1.2.2. Анализ комплектов учебников под редакцией г. В. Дорофеева и ш. Ф. Алимова

Линии второго порядка

Алгебра, автор А. Г. Мордкович

Алгебра, автор Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин.

«Математика: арифметика. Алгебра. Анализ данных», автор Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова.

Функция

Изучение функции начинается в 7 классе с § 37, где переход от линейной функции к квадратичной осуществляется на примере. (пусть x – сторона квадрата, y – его площадь, то ). Затем независимой переменнойx дают конкретные значения, чтобы рассчитать значения y и вводится таблица вида:

Вводится понятие таблица значений, а затем полученные координаты строятся в прямоугольной системе координат. И сразу же говорится, что построенная линия называется параболой. Далее перечисляются геометрические свойства параболы:

1. симметричность относительно оси OY;

2. дается определение ветвей параболы;

3. вершина и её координаты.

4. Наибольшее, наименьшее функции

5. Убывание, возрастание

6. Фокус параболы

Построение функции и, сравнивание, и анализ графика.

Весь материал представлен параллельно с примерами и изображенными графиками функций.

_{В 8 классе в §35}на примере тела, брошенного вверх со скоростью v, выводится формула _{, и дается определение квадратичной функции.}

_{Начиная с §36 , рассматривается функция приa=1,b=c=0. Составляется таблица значений, строятся точки, кривую называют параболой. Сразу рассматриваются её свойства:}

1. _{Проходит через начало координат}

2. _{Симметричность относительно OY.}

3. _{Вершина параболы}

4. _{Убывание и возрастание на промежутках.}

5. _{Фокус параболы (с ссылкой на рисунок)}

_{В конце параграфа представлена система заданий на усвоение и закрепление материала.}

_{Такие задания, как:}

1. _{Построить график функции , найти значениеy при и т.д.;}

2. _{При каких x значения функции больше 9, меньше 16?}

3. _{Найти координаты точек пересечения и прямой}

Упражнения к разделены на уровни А и Б и представлены в широком диапазоне сложности. В конце главы содержатся задания для самопроверки, указывающие обязательный уровень подготовки ученика. Одновременно каждая глава содержит дополнительный материал, позволяющий учащимся выйти за рамки круга обязательных вопросов, углубить знания, познакомиться с новыми приемами решения задач (рубрики «Для тех, кому интересно», «Дополнительные задания к главе»).

Функция

_{Данная функция рассматривается в} 8 классе в 3-ей главе § 17. И здесь говориться о том, что функция _{аналогична функции приa=1. Затем рассматриваются функции и, составляется таблица значений, строятся графики (наглядность построения) и сравниваются. Затем идет пояснение, что каждая линия- парабола, а осьy –ось симметрии. Далее рассматривается случай при a=-1, выполняется построение графика, и делается вывод о направлении ветвей параболы. После чего дается определение функции . Отдельным пунктом автор выделяет свойстваприa>0:}

1. _{Область определения функции (-∞;+∞);}

2. _{y=0 при x=0;y>0 при x≠0.}

3. _{Непрерывна;}

4. _{yнаим=0 при x=0, yнаиб – не существует.}

5. _{возрастает при x≥0 и убывает при x≤0.}

6. _{ограничена снизу, не ограничена сверху.}

7. _{Область значений функции - луч[0;+∞)}

8. _{Функция выпукла вниз.}

_{И при a<0 с непосредственной опорой на геометрическую модель-параболу.}

_{После теоретической части идут непосредственно, задания на усвоение:}

_{1) Найти наиб. И наим. Значения функции на отрезках: [0;2],[-2;-1],[-1;1,5].}

_{2) Решить уравнение . и другие.}

_{Задания на закрепление, охватывают всю теоретическую часть и представлены в большом количестве. Здесь приведены задания на построение функции как в явной форме, так и построение линии по заданным значениям, свойствам. Также имеются задания на исследование уже построенных функций по рисункам.}

_{Функция рассматривается в 8 классе в § 37. Изучение сразу начинается с построения графика функции} и с помощью таблицы значений. Сравнивая графики, делается вывод о том, что каждую точку графика функцииможно получить из точки графика функциис той же абсциссой увеличением её ординаты в 2 раза. Далее дается определение функции_{и перечисляются свойства при a≠0:}

1. _{Если a>0, то функция принимает положительные значения, еслиa<0-отрицательные. И если значение функции равно 0, значитx=0.}

2. _{Парабола симметрична относительно оси ординат}

3. _{Если a>0, то функция возрастает приx≥0 и убывает при x≤0;если a<0, то функция убывает приx≥0 и возрастает при x≤0.}

Затем задается задача.

На одной координатной плоскости построить графики функцийи. С помощью этих графиков решить неравенство.

Упражнения представлены в конце параграфа и содержат как легкие, так и повышенной сложности задания.

Функция

Данная функция и её свойства изучаются в 8 классе § 37. Изучение начинается с рассмотрения многочлена , гдеa,b,c-числа, причем a≠0. И поясняется, что это квадратичный трехчлен. Затем рассматривается функция и дается ее определение. При этом рассматривается несколько функций:и делается обобщение, что эти функции являются квадратичными. Автор предлагает рассмотреть квадратный трехчлен _{и путем преобразований привести его к виду} , где . Затем вводится формулаи поясняется, что это формула для вычисления вершины параболы.

