Вводные замечания
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Волновое уравнение
Электромагнитные волны в диэлектриках
Волновое уравнение в средах с потерями
Электромагнитные волны в проводниках Критерий разделения сред на диэлектрики и проводники
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
В природе не существует чистых диэлектриков и любая реальная среда (вещество) обладает некоторой проводимостью. Электромагнитные волны в таких средах затухают. Ниже мы получим волновое уравнение для сред с проводимостью 6= 0.
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Вводные замечания
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Волновое уравнение
Электромагнитные волны в диэлектриках
Волновое уравнение в средах с потерями
Электромагнитные волны в проводниках Критерий разделения сред на диэлектрики и проводники
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
В природе не существует чистых диэлектриков и любая реальная среда (вещество) обладает некоторой проводимостью. Электромагнитные волны в таких средах затухают. Ниже мы получим волновое уравнение для сред с проводимостью 6= 0.
Для определенности будем рассматривать поведение электрического поля волны.
@2Ex " @2Ex = 0. @z2 @t2
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Вводные замечания
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Волновое уравнение
Электромагнитные волны в диэлектриках
Волновое уравнение в средах с потерями
Электромагнитные волны в проводниках Критерий разделения сред на диэлектрики и проводники
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
В природе не существует чистых диэлектриков и любая реальная среда (вещество) обладает некоторой проводимостью. Электромагнитные волны в таких средах затухают. Ниже мы получим волновое уравнение для сред с проводимостью 6= 0.
Для определенности будем рассматривать поведение электрического поля волны.
@2Ex |
|
@2Ex |
~ ~ |
@z2 |
" |
@t2 |
= 0. Учтем, что D = "E. |
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Вводные замечания
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Волновое уравнение
Электромагнитные волны в диэлектриках
Волновое уравнение в средах с потерями
Электромагнитные волны в проводниках Критерий разделения сред на диэлектрики и проводники
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
В природе не существует чистых диэлектриков и любая реальная среда (вещество) обладает некоторой проводимостью. Электромагнитные волны в таких средах затухают. Ниже мы получим волновое уравнение для сред с проводимостью 6= 0.
Для определенности будем рассматривать поведение электрического поля волны.
|
|
@2Ex |
|
@2Ex |
|
|
~ |
~ |
|
||
|
|
@z2 |
" |
|
|
@t2 |
= 0. Учтем, что |
D = "E. |
|
||
Препишем уравнение в виде: |
("Ex)# = @z2 |
|
" |
@t # |
|
||||||
|
@z2 |
@t "@t |
@t |
= 0: |
|||||||
|
@2Ex |
@ @ |
|
|
@2Ex |
@ |
|
@Dx |
|
||
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Вводные замечания
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Волновое уравнение
Электромагнитные волны в диэлектриках
Волновое уравнение в средах с потерями
Электромагнитные волны в проводниках Критерий разделения сред на диэлектрики и проводники
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
В природе не существует чистых диэлектриков и любая реальная среда (вещество) обладает некоторой проводимостью. Электромагнитные волны в таких средах затухают. Ниже мы получим волновое уравнение для сред с проводимостью 6= 0.
Для определенности будем рассматривать поведение электрического поля волны.
|
|
@2Ex |
|
@2Ex |
|
|
~ |
~ |
|
||
|
|
@z2 |
" |
|
|
@t2 |
= 0. Учтем, что |
D = "E. |
|
||
Препишем уравнение в виде: |
("Ex)# = @z2 |
|
" |
@t # |
|
||||||
|
@z2 |
@t "@t |
@t |
= 0: |
|||||||
|
@2Ex |
@ @ |
|
|
@2Ex |
@ |
|
@Dx |
|
||
Здесь учитывается только ток смещения ( @D@tx ), если 6= 0, необходимо
учитывать ещё и ток проводимости, плотность которого равна ~ ~ .
J = E
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Вводные замечания
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Волновое уравнение
Электромагнитные волны в диэлектриках
Волновое уравнение в средах с потерями
Электромагнитные волны в проводниках Критерий разделения сред на диэлектрики и проводники
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
В природе не существует чистых диэлектриков и любая реальная среда (вещество) обладает некоторой проводимостью. Электромагнитные волны в таких средах затухают. Ниже мы получим волновое уравнение для сред с проводимостью 6= 0.
