2. Сложение синусоидальных величин

На практике часто приходится складывать синусоидальные токи, напряжения, эдс и другие величины.

Определим переменный ток i как сумму нескольких переменных токовисначала аналитически, а затем используя векторный метод.

Рис.64 Схема узла электрической цепи

Аналитический метод. Для аналитического сложения необходимо произвести алгебраическое сложение их мгновенных значений. Из закона Кирхгофа следует, что общий ток

(5-3)

Пусть и

Упростим задачу и положим, что

Тогда

Обозначим .

Тогда в окончательном виде :

(5-4)

Откуда видно, что в результате сложения двух синусоидальных токов результирующий (общий) ток имеет ту же частоту ω, амплитуду равную I_mи начальную фазу α.

Векторный метод. Для сложения двух синусоидальных величин, заданных векторами, необходимо произвести геометрическое суммирование этих векторов, пользуясь правилом параллелограмма, т.е.

Рис. 65

Из рис. 65 следует, что при сложении двух векторов, вращающихся с одинаковой частотой ω, результирующий вектор вращается с той же частотой.

Для определения результирующей амплитуды при векторном сложении двух синусоидальных величин, сдвинутых по фазе, необходимо воспользоваться теоремой косинусов.

Тогда

( 5-5)

где α₂ – α₁ = φ –сдвиг фаз между синусоидальными величинами.

Начальную фазу результирующего вектора α определим из соотношения

. (5-6)

Для случая из уравнения (5-5) следует:

Откуда

Далее определим начальную фазу результирующего вектора

или

. (5-7)

Таким образом, используя графический метод мы получили тот же самый результат, что и в случае решения задачи аналитическим методом (см. ур. 5-4 ).

Метод комплексных чисел. Комплексы амплитуды первого и второго токов в тригонометрической форме

Í_m1 = I_m1 (cosα₁ + γsinα₁) и Í_m2 = I_m2 (cosα₂ + γsinα₂). (5-8)

Комплекс результирующего тока

Í_m = Í_m1 + Í_m2 = I_m1[(cosα₁ + cosα₂) + γ (sinα₁ + sinα₂)] . (5-9)

Сумма косинусов cosα₁ + cosα₂ = 2 cos(α₂ +α₁)/2 ∙ cos(α₂ – α₁)/2.

Сумма синусов sinα₁ + sinα₂ = 2 sin (α₂ +α₁)/2∙cos (α₂ –α₁)/2.

Тогда Í_m =2I_m1∙ cos (α₂ –α₁)/2 [cos(α₂ +α₁)/2 +γ sin (α₂ +α₁)/2.

Обозначим 2I_m1∙ cos (α₂ –α₁)/2 =Im и α = (α₂ + α₁)/2.

Получим Í_m = I_m (cosα + γsinα) = I_me^γα.

Откуда мгновенное значение результирующего тока

i = i₁ + i₂ = I_m sin(ωt + α). (5-10)

3. Среднее значение синусоидальных величин

Часто для технических расчетов оказывается недостаточным знание мгновенного или амплитудного значения синусоидальной величины, поэтому дополнительно вводится понятие среднего значения.

Средним значениемпеременного тока за некоторое времяtназывают такое значение постоянного тока, при котором за одинаковый промежуток времени через поперечное сечение проводника проходит одинаковое количество электричества. Т.е. среднее значение переменного токаI_сропределяется через сопоставление с количеством заряда, прошедшего через проводник при протекании постоянного тока.

Аналитически это можно представить так:

Q=I_срt=(5-11)

Рис. 66

Из рис.66 следует, что среднее значение тока определяется из условия равенства площади, охватываемой постоянной ординатой и осью абсцисс, и площади под синусоидальной кривой за время t. Графически средний ток выражается высотой (I_ср) прямоугольника с основанием равнымt. Причем площадь этого прямоугольника равна площади ограниченной кривой тока и осью абсцисс за времяt.

Среднее значение синусоидальной величины за время равное периоду равно нулю:

I_срT== 1/T= 1/Tw=I_m/Tw(-coswt/₀^T)=I_m/Tw(-сos(2π/T)∙T+cos0) = 0.

Это подтверждается суммированием площадей синусоиды. Т.е. среднее значение синусоидальной величины за период равно нулю. Поэтому среднее значение обычно рассчитывается за время равное половине периода. Тогда

I_срT/2 =; →I_ср= 2/T= 2/T∙I_m/ω= 2I_m/Tωcos/₀^{T 2}= 2I_m/Tω(1+1) = 2/π ∙I_m. (5-12)

Таким образом,

I_ср= 2/π∙I_m= 0/637I_m. (5-16)

4. ДЕЙСТВУЮЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН.

При расчетах электрических цепей кроме мгновенного, амплитудного и среднего значений синусоидальной величины очень часто используется действующеезначение, которое в дальнейшем будем обозначать заглавными буквами без индексов, т.е.I,U,E. Отметим, что большинство приборов, используемых для измерений в цепях переменного тока ( амперметры, вольтметры, ваттметры и т.д.) проградуированы в действующих значениях.

Действующим значением синусоидального тока называют такое значение постоянного тока, при котором за одинаковый промежуток времени в резистивном элементе выделяется такое же количество теплоты, как и при переменном токе.

Из определения следует

Rdt, (5-17)

где R- активное сопротивление элемента цепи,I- величина постоянного тока, равная действующему значению.

Так как

то I=dt=. (5-18)

Понизим степень при функции синуса, т.е.

sin²wt = ½(1-cos2wt).

I = - 1/2).

Т.к. интеграл (1/2)) любой синусоидальной функции, взятый в пределах целого числа периодов равен нулю, то

I===I_m/= 0,707I_m. (5-19)

Аналогично можно записать

U = U_m/ = 0,707U_m; (5-20)

E = E_m/ = 0,707E_m. (5-21)

Таким образом, действующее значение синусоидальной величины в раз меньше ее амплитудного значения.