Примеры решения индивидуальных заданий
Пример 2.5. Устройство состоит из трех независимых элементов, безотказно работающих в течение некоторого фиксированного промежутка времени Т с вероятностями соответственно 0,851, 0,751, 0,701. Найти вероятность того, что за указанное время выйдет из строя: а) только один элемент; б) два элемента; в) хотя бы один элемент.
Решение. Пусть
а) А = {за время Т выйдет из строя только один элемент}.
Вместе с событием А вводим дополнительные события, вероятности которых известны по условию задачи или могут быть легко найдены через известные:
{
первый элемент выходит из строя};
{
второй элемент выходит из строя};
{
третий элемент выходит из строя };
{первый
элемент не выходит из строя};
{второй
элемент не выходит из строя};
{третий
элемент не выходит из строя}.
Отсюда, пользуясь понятиями произведения и суммы событий, имеем
.
Учитывая несовместность событий-слагаемых и независимость событий-сомножителей, из теорем сложения и умножения вероятностей получаем
По условию
,
поэтому
Таким образом,
б) Обозначим:
В = {за время Т из строя выйдут два элемента}.
Воспользовавшись
дополнительными событиями пункта а,
имеем
.
Учитывая несовместность событий-слагаемых и независимость событий-сомножителей, из теорем сложения и умножения вероятностей получаем
.
в) С = {за время Т из строя выйдет хотя бы один элемент}.
Тогда {за время Т из строя не выйдет ни один элемент}.
Очевидно,
и события-сомножители попарно независимы.
Поэтому
Теперь получаем вероятность искомого события:
Пример 2.6. В стаде 90 коров. Оно состоит из животных двух пород: 46 коров первой породы, а остальные второй породы. Случайным образом отобраны две коровы. Найти вероятности следующих событий: а) обе коровы второй породы; б) только одна корова второй породы; в) хотя бы одна корова второй породы.
Решение.
а) А = {обе коровы второй породы}.
Вместе с событием А вводим дополнительно события:
{первая корова второй породы};
{вторая корова второй породы}.
Тогда
{первая корова первой породы};
{вторая корова первой породы}.
Используя действия над событиями, имеем
.
Здесь события-сомножители являются зависимыми, поэтому для нахождения вероятности события А используем теорему умножения вероятностей зависимых событий
.
Поскольку по условию задачи в стаде имеется 44 коровы второй породы из 90, то из классического определения вероятности имеем
.
Таким образом,
.
б) В = {только одна корова второй породы}.
Используя дополнительные события из пункта а, получаем
,
т.е. либо первая корова второй породы, а вторая первой, либо первая корова первой породы, а вторая второй.
Здесь события-слагаемые являются несовместными, а события-сомножители зависимыми, поэтому
.
в) С = {хотя бы одна корова второй породы}.
Перейдем от события С к противоположному
{обе коровы первой породы}.
Тогда, очевидно,
.
Здесь события-сомножители зависимые, поэтому
.
Но
,
т.е. окончательно
.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ТЕМЕ 2
1.Какие события называются независимыми, зависимыми?
2.Какие события называются несовместными, совместными?
3.Что называется суммой двух событий? Приведите примеры сумм двух совместных и несовместных событий.
4.Сформулируйте теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.
5.Что называется условной вероятностью события?
6.Сформулируйте теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.
7.Электрические лампочки производятся на одной автоматической линии. В среднем одна лампочка из тысячи оказывается бракованной. Лампочки изготавливаются независимо друг от друга. Чему равна вероятность того, что из двух наугад взятых лампочек а) исправными окажутся обе; б) исправной будет только одна; в) обе будут бракованными?
8.В аквариуме 5 белых, 3 красные и 3 голубые рыбки. Трех наудачу выбранных рыбок переносят в другой аквариум. Какова вероятность того, что все эти рыбки белые? Какова вероятность того, что хотя бы одна из этих рыбок белая?
9.Четыре охотника договорились стрелять по дичи в определенной последовательности: следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятности попадания в цель каждого из охотников одинаковы и равны 0,8. Найти вероятности того, что будет произведено а) один; б) два; в) три; г) четыре выстрела.
10.Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов программы только 24. Какова вероятность сдать при этом зачет, если после отказа студента отвечать на полученный вопрос преподаватель задает лишь один дополнительный?
11.На полке 11 книг, среди которых 3 книги по теории вероятностей. Наудачу берутся три книги. Какова вероятность, что среди отобранных хотя бы одна книга по теории вероятностей?
12.В связке 6 ключей, из которых к замку подходит лишь один. Найти вероятность того, что потребуется не более двух попыток открыть замок, если отобранный ключ в дальнейших испытаниях не участвует.
13.Пакеты акций, имеющихся на рынке ценных бумаг, могут дать владельцу доход с вероятностью 0,5 (для каждого пакета). Сколько пакетов акций различных фирм нужно приобрести, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,96875, можно было ожидать доход хотя бы по одному пакету акций?
Тема 3. |
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БЕЙЕСА |