- •С.Н.Дементьев, а.М.Слиденко, с.О.Стрыгина
- •Воронеж
- •Дементьев с.Н.
- •Часть I. Теория вероятностей Введение
- •Основные понятия
- •Классическое определение вероятности
- •Основные понятия комбинаторики
- •Геометрическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Основные понятия
- •Формула Бернулли
- •Формула Пуассона
- •Локальная формула Лапласа
- •Интегральная формула Лапласа
- •Основные понятия
- •Основные понятия Равномерное распределение
- •Показательное (экспоненциальное) распределение
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Пример решения индивидуального задания
- •Основные понятия
- •Распределение Стьюдента ( распределение)
- •Распределение Фишера ( -распределение)
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Часть II. Математическая статистика Введение
- •Основные понятия Методика рациональной организации выборки большого объема
- •Нахождение точечных и интервальных статистических оценок неизвестных числовых характеристик теоретических распределений
- •Основные понятия
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о равенстве средних
- •Дисперсии которых неизвестны и одинаковы
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона
- •«Проверка статистических гипотез»
- •«Проверка статистических гипотез»
- •Основные понятия
- •«Однофакторный дисперсионный анализ»
- •«Однофакторный дисперсионный анализ»
- •Основные понятия
- •Проверка качества модели регрессии с помощью коэффициента детерминации
- •Проверка значимости регрессии по критерию Фишера
- •Построение доверительных интервалов для генеральных параметров регрессии
- •Построение доверительного интервала для прогноза индивидуального значения отклика
- •«Корреляционный и регрессионный анализ»
- •«Корреляционный и регрессионный анализ»
- •Часть III. Примеры лабораторных работ по математической статистике в системе mathcad Темы лабораторных работ и их основные цели
- •Лабораторная работа №1 (листинги 1-5) Распределения, связанные с нормальным законом распределения
- •Лабораторная работа №2 (листинги 6-8) Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)
- •Лабораторная работа №3 (листинги 9-15) Описательные статистики
- •Лабораторная работа №4 (листинги 16-18) Проверка гипотезы о нормальном распределении
- •Лабораторная работа №5 (листинги 19-24) Примеры проверки статистических гипотез
- •Лабораторная работа №6 (листинги 25-27) Однофакторный дисперсионный анализ
- •Лабораторная работа №7 (листинги 28-31) Корреляция и регрессия
- •Продолжение приложения 2
- •Приложение 4
- •Критические точки распределения Фишера
- •Критические точки распределения Фишера
- •Примеры тестовых вопросов по теории вероятностей и математической статистике
- •394087, Воронеж, ул. Мичурина, 1
Примеры тестовых вопросов по теории вероятностей и математической статистике
1. Бросают 2 монеты. События {на первой монете выпадет герб} и {на второй монете выпадет цифра} являются (выберите правильные утверждения): 1) совместными; 2) несовместными; 3) зависимыми; 4) независимыми.
2. В урне находятся 1 белый и 2 черных шара. Из урны поочередно вынимают два шара, но после первого вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются. Тогда вероятность того, что оба шара белые, равна …
3. Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на ее верхней грани выпадет не менее пяти очков, равна…
4. Пусть попарно независимые события, причем , . Найдите .
5. В урне 6 белых и 4 черных шара. Наудачу одновременно берут два шара. Какова вероятность, что оба они белые?
6. В лотерее 1 000 билетов. Выигрыш 5000 рублей выпадает на один билет, выигрыш по 1 000 рублей – на десять билетов, выигрыш по 200 рублей – на пятьдесят билетов, выигрыш по 50 рублей – на сто билетов; остальные билеты – без выигрыша. Покупается один билет. Тогда вероятность выигрыша не менее 50 рублей, но не более 200 рублей равна…
7. Образуют ли несовместные события полную группу, если ? Почему?
8. В первой урне 4 черных и 6 белых шаров. Во второй урне 3 белых и 7 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым, равна…
9. В первой урне 4 черных и 6 белых шаров. Во второй урне 3 белых и 7 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар извлечен из первой урны, равна…
10. В урне из 10 шаров имеется 6 красных. Наудачу берут два шара. Тогда вероятность того, что среди них только один красный, равна…
11. Случайные события , удовлетворяющие условиям , являются (выберите правильные утверждения): 1) совместными; 2) несовместными; 3) зависимыми; 4) независимыми.