Для определенности будем рассматривать поведение электрического поля волны.
|
|
@2Ex |
|
@2Ex |
|
|
~ |
~ |
|
||
|
|
@z2 |
" |
|
|
@t2 |
= 0. Учтем, что |
D = "E. |
|
||
Препишем уравнение в виде: |
("Ex)# = @z2 |
|
" |
@t # |
|
||||||
|
@z2 |
@t "@t |
@t |
= 0: |
|||||||
|
@2Ex |
@ @ |
|
|
@2Ex |
@ |
|
@Dx |
|
||
Здесь учитывается только ток смещения ( @D@tx ), если 6= 0, необходимо
учитывать ещё и ток проводимости, плотность которого равна ~ ~ .
J = E
Тогда уравнение Максвелла, связывающее пространственные изменения магнитного поля с временными изменениями электрического поля примет вид:
rot H~ |
~ |
|
|
|
@D |
||
= |
|
+ J~ |
|
@t |
|||
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Вводные замечания
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Волновое уравнение
Электромагнитные волны в диэлектриках
Волновое уравнение в средах с потерями
Электромагнитные волны в проводниках Критерий разделения сред на диэлектрики и проводники
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Будем рассматривать проекцию поля ~ на ось :
E X
@Hy = " @Ex + Ex: ( ) @z @t
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Вводные замечания
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Волновое уравнение
Электромагнитные волны в диэлектриках
Волновое уравнение в средах с потерями
Электромагнитные волны в проводниках Критерий разделения сред на диэлектрики и проводники
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Будем рассматривать проекцию поля |
~ |
|
||
E на ось X: |
||||
|
@Hy |
= " |
@Ex |
+ Ex: ( ) |
|
|
|||
@z |
@t |
|||
Из уравнения Максвелла, связывающего пространственные изменения ~ с E
временными изменениями ~ , следует:
H
@Hy = @Ex: ( ) @t @z
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Вводные замечания
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Волновое уравнение
Электромагнитные волны в диэлектриках
Волновое уравнение в средах с потерями
Электромагнитные волны в проводниках Критерий разделения сред на диэлектрики и проводники
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Будем рассматривать проекцию поля |
~ |
|
||
E на ось X: |
||||
|
@Hy |
= " |
@Ex |
+ Ex: ( ) |
|
|
|||
@z |
@t |
|||
Из уравнения Максвелла, связывающего пространственные изменения ~ с E
временными изменениями ~ , следует:
H
|
|
|
|
|
@Hy |
@Ex |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
@t |
@z |
|
|
|
|||||||||||
Продифференцируем уравнение ( ) по t, а уравнение ( ) по z: |
|
|||||||||||||||||
@2Ex |
@Ex |
|
@2Hy |
|
|
1 @2Ex |
|
@2Hy |
|
|||||||||
" |
|
+ |
|
|
= |
|
; |
|
|
|
|
|
= |
|
: |
|||
@t2 |
@t |
@z@t |
|
@z2 |
@z@t |
|||||||||||||
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Вводные замечания
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Волновое уравнение
Электромагнитные волны в диэлектриках
Волновое уравнение в средах с потерями
Электромагнитные волны в проводниках Критерий разделения сред на диэлектрики и проводники
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Будем рассматривать проекцию поля |
~ |
|
||
E на ось X: |
||||
|
@Hy |
= " |
@Ex |
+ Ex: ( ) |
|
|
|||
@z |
@t |
|||
Из уравнения Максвелла, связывающего пространственные изменения ~ с E
временными изменениями ~ , следует:
H
|
|
|
|
|
@Hy |
@Ex |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
@t |
@z |
|
|
|
|||||||||||
Продифференцируем уравнение ( ) по t, а уравнение ( ) по z: |
|
|||||||||||||||||
@2Ex |
@Ex |
|
@2Hy |
|
|
1 @2Ex |
|
@2Hy |
|
|||||||||
" |
|
+ |
|
|
= |
|
; |
|
|
|
|
|
= |
|
: |
|||
@t2 |
@t |
@z@t |
|
@z2 |
@z@t |
|||||||||||||
Так как правые части обоих |
уравнений одинаковы, можем записать: |
|||||||
|
1 @2Ex |
= " |
@2Ex |
+ |
@Ex |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
@z2 |
@t2 |
@t |
|||||
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Вводные замечания
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Волновое уравнение
Электромагнитные волны в диэлектриках
Волновое уравнение в средах с потерями
Электромагнитные волны в проводниках Критерий разделения сред на диэлектрики и проводники
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Будем рассматривать проекцию поля |
~ |
|
||
E на ось X: |
||||
|
@Hy |
