Векторный и скалярный потенциалы Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля
ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ Лекция №1: Векторный и скалярный потенциалы
И. А. Насыров
КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт физики
Казань 2013 г.
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля
Рассматриваемые темы
1Векторный и скалярный потенциалы
Потенциал электростатического поля
Векторный потенциал
2Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля
Зависимые от времени потенциалы
Уравнения для потенциалов
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля
ЗАДАНИЕ
Частные случаи распространения электромагнитных волн в анизотропной плазме
САМОСТОЯТЕЛЬНО!!!
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля
ЗАДАНИЕ
Частные случаи распространения электромагнитных волн в анизотропной плазме
САМОСТОЯТЕЛЬНО!!!
Насыров А. М. Волновые процессы. Часть 3. Распространение радиоволн в неоднородных и анизотропных средах. Учебно-методическая разработка. Казань, КГУ. 1995 г. 49 стр.
Сайт КФУ ) Страница кафедры радиоэлектроники ) Электронные ресурсы в помощь студенту
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля
ЗАДАНИЕ
Частные случаи распространения электромагнитных волн в анизотропной плазме
САМОСТОЯТЕЛЬНО!!!
Насыров А. М. Волновые процессы. Часть 3. Распространение радиоволн в неоднородных и анизотропных средах. Учебно-методическая разработка. Казань, КГУ. 1995 г. 49 стр.
Сайт КФУ ) Страница кафедры радиоэлектроники ) Электронные ресурсы в помощь студенту
Дополнительные вопросы на экзамене
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля
Вводные замечания
Для создания надежного радиоканала передачи информации необходимо понимать как будет вести себя электромагнитное поле в пространстве, и каким образом мы можем управлять напряженностью поля в заданной точке пространства.
Решить поставленную задачу можно при помощи уравнений Максвелла.
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля
Вводные замечания
Для создания надежного радиоканала передачи информации необходимо понимать как будет вести себя электромагнитное поле в пространстве, и каким образом мы можем управлять напряженностью поля в заданной точке пространства.
Решить поставленную задачу можно при помощи уравнений Максвелла.
Для нахождения ~ и ~ при заданных распределениях объемной плотности тока
E H
( ~), плотности зарядов ( ), удельной проводимости ( ), магнитной и
J
диэлектрической проницаемости ( и ) удобно ввести новые величины: ~" A
векторный потенциал и ' скалярный потенциал.
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы |
|
Потенциал электростатического поля |
|
|
|
|
|
|||||
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля |
|
Векторный потенциал |
|
|
|
|
|
|||||
Работа сил электростатического поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По определению работа электрических сил записыва- |
|
|
||||||||||
|
||||||||||||
ется: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
A1;2 = Z1 |
F~ (~r)d~r = Z1 |
qE~ (~r) d~r = q Z1 |
E~ (~r) d~r |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы |
|
Потенциал электростатического поля |
|
|
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля |
|
Векторный потенциал |
|
|
Работа сил электростатического поля |
|
|
||
По определению работа электрических сил записыва- |
||||
ется: |
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
A1;2 = Z1 |
F~ (~r)d~r = Z1 |
qE~ (~r) d~r = q Z1 |
E~ (~r) d~r |
|
Для
~
E =
точечного заряда напряженность поля равна
q r3~r,
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы |
|
Потенциал электростатического поля |
|
|
||||||||||
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля |
|
Векторный потенциал |
|
|
|
|
||||||||
Работа сил электростатического поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
По определению работа электрических сил записыва- |
||||||||||||||
ется: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||
A1;2 = Z1 |
F~ (~r)d~r = |
Z1 |
qE~ (~r) d~r = q Z1 |
E~ (~r) d~r |
||||||||||
Для |
точечного заряда |