12. Случайные события , удовлетворяющие условиям , являются (выберите правильные утверждения): 1) совместными; 2) несовместными; 3) зависимыми; 4) независимыми.
13. Игральная кость брошена три раза. Какова вероятность того, что при этом хотя бы раз выпадет число, кратное трем?
14. Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания в цель для первого и второго стрелка равны соответственно 0,7 и 0,8. 1) Какова вероятность того, что в цель попадет только один стрелок? 2) Какова вероятность того, что цель будет поражена?
15. Страхуется 2500 автомобилей. Считается, что каждый из них может попасть в аварию с вероятностью 0,09. Для вычисления вероятности того, что количество аварий среди всех застрахованных автомобилей не превзойдет 230, следует использовать (выберите правильное утверждение): 1) формулу Пуассона; 2) формулу Бейеса; 3) интегральную формулу Муавра-Лапласа; 4) формулу полной вероятности.
16. Пусть X – дискретная случайная величина, заданная законом распределения вероятностей вида
-
X
p
0,7
0,3
Тогда: 1) математическое ожидание этой случайной величины равно…; 2) математическое ожидание случайной величины равно…; 3) значение интегральной функции распределения вероятностей равно…
17. Пусть X – дискретная случайная величина, заданная законом распределения вероятностей вида
-
X
0
9
p
0,1
0,5
c . 1) Чему равно значение ? 2) Чему равно значение ?
18. Вероятность появления некоторого события в каждом из 30 независимых испытаний, проводимых по схеме Бернулли, равна 0,8. Чему равны математическое ожидание и дисперсия числа появлений этого события в испытаниях?
19. Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей следующего вида:
Тогда соответствующая функция распределения вероятностей равна…
20. Непрерывная случайная величина Х задана следующей интегральной функцией распределения вероятностей:
Тогда: 1) значение С равно…; 2) вероятность равна…
21. График плотности распределения вероятностей имеет следующий вид:
Тогда значение а равно…
22. График плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины X, распределённой равномерно в интервале , имеет вид:
Тогда значение параметра а равно…
23. Случайная величина распределена равномерно на интервале (1; 5). Тогда ее математическое ожидание и дисперсия соответственно равны…
24. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей . Тогда математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение этой нормально распределенной случайной величины равны соответственно…
25. Пусть . Как изменится амплитуда нормальной кривой, если значение увеличить (уменьшить) в k раз?
26. Пусть . В каких четвертях координатной плоскости (первой, второй, третьей, четвертой) находится ось симметрии нормальной кривой, если ?
27. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :
-
1
2
3
4
12
4
19
Тогда =…
28. Статистическое распределение выборки имеет следующий вид:
-
2
5
8
9
3
4
6
4
Тогда относительная частота варианты равна…
29. Дана выборка объема n. Если каждый ее элемент увеличить в 5 раз, то выборочное среднее (выберите правильное утверждение): 1) увеличится в 25 раз; 2) уменьшится в 5 раз; 3) не изменится; 4) увеличится в 5 раз.
30. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , полигон частот которой имеет вид
Тогда число вариант в выборке равно…
31. По выборке объема построена гистограмма частот:
Тогда значение параметра а равно…
32. Мода вариационного ряда равна…
33. Проведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): . Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна…
34. Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 10. Тогда его интервальная оценка может иметь вид (выберите правильное утверждение): 1) (8,5 ; 11,5);
2) (8,6 ; 9,6); 3) (8,4 ; 10).
35. Дана интервальная оценка (10,45; 11,55) математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точность этой оценки равна…
36. Если основная гипотеза имеет вид , то конкурирующей может быть (выберите правильные утверждения): 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
37. Соотношением вида можно определить (выберите правильное утверждение): 1) двустороннюю критическую область; 2) левостороннюю критическую область; 3) область принятия гипотезы; 4) правостороннюю критическую область.
38. Выборочное уравнение парной регрессии имеет вид . Тогда выборочный коэффициент корреляции может быть равен (выберите правильное утверждение): 1) ; 2) ; 3) 0,6; 4) .
