Попов - весь практикум по геометрии

Рис. 3.6

По первому основному векторному соотношению имеем

2

1

2

1

(

1

3

3

1

EO

3

EA

3

EF

3

( 2(a b))

3

2

a

2b

2

c)

2

a

2b

2

c;

9 a2 4a2

1 a2

9

9 16 1 a 26 .

EO

4

a

26

4

2

2

Ответ: (O, E)

.

2

§ 3.2. Второе основное векторное соотношение

Теорема 2. Если точка M и N делят направленные отрезки

АВ и CD соответственно в равных отношениях, т. е.

AM

CN

m

,

(1)

MB

ND

n

то выполняется равенство

n

m

MN

AC

BD

m n

m

n

или

MN

k AC

(1 k)BD,

D

B

n

n

M

N

m

m

m

n

OM

OB

OA.

m n

m n

m

n

ON

OD

OC.

m n

m n

Теперь найдем вектор MN :

m

MN

ON

OM

(OD

OB)

m n

n

n

m

(OC OA)

BD

AC

.

m n

m n

m n

○ Выберем систему координат С1, е1

, е2 , е3 так, как указано на ри-

сунке 3.8, причем

е1

е2

е3

1 .

Через точку М ,

лежащую в плоскости боковой грани, проведем

прямую ММ1 ,

параллельную прямой ВВ1 . Пусть М1 (ММ1 ) С1 В1 .

Затем в плоскости нижнего основания проведем М1N1 || А1В1 . Прямые

ММ1 и N1M1

определяют плоскость || (АВВ1 ) . Пусть А1С N .

Отрезок NM

— искомый отрезок. По условию задачи ВМ : МС1

По второму основному векторному соотношению:

1

2

NM

3

CC

3

A B.

(2)

1

1

Разложим векторы равенства (2) по базису (е1 , е2 , е3 ) :

СС1

ае3 ,

А1В

А1

А

АВ

ае3

(С1В1

С1 А1 ) ае3 (ае2

ае1 )

ае1

ае2

ае3 ,

1

2

2

2

1

NM

ae

( ae

ae

ae )

ae

ae

ae .

3

3

3

1

2

3

3

1

3

2

3

3

Учитывая, что (e1 , e 2 )

60 ; (е1 , е3

) 90

; (е2 , е3 ) 90 ,

NM

2

2

(

2

2

1

2

4

a

2

NM

ae

ae

ae )

3

1

3

2

3

3

9

4 a

2 1 a2

4 a2

cos 60 a2

2 a2

7 a2 .

9

9

9

9

9

Отсюда NM

a 7

.

3

Ответ:

а

7

3

М лежит на ребре

Задача

3 . 8 . В кубе ABCDA1B1C1D1 точка

ВВ 1 , причем ВМ : MB1

3 : 2 , а точка N лежит на ребре AD, при-

чем AN : ND 2 : 3 . Вычислите длину МN ,

если ребро куба рав-

но a

(рис. 3.9).

3

2

MN

5

MA

5

MD.

(3)

3. Найдем MA и MD.

2

3

2

3

3

3

МА

5

AB

5

AB

5

b

5

(b c)

b

5

c

МА b

5

c;

1

2

3

2

3

3

MD

5

DB

5

DB

5

(b a)

5

( a

b c)

a b

5

c.

1

Подставляя полученные выражения в равенство (3), получаем:

3

3

2

3

2

1

3

MN

( b

c)

( a

b

c)

a

b

c.

5

5

5

5

5

5

25

Находим длину MN :

4

2

1 2

9 2

14

MN

a

a

a

a.

25

25

25

5

(рис. 3.10).

BN

C1M 3 ,

○ По условию

поэтому к векторам

NM, BC ,B D

NB1 MD

2

1

1

применим второе основное векторное соотношение:

2

3

(4)

NM

5

BC

5

B D .

1

1

A

D

B

2

C1

C M

B

3

3

3

D1

N

A1

N

M

3

2

3 1

2

2

60°

m

B1

B1

C1

2

D

Рис. 3.10

Введем аффинный базис e ,e

2

,e

— тройку некомпланарных еди-

1

3

ничных векторов (см. рис. 3.10), где e1

e3, e2

e3,

e1,e2 60 . Раз-

по базису e

,e

,e

:

ложим последовательно векторы BC1, B D, NM

1

1

2

3

me

me

me

)

(BC

, B D me me

1

2

3

1

1

2

3

2

3

3

1

.

NM

me

2

me

me

me

2

me

me

me

2

me

5

3

5

1

3

5

1

5

3

Следовательно,

NM

2

2

2

3

1

2

NM

NM

5

me1 me2

5

me3

9

m2 m2

1

m2 2 3

1 m2 2m2 NM 2m2 m 2.

25

25

5

2

Ответ:

m 2.

Задача

3 . 1 0 . Сторона основания

ABCD

правильной приз-

мы ABCDA1B1C1D1

имеет длину 2а, боковое ребро — длину а. Рас-

По второму основному векторному соотношению имеем

2

1

MN

D D

AB .

3

1

3

1

Введем прямоугольный базис (i, j, k) . Разложим D1D и

AB1

по ба-

DD1 ak,

AB1 2a j ak.

Таким образом, получаем:

2

1

2

1

MN

3