СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава I. Теоретические и методические аспекты изучения линий второго порядка

Пункт 1.1. Теория линий второго порядка и использования ИКТ в обучении

1. Понятие линии второго порядка в аналитической геометрии

2. Линии второго порядка в элементарной математике

3. Возможности использования ИКТ в изучении линий второго порядка

Пункт 1.2. Методические аспекты изучения линий второго порядка в школьном курсе алгебры 7-9 классов

1.2.1. Методика изучения линий второго порядка в школьном курсе алгебры

1.2.2. Анализ комплектов учебников под редакцией Г. В. Дорофеева и Ш. Ф. Алимова

Глава II. Практическое применение икт при изучении линий второго порядка

2.1. Методика использования ИКТ в изучении линий второго порядка на уроках алгебры

2.2. Систематизация ЦОР, содержащих линии второго порядка

2.3. Элективный курс

Заключение

Литература

Глава I. Теоретические и методические аспекты изучения линий второго порядка Пункт 1. Теория линий второго порядка и использования икт в обучении

1. Понятие линии второго порядка в аналитической геометрии

Аналитическая геометрия на плоскости занимается подробным изучением геометрических свойств эллипса, гиперболы и параболы, представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину. В аналитической геометрии систематически исследуются так называемые алгебраические линии второго порядка (эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями второй степени). Линии второго порядка определяются уравнениями вида . Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения.

Определение 1. Линией второго порядка называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению:

где A,B,C,D,E,F — вещественные коэффициенты, причем .

Исследуем уравнение и узнаем, что представляет собой произвольная линия

второго порядка.

Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду

Рассмотрим уравнение (1) и приведем его к такой системе координат, в которой уравнение имело бы наиболее простой вид. Существует такая система координат, в которой уравнение (1) не содержит произведения xy, то есть B = 0.

Осуществим параллельный перенос исходной системы координат XOY на вектор (рис.1). Возьмем точкуM с координатами в системе координат. Тогда в новой системе координаткоординатыточкаM находятся по формулам:

откуда

Рис. 1. Рис.2.

Пустькоординаты точкиM в системе координат XOY. Повернем оси координат на угол в положительном направлении и обозначим (x', y') координаты точкиM в новой системе координат X'OY'.(рис.2.) Найдем связь между этими координатами. Очевидно, что:

(так как ); (2)

(так как ); (3)

Рассмотрим . Так как он прямоугольный, то,. (4)

Рассмотрим теперь . Он также прямоугольный, поэтому,. (5)

Таким образом, с учетом того, что , из равенств (2)-(5) получим:(6)

Следовательно, система (6) представляет собой выражение старых координат через новые.

Замечание. Для того чтобы получить выражение новых координат через старые, достаточно угол α в формулах (6) заменить на угол (−α), так как при повороте системы координат X′OY ′ на угол (−α) мы получим систему XOY .

Подставим формулы (6) у уравнение (1), получим:

Соберем коэффициенты при соответствующих неизвестных.

При , получим:

,

При :

, (7)

При :

,

При :

,

При :

.

Таким образом, уравнение (1) с учётом замены (6) принимает вид:

(8)

Подберем угол таким образом, чтобы коэффициент. Из (7) следует, чтопоэтому

После данного преобразования уравнение (1) примет вид:

. (9)

Задача 1. Доказать, что при повороте на любой угол α имеет место равенство:

(10)

Определение 2. Величины, которые не меняются при преобразованиях, называются инвариантными.

Так как мы подобрали угол α так, что , то из (10) следует, что

. (11)

Чтобы проанализировать уравнение кривой (9), рассмотрим три

случая:

1) (эллиптический случай);

2) (гиперболический случай);

3) (параболический случай).

Подробнее рассмотрим эллиптический случай. Из следует, что, то есть знакисовпадают. Пусть A′ > 0, C′ > 0. Выделим полные квадраты при неизвестных x′, y′, получим:

Дополним члены, содержащие x’ и y’,до полного квадрата:

, (12)

где

Положим , тогда уравнение (12) примет вид:. (13)

1. Пусть . Разделим обе части уравнения (13) на, получим:

(14)

Так как и, то предположим, что. (15)

Из (14) и (15) следует, что мы получили каноническое уравнение эллипса

2. Пусть F′ > 0, тогда в уравнении (13) слева стоит неотрицательное число, а справа - отрицательное, поэтому точек, удовлетворяющих данному уравнению, не существует.

3. Пусть F′ = 0. Тогда уравнению (13) удовлетворяет только одна точка , то есть точка с координатами

Рассмотрим гиперболический случай. Из следует, что, то есть числаимеют разные знаки. Выполняя аналогичные преобразования, как и для эллиптического случая, получим уравнение кривой:

1. Предположим, что . Отсюда:

(16)

Так как и разных знаков, следовательно , одна из скобок больше нуля, другая скобка меньше нуля. Пусть(17)

тогда мы получаем каноническое уравнение гиперболы:

2. При уравнение принимает вид:(18)

Пусть , тогдаи уравнение (18) примет вид:откудаТаким образом, получили уравнения двух пересекающихся прямых.

Рассмотрим параболический случай. Так как , то.

1. Пусть . Так как после поворота, то уравнение (9) преобразуется до вида:(19)

Соберём члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:

тогда уравнение (19) примет вид: или, (20)

где . Из (20) следует, что

Рассмотрим два случая:

• Пусть , тогда, то есть(21)

где

Положим , тогда уравнение (21) примет вид:

Это каноническое уравнение параболы, симметричной относительно

оси (OY ).

• Пусть , тогда уравнение (20) перепишется в виде

(22)

1. Если , то получим уравнение оси (OY ).

2. Если , то возможны два случая. Если A′ и F′ одного знака, то точек, удовлетворяющих данному уравнению, нет; если же A′ и F′ разных знаков, то, где, поэтомуи уравнение (22) описывает две параллельные прямые:

b) Пусть , тогда уравнение (9) примет вид

(23)

Если , а, то точек, удовлетворяющих уравнению (23), нет; если жеилиотличны от нуля, то уравнение (23) описывает прямую.

Вывод. Путем преобразований кривой второго порядка, определяемой уравнением (1) мы можем получить уравнения таких линии второго порядка, как:

1. - уравнение эллипса

2. - уравнение гиперболы

3. - уравнение параболы