|
напряженность |
поля равна |
||||||||||
~ |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E = |
|
r3 |
~r, и тогда работа по перемещению пробного |
|||||||||||
заряда q0 в поле точечного заряда равна: |
||||||||||||||
|
2 |
r3 |
|
|
2 |
|
= q0 r1 |
r2 = |
||||||
A1;2 = q0 Z1 |
|
= q0q Z1 r2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
q~rd~ |
|
|
dr |
|
q |
|
q |
|
= Eпот1 Eпот2 = W1 W2 = q0 ('1 '2)
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы |
|
Потенциал электростатического поля |
|
|
||||||||||
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля |
|
Векторный потенциал |
|
|
|
|
||||||||
Работа сил электростатического поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
По определению работа электрических сил записыва- |
||||||||||||||
ется: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||
A1;2 = Z1 |
F~ (~r)d~r = |
Z1 |
qE~ (~r) d~r = q Z1 |
E~ (~r) d~r |
||||||||||
Для |
точечного заряда |
|
напряженность |
поля равна |
||||||||||
~ |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E = |
|
r3 |
~r, и тогда работа по перемещению пробного |
|||||||||||
заряда q0 в поле точечного заряда равна: |
||||||||||||||
|
2 |
r3 |
|
|
2 |
|
= q0 r1 |
r2 = |
||||||
A1;2 = q0 Z1 |
|
= q0q Z1 r2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
q~rd~ |
|
|
dr |
|
q |
|
q |
|
= Eпот1 Eпот2 = W1 W2 = q0 ('1 '2)
Здесь учли, что скалярное произведение равно rd~ = rdr, где dr приращение длины вектора ~r.
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы |
|
Потенциал электростатического поля |
|
|
||||||||||
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля |
|
Векторный потенциал |
|
|
|
|
||||||||
Работа сил электростатического поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
По определению работа электрических сил записыва- |
||||||||||||||
ется: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||
A1;2 = Z1 |
F~ (~r)d~r = |
Z1 |
qE~ (~r) d~r = q Z1 |
E~ (~r) d~r |
||||||||||
Для |
точечного заряда |
|
напряженность |
поля равна |
||||||||||
~ |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E = |
|
r3 |
~r, и тогда работа по перемещению пробного |
|||||||||||
заряда q0 в поле точечного заряда равна: |
||||||||||||||
|
2 |
r3 |
|
|
2 |
|
= q0 r1 |
r2 = |
||||||
A1;2 = q0 Z1 |
|
= q0q Z1 r2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
q~rd~ |
|
|
dr |
|
q |
|
q |
|
= Eпот1 Eпот2 = W1 W2 = q0 ('1 '2)
Здесь учли, что скалярное произведение равно rd~ = rdr, где dr приращение длины вектора ~r. Потенциальную энергию в теории электромагнитных полей будем обозначать через W , а его энергитическую характеристику (потенциал) через '.
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы |
Потенциал электростатического поля |
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля |
Векторный потенциал |
|
|
Потенциал электростатического поля
Мы получили выражение для работы по перенесению заряда q0 из точки r1 в точку r2 в поле точечного заряда q:
!
A1;2 = q0 = q0 ('1 '2) = W1 W2; r1 r2
где потенциальная энергия заряда W в электрическом поле определяется через потенциал: W = q0'.
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы |
Потенциал электростатического поля |
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля |
Векторный потенциал |
|
|
Потенциал электростатического поля
Мы получили выражение для работы по перенесению заряда q0 из точки r1 в точку r2 в поле точечного заряда q:
!
A1;2 = q0 = q0 ('1 '2) = W1 W2; r1 r2
где потенциальная энергия заряда W в электрическом поле определяется через потенциал: W = q0'.
Потенциал энергетическая характеристика электрического поля. Потенциал поля точечного заряда в точке, находящейся на расстоянии r от заряда, имеет вид:
q
' = + const: r
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы |
Потенциал электростатического поля |
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля |
Векторный потенциал |
|
|
Потенциал электростатического поля
Мы получили выражение для работы по перенесению заряда q0 из точки r1 в точку r2 в поле точечного заряда q:
!
