Lektsia03_2013
.pdf
ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Лекция 3
Насыров Игорь Альбертович
доц. каф. р/электроники
Работа над ошибками Согласование импедансов двух сред
Целью согласования импедансов является создание режима бегущей волны при распространении ее из одной среды в другую. Рассмотрим случай согласования импедансов двух сред в узком диапазоне частот.
Данный способ состоит во введении между средами с импедансами Z1 и Z3 дополнительной среды с импедансом Z2
Uпад(x,t) U0 cos( t k1x)
Uотр (0,t) R12U0 cos( t k1x)
Uотр(l,t) T12R23T21U0 cos( t k1x 2k2l)
Работа над ошибками Согласование импедансов двух сред
Если коэффициенты отражения малы в сравнении с единицей, можно пренебречь вкладом многократно отраженных волн и ограничиться рассмотрением только первых двух отражений.
R и R 1 T12T21 1 R12 1 R21 1 R122 |
1 |
|||||||||
12 |
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
Uотр R12U0 cos( t k1x) R23U0 cos( t k1x 2k2l) |
||||||||||
|
|
|
Z1 |
Z2 |
Подберем Z2 таким образом, что бы R12=R23 |
|
||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12 |
|
|
Z1 |
Z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z2 |
|
Z1Z3 |
|
||||
R |
|
Z2 |
Z3 |
|
|
|||||
Z2 |
Z3 |
|
|
|
|
|
|
|||
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Работа над ошибками Согласование импедансов двух сред
Uотр R12U0 cos( t k1x) cos( t k1x 2k2l) = 0
2k2l |
2l 2 |
l
4
Рассмотренный способ согласования пригоден лишь для узкого интервала частот. Согласования в широкой полосе частот можно добиться с помощью устройства (среды), в котором импеданс монотонно изменяется на длине l, а на длине, равной четверти длины любой из передаваемых волн, изменяется на очень маленькую величину.
Стоячие волны
В реальных средах не всегда удается добиться согласования импедансов при распространении волны из одной среды в другую.
Рассмотрим случай, когда Z2 , т.е. R12=-1, следовательно =
Uпад=-Uотр
В результате сложения падающей и отраженной волн образуется стоячая волна. Для примера рассмотрим струну длиной l, жестко закрепленную на концах.
положительные x |
отрицательные x |
U Uпадei( t kx) |
U Uотрei( t kx) |
5
Стоячие волны
Смещение в любой точке равно:
U Uпадei t (e ikx eikx ) 2iUпадei t sin(kx)
Подставим это решение в волновое уравнение
|
|
|
2U |
|
1 |
|
2U |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
c2 |
t2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
U |
i Uпадei t (e ikx eikx) |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
U |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
k U 0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
c2 |
x2 |
||||
U |
2Uпадei t (e ikx eikx ) 2U |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
Стационарное волновое уравнение, описывающее стоячие волны. |
|
Стоячие волны
x=0
U=0
x=l
|
|
|
l |
||
sin(kl) sin |
|
l |
0 |
|
n |
|
|
||||
c |
|
|
c |
||
В данном случае на струне могут существовать колебания с нормальными частотами, соответствующие нормальным модам.
|
n |
|
n c |
; |
f |
n |
|
nc |
|
2l |
|||||||
|
|
l |
|
|
||||
Если n >1, то на струне будет ряд точек, остающихся неподвижными. Их положение определяется из уравнения:
sin |
nx |
sin |
n x |
0, |
или |
n x |
m (m 0 n). |
c |
|
|
|||||
|
|
l |
|
l |
|||
7 |
узловые точки - узлы |
Стоячие волны
Если отражение от границы среды не полное, то бегущие в разных направлениях волны не точно компенсируют друг друга и не образуют идеальных узлов с нулевой амплитудой. В этом случае вводится понятие коэффициент стоячей волны (КСВ).
Uпад r - амплитудный коэффициент отражения
Uотр
(Uпад |
Uотр )- максимальная амплитуда |
Uпад Uотр |
1 r |
||
(Uпад U |
КСВ |
|
|
|
|
Uпад Uотр |
|
||||
отр ) - минимальная амплитуда |
1 r |
||||
В режиме стоячей волны полная энергия, переносимая в одном направление в точности равна энергии, переносимой в противоположном направлении. Поэтому полный поток энергии (т.е. энергия, переносимая в
8 единицу времени через единичную площадь) в стоячей волне равен нулю.
Групповая скорость
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
В общем случае синусоидальные волны разных частот имеют |
||||
различные фазовые скорости, следовательно различные |
|||||||
|
|||||||
Ф |
|
k |
значения волнового параметра: k 2 |
|
|
|
|
Соотношение между частотой и волновым числом называется ( =f(k)) |
|||||||
дисперсионным соотношением. |
|
|
|
||||
|
|
|
бездисперсионная мода |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
||
U1 U0 cos( 1t k1x);
U2 U0 cos( 2t k2x)
9
Групповая скорость. Бездисперсионная мода
|
|
|
|
1 2=0,1 |
U1 U0 |
cos( 1t k1x); |
|
U0=1 |
U2 U0 |
cos( 2t k2x) |
|
10