= " |
@Ex |
+ Ex: ( ) |
|
|
|||
@z |
@t |
|||
Из уравнения Максвелла, связывающего пространственные изменения ~ с E
временными изменениями ~ , следует:
H
|
|
|
|
|
@Hy |
@Ex |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
@t |
@z |
|
|
|
|||||||||||
Продифференцируем уравнение ( ) по t, а уравнение ( ) по z: |
|
|||||||||||||||||
@2Ex |
@Ex |
|
@2Hy |
|
|
1 @2Ex |
|
@2Hy |
|
|||||||||
" |
|
+ |
|
|
= |
|
; |
|
|
|
|
|
= |
|
: |
|||
@t2 |
@t |
@z@t |
|
@z2 |
@z@t |
|||||||||||||
Так как правые части обоих уравнений одинаковы, можем записать:
1 @2Ex |
|
@2Ex |
|
@Ex |
) |
@2Ex |
@2Ex |
|
@Ex |
||||
|
|
|
= " |
|
+ |
|
|
|
= " |
|
+ |
|
|
@z2 |
@t2 |
@t |
|
@z2 |
@t2 |
@t |
|||||||
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Вводные замечания
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Волновое уравнение
Электромагнитные волны в диэлектриках
Волновое уравнение в средах с потерями
Электромагнитные волны в проводниках Критерий разделения сред на диэлектрики и проводники
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Учет проводимости среды привел к добавлению в волновое уравнение
!
диффузионного члена @Ex , приводящего к затуханию волн.
@t
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Вводные замечания
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Волновое уравнение
Электромагнитные волны в диэлектриках
Волновое уравнение в средах с потерями
Электромагнитные волны в проводниках Критерий разделения сред на диэлектрики и проводники
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Учет проводимости среды привел к добавлению в волновое уравнение
!
диффузионного члена @Ex , приводящего к затуханию волн.
@t
Произведение ( ) 1 имеет размерность [м 2с 1] и называется магнитным коэффициентом диффузии.
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Вводные замечания
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Волновое уравнение
Электромагнитные волны в диэлектриках
Волновое уравнение в средах с потерями
Электромагнитные волны в проводниках Критерий разделения сред на диэлектрики и проводники
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Учет проводимости среды привел к добавлению в волновое уравнение
!
диффузионного члена @Ex , приводящего к затуханию волн.
@t
Произведение ( ) 1 имеет размерность [м 2с 1] и называется магнитным коэффициентом диффузии.
Пусть зависимость Ex имеет гармонический характер:Ex = E0ei!t
@2Ex i! !2 " Ex = 0 @t2
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Вводные замечания
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Волновое уравнение
Электромагнитные волны в диэлектриках
Волновое уравнение в средах с потерями
Электромагнитные волны в проводниках Критерий разделения сред на диэлектрики и проводники
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Учет проводимости среды привел к добавлению в волновое уравнение
!
диффузионного члена @Ex , приводящего к затуханию волн.
@t
Произведение ( ) 1 имеет размерность [м 2с 1] и называется магнитным коэффициентом диффузии.
Пусть зависимость Ex имеет гармонический характер:Ex = E0ei!t
@2Ex i! !2 " Ex = 0 @t2
и перепишем его в виде
@2Ex 2Ex = 0, где 2 = i! !2 ". @t2
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Вводные замечания
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Волновое уравнение
Электромагнитные волны в диэлектриках
Волновое уравнение в средах с потерями
Электромагнитные волны в проводниках Критерий разделения сред на диэлектрики и проводники
Электромагнитные волны в среде " 6= 0, 6= 0, 6= 0
Учет проводимости среды привел к добавлению в волновое уравнение
!
диффузионного члена @Ex , приводящего к затуханию волн.
@t
Произведение ( ) 1 имеет размерность [м 2с 1] и называется магнитным коэффициентом диффузии.
Пусть зависимость Ex имеет гармонический характер:Ex = E0ei!t
@2Ex i! !2 " Ex = 0 @t2
и перепишем его в виде
@2Ex 2Ex = 0, где 2 = i! !2 ". @t2
Таким образом мы свели волновое уравнение к уравнению Гельмгольца. Это уравнение имеет решения, содержащие члены типа e z и e z. Будем рассматривать волну Ex бегущую в положительном направлении оси Z, т. е. рассматривать решения типа
Ex = E0ei!te z
И. А. Насыров Физика волновых процессов