A1;2 = q0 = q0 ('1 '2) = W1 W2; r1 r2
где потенциальная энергия заряда W в электрическом поле определяется через потенциал: W = q0'.
Потенциал энергетическая характеристика электрического поля. Потенциал поля точечного заряда в точке, находящейся на расстоянии r от заряда, имеет вид:
q
' = + const: r
Обычно константу выбирают так, чтобы на бесконечности (r ! 1) потенциал равнялся нулю, т. е.
q ' = : r
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы |
Потенциал электростатического поля |
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля |
Векторный потенциал |
|
|
Потенциал электростатического поля
Мы получили выражение для работы по перенесению заряда q0 из точки r1 в точку r2 в поле точечного заряда q:
!
A1;2 = q0 = q0 ('1 '2) = W1 W2; r1 r2
где потенциальная энергия заряда W в электрическом поле определяется через потенциал: W = q0'.
Потенциал энергетическая характеристика электрического поля. Потенциал поля точечного заряда в точке, находящейся на расстоянии r от заряда, имеет вид:
q
' = + const: r
Обычно константу выбирают так, чтобы на бесконечности (r ! 1) потенциал равнялся нулю, т. е.
q ' = : r
В принципе, потенциал определен всегда с точностью до постоянной величины, т. к. физическое значение имеет только разность потенциалов.
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы |
Потенциал электростатического поля |
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля |
Векторный потенциал |
|
|
Потенциал электростатического поля
Из принципа суперпозиции следует, что свойство потенциальности справедливо для электрического поля любой системы или конфигурации неподвижных зарядов.
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы |
Потенциал электростатического поля |
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля |
Векторный потенциал |
|
|
Потенциал электростатического поля
Из принципа суперпозиции следует, что свойство потенциальности справедливо для электрического поля любой системы или конфигурации неподвижных зарядов.
Потенциал поля системы зарядов определяется как:
X
' =
i
qi
j~r ~rij;
где ri расстояние от начала системы отсчета до выбранного i-го заряда, ~r координата точки наблюдения, j~r ~rij расстояние от точки наблюдения до выбранного заряда.
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы |
Потенциал электростатического поля |
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля |
Векторный потенциал |
|
|
Потенциал электростатического поля
Из принципа суперпозиции следует, что свойство потенциальности справедливо для электрического поля любой системы или конфигурации неподвижных зарядов.
Потенциал поля системы зарядов определяется как:
X
' =
i
qi
j~r ~rij;
где ri расстояние от начала системы отсчета до выбранного i-го заряда, ~r координата точки наблюдения, j~r ~rij расстояние от точки наблюдения до выбранного заряда.
Если имеется объемная плотность заряда = (~r0), 
то потенциал равен интегралу по объему, где имеются заряды
' = Z |
j~r ~r0j = Z |
j~r 0 ~r0j 0 |
: |
|
dq |
(~r ) dV |
|
VV
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы |
Потенциал электростатического поля |
|
|
|
|||||||||
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля |
Векторный потенциал |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Потенциал электростатического поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
имеется |
поверхностная |
плотность заряда |
|
|
||||||||
|
|||||||||||||
= |
(~r0), то потенциал выражается через интеграл |
|
|
||||||||||
по поверхности |
|
~r dq~r0 = Z ~r 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
' = Z |
|
|
~r0 |
|
0 |
: |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(~r |
) dS |
|
|
|
|
||
|
|
S |
|
j j S |
j |
|
j |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы |
Потенциал электростатического поля |
|
|
|
|||||||||
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля |
Векторный потенциал |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Потенциал электростатического поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
имеется |
поверхностная |
плотность заряда |
|
|
||||||||
|
|||||||||||||
= |
(~r0), то потенциал выражается через интеграл |
|
|
||||||||||
по поверхности |
|
~r dq~r0 = Z ~r 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
' = Z |
|
|
