- •С.Н.Дементьев, а.М.Слиденко, с.О.Стрыгина
- •Воронеж
- •Дементьев с.Н.
- •Часть I. Теория вероятностей Введение
- •Основные понятия
- •Классическое определение вероятности
- •Основные понятия комбинаторики
- •Геометрическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Основные понятия
- •Формула Бернулли
- •Формула Пуассона
- •Локальная формула Лапласа
- •Интегральная формула Лапласа
- •Основные понятия
- •Основные понятия Равномерное распределение
- •Показательное (экспоненциальное) распределение
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Пример решения индивидуального задания
- •Основные понятия
- •Распределение Стьюдента ( распределение)
- •Распределение Фишера ( -распределение)
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Часть II. Математическая статистика Введение
- •Основные понятия Методика рациональной организации выборки большого объема
- •Нахождение точечных и интервальных статистических оценок неизвестных числовых характеристик теоретических распределений
- •Основные понятия
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о равенстве средних
- •Дисперсии которых неизвестны и одинаковы
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона
- •«Проверка статистических гипотез»
- •«Проверка статистических гипотез»
- •Основные понятия
- •«Однофакторный дисперсионный анализ»
- •«Однофакторный дисперсионный анализ»
- •Основные понятия
- •Проверка качества модели регрессии с помощью коэффициента детерминации
- •Проверка значимости регрессии по критерию Фишера
- •Построение доверительных интервалов для генеральных параметров регрессии
- •Построение доверительного интервала для прогноза индивидуального значения отклика
- •«Корреляционный и регрессионный анализ»
- •«Корреляционный и регрессионный анализ»
- •Часть III. Примеры лабораторных работ по математической статистике в системе mathcad Темы лабораторных работ и их основные цели
- •Лабораторная работа №1 (листинги 1-5) Распределения, связанные с нормальным законом распределения
- •Лабораторная работа №2 (листинги 6-8) Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)
- •Лабораторная работа №3 (листинги 9-15) Описательные статистики
- •Лабораторная работа №4 (листинги 16-18) Проверка гипотезы о нормальном распределении
- •Лабораторная работа №5 (листинги 19-24) Примеры проверки статистических гипотез
- •Лабораторная работа №6 (листинги 25-27) Однофакторный дисперсионный анализ
- •Лабораторная работа №7 (листинги 28-31) Корреляция и регрессия
- •Продолжение приложения 2
- •Приложение 4
- •Критические точки распределения Фишера
- •Критические точки распределения Фишера
- •Примеры тестовых вопросов по теории вероятностей и математической статистике
- •394087, Воронеж, ул. Мичурина, 1
Основные понятия
Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не меняется от появления или непоявления другого. В противном случае эти события называются зависимыми.
Под суммой событий А и В понимается событие , выполняющееся тогда, когда происходит хотя бы одно из событий-слагаемых (если А, В несовместны, то А + В = {либо А, либо В}).
Под произведением событий А, В понимается событие АВ , выполняющееся тогда, когда происходят оба события-сомножителя: АВ = {и А, и В}.
Пусть, например, изделие бракуется по двум признакам: А = {наличие внутреннего дефекта}, В = {наличие внешнего изъяна}.
Тогда
А + В = {изделие признано бракованным},
АВ = {у изделия обнаружены как внутренний дефект, так и внешний изъян}.
Дадим геометрическую интерпретацию суммы и произведения событий с помощью диаграмм Венна. Пусть, например, внутри прямоугольника (рис. 2.1) наудачу выбирается точка, и событие А состоит в попадании этой точки в меньший круг (рис. 2.1а), а событие В в больший круг (рис. 2.1б). Тогда сумма событий А + В означает попадание точки в заштрихованную на рис. 2.1в область, а произведение в область, заштрихованную на рис 2.1г.
а б в г
Рис. 2.1
Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.
З а м е ч а н и е. Для независимых событий А и В справедливы равенства
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий
Пример 2.1. В денежно-вещевой лотерее на каждые 100 000 билетов приходится 1000 денежных и 500 вещевых выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета?
Решение. Пусть:
А = {денежный выигрыш владельца одного лотерейного билета};
В = {вещевой выигрыш владельца одного лотерейного билета}.
По условию вероятность денежного выигрыша
Вероятность вещевого выигрыша
События А и В несовместны, поэтому применима предыдущая теорема сложения вероятностей
Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий А и В равна произведению безусловной вероятности одного из них на условную вероятность другого
Если события А и В независимые, то их условные вероятности совпадают с безусловными, т.е. в этом случае
Пример 2.2. Всхожесть семян, предназначенных для посева, оценивается вероятностью 0,96. Вероятность попадания семян в благоприятные для прорастания условия составляет 0,95. Какой процент семян даст всходы?
Решение. Рассмотрим следующие события:
А = {семенной материал способен дать всходы};
В = {семена попали в благоприятные для прорастания условия}.
Событие {посеянные семена дадут всходы} состоит в совместном появлении событий А и В. Так как события А и В независимые, причем ; , то применима теорема умножения вероятностей независимых событий и
Таким образом, всходы дадут 91,2% семян.
Пример 2.3. В ящике находится 50 деталей, среди которых 40 стандартных и 10 нестандартных. Наудачу берут одну деталь, не возвращая ее в ящик, а затем вторую. Какова вероятность того, что при этом обе случайно взятые детали окажутся стандартными?
Решение. Рассмотрим события:
А = {первая извлеченная деталь стандартная};
В = {вторая извлеченная деталь стандартная};
С = = {обе извлеченные детали стандартные}.
Так как события А и В зависимые, то применима теорема умножения вероятностей зависимых событий
Теорема сложения вероятностей совместных событий. Пусть события А и В совместны, причем известны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Тогда вероятность появления хотя бы одного из них равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления
З а м е ч а н и е 1. Поскольку события А и В могут быть как зависимыми, так и независимыми, то имеются два случая сформулированной теоремы.
Для независимых событий
а для зависимых
З а м е ч а н и е 2. Если события А и В несовместны, то
т.к. при этом
Пример 2.4. Два стрелка производят одновременно по одному выстрелу в цель. Вероятности попадания в цель для каждого из них равны соответственно 0,75 и 0,82. Найти вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком.
Решение. Введем в рассмотрение события:
А = {цель поражена первым стрелком} (Р(А) = 0,75);
В = { цель поражена вторым стрелком} (Р(В) = 0,82);
С = {цель поражена хотя бы одним стрелком}.
Так как события А и В совместные (в цель могут попасть оба стрелка одновременно) и независимые (вероятность попадания в цель одного из стрелков не зависит от результатов стрельбы другого), то применяем формулу
Отсюда имеем
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ 2
Задача 2.1. Устройство состоит из трех независимых элементов, безотказно работающих в течение некоторого фиксированного промежутка времени с вероятностями соответственно . Найти вероятность того, что за указанное время выйдет из строя: а) только один элемент; б) два элемента; в) хотя бы один элемент.
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
0,95 |
0,97 |
0,84 |
0,93 |
0,92 |
0,98 |
0,87 |
0,86 |
0,90 |
0,88 |
|
0,91 |
0,95 |
0,90 |
0,91 |
0,88 |
0,89 |
0,91 |
0,96 |
0,85 |
0,92 |
|
0,86 |
0,91 |
0,92 |
0,85 |
0,91 |
0,96 |
0,97 |
0,89 |
0,93 |
0,96 |
Вариант |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
99 |
20 |
|
0,92 |
0,87 |
0,94 |
0,91 |
0,93 |
0,96 |
0,89 |
0,90 |
0,92 |
0,86 |
|
0,95 |
0,96 |
0,91 |
0,88 |
0,89 |
0,85 |
0,92 |
0,94 |
0,86 |
0,91 |
|
0,88 |
0,94 |
0,98 |
0,95 |
0,96 |
0,92 |
0,95 |
0,85 |
0,91 |
0,95 |
Вариант |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
0,91 |
0,87 |
0,86 |
0,87 |
0,95 |
0,92 |
0,87 |
0,89 |
0,94 |
0,98 |
|
0,88 |
0,90 |
0,91 |
0,92 |
0,87 |
0,84 |
0,93 |
0,98 |
0,86 |
0,92 |
|
0,96 |
0,92 |
0,94 |
0,95 |
0,93 |
0,94 |
0,95 |
0,91 |
0,91 |
0,86 |
Задача 2.2. В стаде n коров. Оно состоит из животных двух пород: m коров первой породы, а остальные второй породы. Случайным образом отобраны две коровы. Найти вероятности следующих событий: а) обе коровы второй породы; б) только одна корова второй породы; в) хотя бы одна корова второй породы.
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
n |
90 |
90 |
90 |
90 |
90 |
90 |
90 |
90 |
90 |
90 |
m |
44 |
36 |
28 |
37 |
42 |
54 |
61 |
35 |
48 |
72 |
Вариант |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
n |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
m |
41 |
55 |
61 |
67 |
23 |
34 |
45 |
37 |
48 |
51 |
Вариант |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
n |
78 |
78 |
78 |
78 |
78 |
78 |
78 |
78 |
78 |
78 |
m |
28 |
34 |
36 |
42 |
45 |
48 |
51 |
57 |
59 |
60 |