Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона

Выяснение вопроса о принадлежности выборочных данных нормально распределенному признаку генеральной совокупности является одной из важнейших задач математической статистики. Предположение о нормальном распределении некоторой случайной величины требуется при проверке многих статистических гипотез, в основных положениях дисперсионного и регрессионного анализов.

Существует несколько способов, позволяющих по выборочным данным с различной степенью уверенности принять или отвергнуть предположение о нормальном распределении признака. Один из них рассматривается ниже.

Пусть непрерывная случайная величина (признак) представлена выборкой значений в виде интервального распределения, причем известны выборочное среднее и исправленное выборочное с.к.о. .

Пусть имеются основания предполагать, что случайная величина подчинена нормальному закону распределения (например, из визуального соответствия гистограммы и нормальной кривой).

Проверка этой гипотезы при уровне значимости с помощью критерия Пирсона осуществляется по следующей схеме.

1. Нужно проанализировать интервальное распределение выборки, объем которой должен быть не менее 50, и в случае, если какому-нибудь частичному интервалу выборочных значений соответствует эмпирическая частота , которая меньше, чем 5, этот интервал следует объединить с соседним (соседними), поставив в соответствие новому интервалу сумму эмпирических частот объединенных интервалов. Так как нормальное распределение определено для всех действительных значений , то принято левую границу первого частичного интервала расширить до , а правую границу последнего  до . По окончании описанной процедуры будем обозначать число частичных интервалов через .

2. В предположении, что исследуемая случайная величина действительно распределена нормально с параметрами и ( ~ ), нужно вычислить вероятности попадания ее значений в каждый из частичных интервалов по формуле

; , (11.1)

где , и заменены соответственно на и , а значения функции Лапласа можно найти в таблицах приложения 2. При безошибочном счете должно выполняться условие

.

3. Нужно вычислить теоретические частоты по формуле

, (11.2)

где –объем выборки. Отметим, что при этом должно выполняться условие .

4. Теперь требуется вычислить наблюдаемое значение критерия :

. (11.3)

Кроме того, нужно найти критическое значение критерия ( ) в зависимости от выбранного уровня значимости и числа степеней свободы . Это осуществляется с помощью таблиц приложения 3.

5. Наконец, необходимо сравнить полученные значения и :

если > , то гипотеза о нормальном распределении случайной величины при уровне значимости отвергается;

если < , то считают, что при заданном уровне значимости нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении рассматриваемой случайной величины .

Пример 11.3. Имеется 200 изделий, изготовленных на некотором станке. Требуется при уровне значимости проверить гипотезу о подчинении нормальному закону распределения отклонений контролируемого размера изделий от номинала.

Решение. Обозначим рассматриваемые отклонения через и будем исходить из следующего выборочного распределения.

Таблица 11.1

Интервалы значений (мк)	Частоты значений	Интервалы значений (мк)	Частоты значений
(-20; -15)	7	(5; 10)	41
(-15; -10)	11	(10; 15)	26
(-10; -5)	15	(15; 20)	17
(-5; 0)	24	(20; 25)	7
(0; 5)	49	(25; 30)	3

Пусть известным образом вычислены = 4,3 мк и = 9,7 мк.

Согласно рекомендациям, данным выше, объединим последние два интервала таблицы 11.1. В результате получим уже 9 (m = 9) частичных интервалов (вместо первоначальных десяти). Теперь заполним следующую таблицу.

Таблица 11.2

Интервалы значений
(- ; -15)	0,0233	7	4,66	1,18
(-15; -10)	0,0475	11	9,50	0,24
(-10; -5)	0,0977	15	19,54	1,05
(-5; 0)	0,1615	24	32,30	2,13
(0; 5)	0,1979	49	39,58	2,24
(5; 10)	0,1945	41	38,90	0,11
(10; 15)	0,1419	26	28,38	0,20
(15; 20)	0,0831	17	16,62	0,01
(20; + )	0,0526	10	10,52	0,02
Сумма	1	200	200	7,18

Здесь

;

;

...........................................................................................

Поскольку

,

(0,05; 93) = (0,05; 6)=12,6,

то

< .

В ы в о д. В нашем случае при уровне значимости нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении величин отклонений от номинала контролируемого размера изделий.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