Вывод уравнения эллипса

Введем прямоугольную систему координат. Пусть фокусы эллипса лежат на оси Х, причем т. Е.– межфокусное расстояние эллипса. (чертеж 7.) [8.С.467]

Чертеж 7.

Пусть – произвольная точка эллипса. Величиныназываютсяфокальными радиусами точки М эллипса. По определению эллипса: r₁ + r₂ = 2a, а > c. Из прямоугольных треугольников, по теореме Пифагора, имеем:

(2)

Преобразуем уравнение, умножим уравнение (2) на , получим:

(3)

Сложим уравнения (2) и (3):

(4)

Возведем равенство(4) в квадрат, получим:

Пусть так как, откуда уравнение имеет вид:

где (5) каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат.

Соответственно, отсюда получаем уравнение:

где каноническое уравнение эллипса с центром в точке . Где числа а и b соответственно большая и малая полуоси эллипса. Заметим, что а >с Если а < , то фокусы эллипса будут лежать на осиОУ, если а = , то эллипс превращается в окружность.

Точки ,называютсявершинами эллипса. Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника, ограниченного прямыми

Исследование свойств эллипса по его уравнению

1) Пересечение эллипса с осями координат:

• Найдем точки пересечения эллипса с осью ОХ: Пусть y=0, тогда уравнение эллипса имеет вид: , следовательно.

Отсюда следует, что точки (-a,0),(a,0) являются точками пересечения с осью ОХ.

• Найдем точки пересечения эллипса с осью ОУ: Пусть х=0,отсюда имеем: , отсюда.

Следовательно, точки (-b,0),(b,0)являются точками пересечения с осью ОУ.

Отсюда заключаем, что границы эллипса , отображающие его схематичное построение. (чертеж 8.) [1.С. 105]

Чертеж 8.

Расстояние |A₁A₂| = 2a называется большой (фокальной) осью эллипса, расстояние |B₁B₂| = 2b называется малой осью эллипса. Расстояния от начала координат до вершин A₂(a, 0), B₂(0, b) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Вывод: Таким образом, заключаем, что эллипс вписан в прямоугольник с размерами 2a, 2b (чертеж 9.).

Чертеж 9.

2) Симметрия эллипса относительно координатных осей ox и oy:

Пусть принадлежит эллипсу, т. е- верное равенство.

Точка симметрична точкеотносительно оси ОХ

- верное равенство.

Следовательно, принадлежит эллипсу, отсюда заключаем, что эллипс симметричен относительно ОХ

Точка симметрична точкеотносительно оси ОУ, следовательно, эллипс симметричен относительно оси ОУ.

Точка симметрична точкеотносительно О (центра), следовательно, эллипс симметричен относительно начала координат.[1.С.105-106]

3) Фокусы эллипса:

Пусть фокусы эллипса лежат на оси ОX. Межфокусное расстояние эллипса равно причем . Заметим, что

. [1.С.106]

4) Эксцентриситет эллипса:

Определение 2.2. Эксцентриситетом эллипса называют отношение межфокусного расстояния 2с к длине большой оси 2а.

.

Так как , следовательно,.

Если стремится к нулю при постоянном значении, тостремится к нулю. При этом величинастремится к. В предельном случаи уравнение эллипса принимает вид:. Это уравнение окружности. Если, то. При этом малая ось эллипса неограниченно уменьшается, эллипс стремится к отрезку. (чертеж 10.) [1.С.106]

Чертеж 10.

5) Диаметры эллипса:

Всякая хорда, проходящая через центр эллипса, называется диаметром эллипса. В частности, диаметрами эллипса является его большая ось и малая ось. Всякий диаметр эллипса, не являющийся его осью, больше малой оси, но меньше большой оси (чертеж 11.). [1.С.106-107]

Чертеж 11.

6) Касательная к эллипсу:

Уравнение касательной к эллипсу где- координаты точки касания и соответственно большая и меньшая полуоси эллипса (чертеж 12.).

Чертеж 12.

7) Частный случай эллипса - окружность:

, где окружности.

8) Взаимное расположение точек и эллипса:

эллипсу, если верное равенство,

Если толежит внутри эллипса,

Если толежит вне эллипса. [1.С.100]

Изображение эллипса

• Построим эллипс с центром в точке и с большей осью равной 14 и меньшей осью равной 10.

1. Построение без использования ИКТ: Для построения эллипса построим прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Построим прямоугольник со сторонами 2a=14,2b=10 и впишем в него эллипс так, чтобы координаты точек (-7;0),(7;0),(0;-5),(0;5) принадлежали эллипсу.(чертеж 13.)

Чертеж 13.

2. С использованием ЭСО- Mathcad:

Полученное уравнение эллипса имеет вид: . Для построения линии второго порядка в программеMathcad приводим уравнение к виду: (чертеж 14.)

Чертеж 14.

• Дано параметрическое уравнение эллипса , построить данную линию второго порядка.

1. Построение без использования ИКТ: Для построения эллипса построим прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Построим прямоугольник со сторонами 2a=8,2b=14 и впишем в него эллипс так, чтобы координаты точек (-4;0),(4;0),(0;-7),(0;7) принадлежали эллипсу.(чертеж 15.)

Чертеж 15.

2. С использованием ЭСО- Mathcad:

Для построения линии в Mathcad приведем ее к виду: ,.(чертеж 16.)

Чертеж 16.

ГИПЕРБОЛА

Определение 3.1. Гипербола - множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть заданная постоянная величинаменьшая, чем расстояние между фокусами [8.С.510]