При этом дается задание: Не выполняя построения графика функции , ответить на следующие вопросы:

1. Какая прямая служит осью параболы?

2. Каковы координаты вершины параболы?

3. Куда направлены ветви параболы?

После построения графика данной функции вводится алгоритм построения параболы .

Практическая часть содержит большой объем заданий: легких, средней сложности и повышенной сложности.

Изучение данного графика функции начинается с §38, где сразу дается задание:

Построить график функции и сравнить его с графиком функции. После проведенных рассуждений делается заключение, что графиком функцииявляется парабола, полученная сдвигом параболывдоль координатных осей. И перечисляются свойства:

1. Вершина параболы , где;

2. Ось симметрии параболы параллельна оси ординат и проходит через вершину параболы;

3. Направление ветвей параболы, если a>0- вверх, если a<0-вниз.

Практическая часть разделена на уровни по сложности, каждый из уровней имеет по 6 заданий. Некоторые из них:

1. Найти координаты вершины параболы .

2. Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат: .

3. Записать уравнение параболы, пересекающей ось абсцисс в точках x=-1 и x=3, а ось ординат в точке y=2.

Функция

В 8 классе в § 18 поясняется, что познакомимся с функцией , где коэффициентk может принимать любые значения, кроме k=0. И предлагается рассмотреть функцию при k=1, составляется таблица значений при x>0, и строится график функции , а затем приx<0. Дальше говориться, что этот график функции называется гиперболой. По чертежу перечисляются основные свойства:

1. Гипербола симметрична относительно центра;

2. Имеет две асимптоты: ось x и ось y;

3. Имеет оси симметрии: y=x и y=-x.

Затем дается пример: Найти наименьшее и наибольшее значение функции : на отрезке [1/2;4], на полуинтервале [-8;-1] и подробно расписывается ход действий.

Далее вводится определение графика функции .

И поясняется, что две величины x и y обратно пропорциональны, если они связаны отношением xy=k (где k – число, отличное от нуля)

Дальше автор по отдельности выделяет свойства функции при k>0 и приk<0. Для усвоения изученного материала предлагается решить уравнение .

Практическая часть для закрепления и усвоения данного материала содержит большое количество заданий трех уровней сложности. При этом это задачи как на построение графика функции, так и на исследование его свойств по строящимся чертежам, так и по готовым рисункам.

Функция изучается в 9 классе, начиная с §15. Изучение начинается с задания: Построить график функции . И по графику начинается изучение свойств:

1. Область определения

(-∞;0)˅(0;+∞);

2) нечетная, так как при.

3) убывает на промежутке x>0;

4) При x>0 функция принимает положительные значения;

Затем говорится, что график функции называется гиперболой, а две части, из которых она состоит, называются ветвями гиперболы.

Сразу дается на рассмотрение задача 2: Построить график функции приk=2 и k=-2.

Исследуя две функции поясняется, что функции симметричны относительно оси абсцисс.

Функция соотносится с функциейи говорится, чтообладает теми же свойствами, что и.

при k>0 выражает обратную пропорциональную зависимость между x и y. И приводится пример из физики.

Далее следует практическая часть, состоящая по сложности из уровней. Каждый из уровней содержат по четыре задачи на закрепление.

Функция изучается с §22 по §23. В §22 на рассмотрение выносится две задачи:

1. За t секунд велосипедист проезжает 600 км. Какова его скорость?

2. Площадь прямоугольника с основанием ф (м) равна 40 м². Какую высоту имеет этот прямоугольник?

В первой задаче, если скорость обозначить за v, тогда . А во второй задаче, если обозначить высоту заh, получим: . Обобщая эти задачи, говорится, что функции в каждой из них получаются делением некоторого отличного от нуля числа на соответствующее значение аргумента. Обозначив число буквойk, а аргумент и функцию соответственно x и y получаем общий вид формул: , гдеk- число, отличное от нуля. После чего рассматривается пропорция , говорится, что частное двух значений переменнойx обратно частному соответствующих им значений переменной y. И такие переменные называют обратно пропорциональными. К данному параграфу прилагаются практические задания по уровню сложности на составление пропорции, на нахождение одного из компонентов формулы . В §23 рассматривается график функцииприk=12. Составляется таблица значений для положительными абсциссами, а затем с отрицательными и выполняется построение. Анализируя построенные графики функции, выделяются следующие свойства:

1. Графики не имеют общих точек пересечения с осями координат;

2. Ветви графика функции расположены симметрично относительно начала координат:

если k>0, то ветви расположены в I и III координатных четвертях; а если k<0, то во II и IV координатных четвертях.

После выделенных свойств, говорится, что кривые вида называются гиперболами.

На этом теоретическая часть заканчивается, и начинается практическая часть, состоящая из двух уровней сложности, по количеству заданий и их характеру для изучаемой темы возможно достаточно хорошо усвоить и закрепить материал, так как все задания различны.