2. Линии второго порядка в элементарной математике

В математике рассматриваются линии второго порядка, как конические сечения: окружность, эллипс, гипербола, парабола; или как множество точек обладающих некоторыми свойствами.

Рассмотрим каждую линию второго порядка подробнее, определяя линии как множество точек.

ОКРУЖНОСТЬ

Определение 1.1. Окружность - множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки М₀, называемой ее центром.[9.С.65]

Вывод уравнения окружности

Введем прямоугольную систему координат так, что:

1. М₀(x_0;y₀) - центр окружности, совпадающий с началом системы координат и . Пусть- текущая точка окружности.(чертеж 1.)

Чертеж 1.

Если центр окружности находится в начале координат, то x₀=0, y₀=0. В этом случае уравнение окружности имеет вид:

,

так как по определению окружности и.

b) Пусть не совпадает с началом системы координат. По построению окружности:

=тогдаили возведя обе части в квадрат получим:

(1)

где уравнение окружности радиусаR c центром в точке с координатами

(чертеж 2.)

Иногда уравнение окружности пишут так: - канонический вид уравнения линии второго порядка.

Чертеж 2.

Исследование свойств окружности по её уравнению

1. Пресечение с осями координат:

• С ОХ: Пусть у=0, тогда . Отсюда делаем вывод, что (-R;0), (R;0)- точки пересечения с осью ОХ.

• С ОУ: Пусть х=0, тогда 0²+у²=R². Отсюда делаем вывод, что (0;-R),(0;R)- точки пресечения с осью ОУ.

Следовательно, у окружности с центром в начале координат область допустимых значений для и длязакрытый интервал.

Вывод: Окружность вписана в квадрат с размером стороны 2R.[1.С.99]

2) Симметрия окружности:

• Относительно оси ОХ и оси ОУ, так как окружность имеет общие точки пересечения с осями координат.

Пусть принадлежит окружности, т. Е- верное равенство.

Точка симметрична точкеМ₀ относительно оси ОХ. Подставим координаты точки М₁ в уравнение окружности ,отсюда имеем: - верное равенство.

Следовательно, М₁ принадлежит окружности, отсюда следует, что окружность симметрична относительно оси ОХ.

Точка симметрична точкеМ₀ относительно оси ОУ, следовательно, окружность симметрична относительно оси ОУ.

Точка симметрична точке М₀ относительно О (центра), следовательно, окружность симметрична относительно начала координат. [1.С.99-100]

3. Эксцентриситет окружности:

Определение 1.2. Отношение называется эксцентриситетом окружности. Для окружности эксцентриситет окружности равен нулю.

3. Касательная к окружности:

Определение 1.3. Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности.

Определение 1.4. Общая точка окружности и касательной называется точкой касания прямой и окружности.

Пусть точка принадлежит окружности, тогда уравнение касательной к окружности в данной точке имеет вид:

[1.С.100]

Изображение окружности

• Построим окружность центром в точке и радиусом равным 1.

1. Построение без использования ИКТ: Для построения окружности задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Строим циркулем окружность с центром О и радиусом, равным 1.(чертеж 3.)

Чертеж 3.

b) Построение с использованием ЭСО- Mathcad:

Уравнение окружности имеет вид: . Для построения линии в программеMathcad уравнение нужно привести к виду: (чертеж 4.)

Чертеж 4.

• Построим окружность центром в точке и радиусом равным 5.

1. Построение без использования ИКТ: Для построения окружности задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Строим циркулем окружность с центром О и радиусом, равным 5.(чертеж 5.)

Чертеж 5.

b) Построение с использованием ЭСО- Mathcad:

Уравнение окружности имеет вид: . Для построения линии в программеMathcad уравнение нужно привести к виду: (чертеж 6.)

Чертеж 6.

ЭЛЛИПС

Определение 2.1. Эллипс - множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть заданная постоянная величина, равная 2а, а > 0, большая, чем расстояние между фокусами 2с, с > 0.