- •С.Н.Дементьев, а.М.Слиденко, с.О.Стрыгина
- •Воронеж
- •Дементьев с.Н.
- •Часть I. Теория вероятностей Введение
- •Основные понятия
- •Классическое определение вероятности
- •Основные понятия комбинаторики
- •Геометрическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Основные понятия
- •Формула Бернулли
- •Формула Пуассона
- •Локальная формула Лапласа
- •Интегральная формула Лапласа
- •Основные понятия
- •Основные понятия Равномерное распределение
- •Показательное (экспоненциальное) распределение
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Пример решения индивидуального задания
- •Основные понятия
- •Распределение Стьюдента ( распределение)
- •Распределение Фишера ( -распределение)
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Часть II. Математическая статистика Введение
- •Основные понятия Методика рациональной организации выборки большого объема
- •Нахождение точечных и интервальных статистических оценок неизвестных числовых характеристик теоретических распределений
- •Основные понятия
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о равенстве средних
- •Дисперсии которых неизвестны и одинаковы
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона
- •«Проверка статистических гипотез»
- •«Проверка статистических гипотез»
- •Основные понятия
- •«Однофакторный дисперсионный анализ»
- •«Однофакторный дисперсионный анализ»
- •Основные понятия
- •Проверка качества модели регрессии с помощью коэффициента детерминации
- •Проверка значимости регрессии по критерию Фишера
- •Построение доверительных интервалов для генеральных параметров регрессии
- •Построение доверительного интервала для прогноза индивидуального значения отклика
- •«Корреляционный и регрессионный анализ»
- •«Корреляционный и регрессионный анализ»
- •Часть III. Примеры лабораторных работ по математической статистике в системе mathcad Темы лабораторных работ и их основные цели
- •Лабораторная работа №1 (листинги 1-5) Распределения, связанные с нормальным законом распределения
- •Лабораторная работа №2 (листинги 6-8) Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)
- •Лабораторная работа №3 (листинги 9-15) Описательные статистики
- •Лабораторная работа №4 (листинги 16-18) Проверка гипотезы о нормальном распределении
- •Лабораторная работа №5 (листинги 19-24) Примеры проверки статистических гипотез
- •Лабораторная работа №6 (листинги 25-27) Однофакторный дисперсионный анализ
- •Лабораторная работа №7 (листинги 28-31) Корреляция и регрессия
- •Продолжение приложения 2
- •Приложение 4
- •Критические точки распределения Фишера
- •Критические точки распределения Фишера
- •Примеры тестовых вопросов по теории вероятностей и математической статистике
- •394087, Воронеж, ул. Мичурина, 1
Основные понятия Равномерное распределение
Существуют случайные величины, распределенные на отрезке [a, b], причем каждое значение x[a, b] является равновозможным. Такие величины называются равномерно распределенными на [a, b].
Пример 6.1. Известно, что на электрических часах минутная стрелка передвигается раз в минуту. Если часы не отстают и не спешат, то разность реального времени и времени, показанного на часах, для случайно взглянувшего на часы человека случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [0,1] (здесь единица минута).
Пример 6.2. Если значение некоторой величины округлено до десятых, то для человека, пользующегося затем этим значением, погрешность округления случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [ 0,05; 0,05].
Определение. Непрерывная случайная величина X называется равномерно распределенной на отрезке [a, b] ( , если ее плотность вероятностей задается формулой
Функция распределения этой случайной величины имеет вид
Кривая распределения и график функции распределения случайной величины приведены на рис. 6.1.
Рис. 6.1
Если , то числовые характеристики этой случайной величины ищутся по формулам
Показательное (экспоненциальное) распределение
Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром (XExp( )), если ее плотность вероятностей задается формулой
Функция распределения этой случайной величины имеет вид
Кривая распределения и график функции распределения случайной величины XExp( ) приведены на рис. 6.2.
Рис. 6.2
Если XExp( ), то числовые характеристики этой случайной величины ищутся по формулам
Показательный закон распределения играет важную роль, например, в теории массового обслуживания и теории надежности. Так, время обслуживания заявок в системе массового обслуживания часто считается показательно распределенной случайной величиной с параметром , означающим интенсивность обслуживания заявок, т.е. являющимся обратной величиной к среднему времени обслуживания одной заявки в этой системе.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ 6
Задача 6.1. Автобус № 117 отправляется с автостанции регулярно с интервалом n минут. Не зная расписания, пассажир пришел на автостанцию в случайный момент времени.
Какова вероятность того, что ему придется ждать отправления автобуса № 117 меньше m минут?
Вычислить числовые характеристики случайной величины Х времени ожидания пассажиром отправки автобуса № 117.
Найти плотность вероятностей , функцию распределения и построить их графики.
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
n |
10 |
15 |
10 |
15 |
10 |
15 |
10 |
15 |
10 |
15 |
m |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Вариант |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
n |
10 |
15 |
10 |
15 |
10 |
15 |
10 |
15 |
11 |
16 |
m |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
Вариант |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
n |
11 |
16 |
11 |
16 |
11 |
16 |
11 |
16 |
11 |
16 |
m |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
Задача 6.2. Время обслуживания клиентов в банке является случайной величиной Х, распределенной по показательному закону. Среднее время обслуживания клиента составляет n минут.
Найти плотность вероятностей и функцию распределения .
Определить вероятность того, что на обслуживание клиента потребуется не менее m минут.
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
n |
10 |
15 |
10 |
15 |
10 |
15 |
10 |
15 |
10 |
15 |
m |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
Вариант |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
n |
10 |
15 |
10 |
15 |
10 |
15 |
10 |
15 |
11 |
16 |
m |
17 |
18 |
19 |
20 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
Вариант |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
n |
11 |
16 |
11 |
16 |
11 |
16 |
11 |
16 |
11 |
16 |
m |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |