Проверка качества модели регрессии с помощью коэффициента детерминации

Под адекватностью модели эксперименту понимается тот факт, что никакая альтернативная ей модель не дает значимого улучшения предсказаний отклика. Существует много способов оценки адекватности уравнения регрессии выборочным данным, большинство из которых требуют проведения параллельных опытов с последующим анализом специальных дисперсий. Мы не будем останавливаться на них, а рассмотрим лишь простейший инструмент оценки качества модели, позволяющий судить о ее адекватности исходным данным,  коэффициент детерминации . Он ищется по формуле

.

Коэффициент детерминации указывает, какую часть общей вариации отклика Y объясняет регрессия, т.е. какую часть в составляет сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией. Ясно, что . Чем ближе к 1, тем качественнее построенная модель, тем больше оснований считать ее адекватной исходным данным.

Пример 13.2. По данным примера 13.1, используя результаты его решения, получим выборочное уравнение прямой регрессии на и оценим его качество по величине коэффициента детерминации.

Решение.

1. Подставляем результаты решения примера 13.1 в выборочное уравнение прямой регрессии (13.1)

где , и получаем или после простых преобразований

.

2. Находим модельные значения ( ) отклика Y, присоединив их к таблице исходных данных:

	3	4	5	6	7	8	9	10
	60	53	50	40	37	33	27	20
	59,25	53,75	48,25	42,75	37,25	31,75	26,25	20,75

(здесь, например, ).

Теперь вычисляем

;

;

.

В ы в о д. Полученное значение коэффициента детерминации близко к 1, поэтому полученное выборочное уравнение прямой регрессии хорошо (адекватно) объясняет отклик Y. Подтверждением этому является то, что прямая регрессии, построенная в системе координат вместе с исходными данными в виде точек той же плоскости (рис. 13.2), хорошо «притягивает» эти точки.

Рис. 13.2

Проверка значимости регрессии по критерию Фишера

Существо этой задачи состоит в проверке гипотезы о равенстве нулю коэффициента регрессии в уравнении (13.3), т.е. гипотезы о независимости X и Y .

Для решения этой задачи должен быть реализован следующий алгоритм действий.

1.Вычисляют , и .

2.Задавшись уровнем значимости , по таблицам приложения 5 находят .

3.Если , регрессия признается значимой, если же , то регрессия считается незначимой.

Пример 13.3. По данным примера 13.1, используя результаты решения примера 13.2, проверим с помощью критерия Фишера значимость регрессии при уровне значимости .

Решение.

1. Вычисляем:

;

.

2. Находим по таблицам приложения 5

.

3. Так как , гипотеза отвергается и регрессия признается значимой.

Построение доверительных интервалов для генеральных параметров регрессии

Как уже известно, точечными оценками генеральных параметров уравнения регрессии (13.3) являются соответственно величины из уравнения (13.2). Доверительные интервалы, покрывающие указанные генеральные параметры с заданной надежностью , имеют соответственно вид

(13.4)

, (13.5)

где значение ищется по таблицам приложения 4, а ошибки вычисляются по формулам

; .

Пример 13.4. По данным примера 13.1, используя результаты решений примеров 13.113.3, построим доверительные интервалы, покрывающие генеральные параметры регрессии с надежностью . Оценим значимость этих параметров.

Решение. Вычисляем

.

Подставляем полученные результаты в формулы (13.4), (13.5):

[75,752,451,66; 75,75 + 2,451,66]  [71,68; 79,82];

[5,502,450,24; 5,502,450,24]  [6,09; 4,91].

В ы в о д ы. Доверительные интервалы, покрывающие генеральные параметры регрессии с надежностью , имеют соответственно вид [71,68; 79,82] и [6,09; 4,91].

Оба параметра значимо отличаются от нуля, так как ноль не входит в соответствующие доверительные интервалы.

Тот факт, что доверительный интервал для генерального коэффициента регрессии не содержит нулевое значение, еще раз подтверждает гипотезу о значимости регрессии.