Попов - весь практикум по геометрии

Глава I

3. Пусть скрещивающиеся прямые PQ и BA лежат соответственно в параллельных плоскостях и (см. рис. 1.22).

n

24

§ 1.3. Расстояние между скрещивающимися прямыми

лежит квадрат со стороной a, а боковое ребро призмы равно b. На ребрах AD, DD1 и BB1 взяты соответственно точки P, Q и R — се-

редины этик ребер. Найдите расстояние между прямыми AR и

A1Q (рис. 1.23).

A

x

a B

Рис. 1.23

○ 1. Относительно выбранной системы координат (рис. 1.23) находим координаты векторов и точек:

25

Глава I

расстояние между параллельными плоскостями и . Искомое рас-

n

A1

Q M

α

d

N R

β A

Рис. 1.24

§ 1.4. Угол между прямыми

Задача 1.10. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, боковые ребра которой наклонены к плоскости основания под углом , точка К — середина ребра BS. Найти угол

между прямыми AK и SC.

26

§ 1.4. Угол между прямыми

○ Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рисунке 1.25.

Рис. 1.25

а) Пусть SC m , тогда из прямоугольного треугольника SOC:

SO m sin , OB OA OC m cos .

Относительно выбранной системы координат определим координа-

ты точек A, B, S, C:

По теореме о середине отрезка (центроида отрезка)

27

Глава I

Задача 1.11. На ребрах ВВ1 и С1D1 куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P и Q такие, что BP: BB1 = 2 : 3, C1D1 : C1Q = 4 : 1. Плоскость, проходящая через точки A, P и Q, пересекает прямые DD1 и B1C1 соответственно в точках E и F. Найти угол между прямыми EF и A1C.

○ При гомотетии величины углов между геометрическими объектами (между плоскостями, прямыми, прямой и плоскостью) не меняются. Поэтому куб можно взять произвольного размера.

Так как по условию ребро куба делится точкой P в отношении 2 : 1, точкой Q в отношении 1 : 3, то удобно, например, длину ребра куба взять равную 12 (единицам).

а) Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рисунке 1.26. Относительно выбранной системы координат найдем координаты точек и векторов:

28

§ 1.4. Угол между прямыми

Рис. 1.26

б) Уравнение плоскости APQ определим по ее нормальному

Аналогично, F (B1C1), а (B1C1) (ABB1). Отсюда следует, что x = 0;

z = 12. Подставляя координаты точки F в уравнение плоскости (19),

получим y = 8. Значит, F(0; 8; 12).

29

Глава I

ветственно прямых EF и A1C. Пусть — величина угла между прямы-

ми EF и A1C.

Тогда

Отсюда следует, что = arccos 213 .

Ответ: arccos 213 . ●

Задача 1.12. В основании пирамиды лежит прямоугольник с отношением сторон AB : AD 1 : 3. Высота MO пирамиды равна

стороне AD и проектируется в точку O, лежащую на прямой AB та-

кую, что AB : AO 1: 2. На ребрах MB и MC взяты соответственно

точки F и E — середины этих ребер. Найдите углы, которые образует прямая OF с прямыми AC и DE (рис. 1.27).

z

M

F 3 E

0

y

B F1

C

1

Рис. 1.27

30

§ 1.4. Угол между прямыми

○ 1. Пусть DC = a, тогда AD = 3a; OM = 3a; AO = 2a.

Выберем систему координат так, как указано на рис. 1.27. Относительно выбранной системы координат найдем координаты векторов и точек:

где F — середина BM; FF1 — средняя линия BOM ; A 2a; 0; 0 ,

2. Пусть — угол между прямыми (OF) и (АС), а — угол между прямыми (OF) и (DE), тогда

○ 1. Так как при центральной симметрии (гомотетии) углы между прямыми (плоскостями) не меняются, поэтому примем CB = 1, тогда в

(рис. 1.28) находим координаты следующих точек и векторов:

31

Глава I

CA1.

Пусть — величина угла между скрещивающимися прямыми PB1 и

CA1.

Тогда

32

§ 1.5. Угол между прямой и плоскостью

§ 1.5. Угол между прямой и плоскостью

Задача 1.14. Дан правильный тетраэдр SABC. M, N — середины соответственно ребер AB и SC. Найти угол между прямой AB и плоскостью, параллельной прямым SM и BN.

a) Плоскостей, параллельных прямым SM и BN, можно провести (существует) бесконечное множество. Нетрудно показать, что прямая AB пересекает все эти параллельные плоскости под одним и тем же углом.

Пусть плоскость — одна из этих плоскостей и пусть АВ образует с плоскостью угол . Для вычисления угла , как следует из формулы (10) (§ 1.1), достаточно знать направляющий вектор прямой АВ и нормальный вектор плоскости . Кстати, нормальный вектор плоскости является нормальным вектором каждой из плоскостей, параллельных плоскости .

б) Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рисунке 1.29. При гомотетии угол между прямой и плоскостью не меняется. Поэтому длину ребра тетраэдра можно выбрать произвольно.

В

x

Рис. 1.29

Пусть AB = 2. Выполним предварительно некоторые вычисления:

33