Г равна

Вероятность распада одного ядра определяется как произ­ ведение вероятности того, что ядро не распадается до момента наблюдения, на вероятность того, что распад яд­ ра произойдет в некотором интервале между t { и ts :

(3.1.6)

Если принять, что отсчет времени начинается с момента t = о , то формула упростится:

Р * Рг

При параллельном распаде, когда ядро распадается в нескольких направлениях:

127

В-

А,

вероятность распада его в i -м направлении будет

получим, что при наличии в момент времени t = О исход­ ного числа ядер Н0 к моменту времени т в среднем будет

Н - N0e АТ

(3.1.7)

(3.1.8)

ядер В ' .

128

Если исходное вещество является столь долгопериод­ ный, что за вреыя наблюдения практически его количест­ во не убывает, т .е . А -* О , то р ^ A t » а

При последовательном распаде инеем цепочку

---------~М.

стабильные

продукт

Вероятность р того, что к моменту времени т ядро А останется в исходном состоянии, равна

Вероятности рь ,ря , рс того, что к моменту времени

ядро перейдет в состояние B,3),G » запишутся в виде:

Л

129