39. Выборочное уравнение парной регрессии имеет вид , причем выборочные с.к.о. . Тогда выборочный коэффициент корреляции равен…
40. При построении выборочного уравнения прямой регрессии вычислены выборочный коэффициент корреляции и выборочные с.к.о. . Тогда выборочный коэффициент регрессии Y на X равен…
О Г Л А В Л Е Н И Е
ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ |
|
Введение ……………………………………………………………. |
3 |
Тема 1. Классификация событий. Различные определения вероятности……………………………………………………... |
4 |
Индивидуальные задания к теме 1 ……………………… |
12 |
Тема 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей ……….. |
19 |
Индивидуальные задания к теме 2 ……………………… |
23 |
Тема 3. Формула полной вероятности. Формула Бейеса………... |
29 |
Индивидуальные задания к теме 3 ……………………… |
30 |
Тема 4. Схема Бернулли …………………………………………... |
33 |
Индивидуальные задания к теме 4 ……………………… |
39 |
Тема 5. Случайные величины, их законы распределения и числовые характеристики …………………………………… |
42 |
Индивидуальные задания к теме 5 ……………………… |
57 |
Тема 6. Равномерное и показательное распределения ………….. |
67 |
Индивидуальные задания к теме 6 ……………………… |
69 |
Тема 7. Нормальное распределение ……………………………… |
74 |
Индивидуальные задания к теме 7 ……………………… |
76 |
Тема 8. Примеры распределений, порожденных нормальным законом распределения …………………………………. |
81 |
Индивидуальные задания к теме 8 ……………………… |
84 |
Тема 9. Системы двух дискретных случайных величин: таблица распределения, безусловные и условные законы распределения составляющих, линии регрессии, коэффициент корреляции…………………………………. |
88 |
Индивидуальные задания к теме 9 ……………………… |
93 |
ЧАСТЬ II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА |
|
Введение…………………………………………………………….. |
94 |
Тема 10. Описательные статистики ……………………………… |
95 |
Индивидуальные задания к лабораторной работе «Описательные статистики» …………………………………… |
105 |
Тема 11. Проверка статистических гипотез ……………………... |
117 |
Индивидуальные задания к лабораторной работе «Проверка статистических гипотез» ………………………….. |
124 |
Тема 12. Однофакторный дисперсионный анализ ………………. |
126 |
Индивидуальные задания к лабораторной работе «Однофакторный дисперсионный анализ» …………………. |
133 |
Тема 13. Корреляция и регрессия ………………………………… |
137 |
Индивидуальные задания к лабораторной работе «Корреляционный и регрессионный анализ» ………………... |
149 |
ЧАСТЬ III. ПРИМЕРЫ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ В СИСТЕМЕ MATHCAD.. |
|
Темы лабораторных работ и их основные цели………………….. |
154 |
Лабораторная работа № 1. Распределения, связанные с нормальным законом распределения……………………….. |
158 |
Лабораторная работа № 2. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)……………………………………… |
164 |
Лабораторная работа № 3. Описательные статистики…………... |
167 |
Лабораторная работа № 4. Проверка гипотезы о нормальном распределении признака с помощью критерия Пирсона |
174 |
Лабораторная работа № 5. Примеры проверки статистических гипотез……............................................................................ |
177 |
Лабораторная работа № 6. Однофакторный дисперсионный анализ |
183 |
Лабораторная работа № 7. Корреляция и регрессия……………... |
186 |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………… |
190 |
Приложение 1. Таблица значений функции Гаусса …………….. |
191 |
Приложение 2. Таблица значений функции Лапласа …………... |
193 |
Приложение 3. Критические точки распределения ………… |
195 |
Приложение 4. Критические точки распределения Стьюдента… |
196 |
Приложение 5. Критические точки распределения Фишера……. |
197 |
Приложение 6. Примеры тестовых вопросов по теории вероятностей и математической статистике…………… |
199 |
Учебное издание
Дементьев Сергей Николаевич
Слиденко Александр Михайлович
Стрыгина София Олеговна
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
КОМПЬЮТЕРНОГО ПАКЕТА MATHCAD
Учебное пособие
Редактор С.А. Дубова
Корректор Н.В. Ульянова
Компьютерная верстка И.А. Остапенко
Подписано в печать 14.10.2010 . Формат 6084 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Таймс.
П.л. 12,9. Тираж 140 экз. Заказ №
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный аграрный университет имени К.Д. Глинки».
Типография ФГОУ ВПО Воронежский ГАУ