~r0 |
|
0 |
: |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(~r |
) dS |
|
|
|
|
||
|
|
S |
|
j j S |
j |
|
j |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Связь напряженности и потенциала
Из курса механики известно, что сила есть градиент от потенциальной энергии
~ . F = grad (W )
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы |
Потенциал электростатического поля |
|
|
|
|||||||||
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля |
Векторный потенциал |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Потенциал электростатического поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
имеется |
поверхностная |
плотность заряда |
|
|
||||||||
|
|||||||||||||
= |
(~r0), то потенциал выражается через интеграл |
|
|
||||||||||
по поверхности |
|
~r dq~r0 = Z ~r 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
' = Z |
|
|
~r0 |
|
0 |
: |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(~r |
) dS |
|
|
|
|
||
|
|
S |
|
j j S |
j |
|
j |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Связь напряженности и потенциала Из курса механики известно, что сила есть градиент от потенциальной энергии
~ |
|
|
F = grad (W ). |
~ |
~ |
Используя соотношения F = qE и W = q', получим связь между потенциалом и |
||
напряженностью поля: |
~ |
~ |
|
||
|
E = grad (') = r': |
|
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы |
Потенциал электростатического поля |
|
|
|
|||||||||
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля |
Векторный потенциал |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Потенциал электростатического поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
имеется |
поверхностная |
плотность заряда |
|
|
||||||||
|
|||||||||||||
= |
(~r0), то потенциал выражается через интеграл |
|
|
||||||||||
по поверхности |
|
~r dq~r0 = Z ~r 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
' = Z |
|
|
~r0 |
|
0 |
: |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(~r |
) dS |
|
|
|
|
||
|
|
S |
|
j j S |
j |
|
j |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Связь напряженности и потенциала Из курса механики известно, что сила есть градиент от потенциальной энергии
~ |
|
|
F = grad (W ). |
~ |
~ |
Используя соотношения F = qE и W = q', получим связь между потенциалом и |
||
напряженностью поля: |
~ |
~ |
|
||
|
E = grad (') = r': |
|
Связь между напряженностью поля и потенциалом можно выразить так:
1
Z
~
' (~r) = E (~r) d~r:
~r
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы |
Потенциал электростатического поля |
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля |
Векторный потенциал |
|
|
Потенциал электростатического поля
Уравнение Пуассона
Возьмем дивергенцию от обеих частей уравнения ~ .
E = grad(')
~ ~ ~ ~ ~
div E = div ( grad (')) = r; r' = r; r '
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы |
|
Потенциал электростатического поля |
|
|
|||||||||||||||||
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля |
|
Векторный потенциал |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Потенциал электростатического поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Уравнение Пуассона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
||
Возьмем дивергенцию от обеих частей уравнения E = grad('). |
|
|
|||||||||||||||||||
div E~ = div ( grad (')) = r~ ; r~ ' = r~ ; r~ ' |
|
|
|||||||||||||||||||
@ |
|
@ |
@ |
|
@ |
|
@ |
@ |
|
@2 |
@2 |
|
@2 |
|
|||||||
r~ ; r~ = ~i |
|
+~j |
|
+ ~k |
|
; |
~i |
|
+~j |
|
+ ~k |
|
|
= |
|
+ |
|
+ |
|
: |
|
@x |
@y |
@z |
@x |
@y |
@z |
@x2 |
@y2 |
@z2 |
|||||||||||||
no
Здесь |
~ |
~ |
~ |
ортонормированный базис единичных векторов, |
i; |
j; |
k |
определяющий ориентацию выбранной системы координат в пространстве; оператор Лапласса.
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы |
|
Потенциал электростатического поля |
|
|
|||||||||||||||||
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля |
|
Векторный потенциал |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Потенциал электростатического поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Уравнение Пуассона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
||
Возьмем дивергенцию от обеих частей уравнения E = grad('). |
|
|
|||||||||||||||||||
div E~ = div ( grad (')) = r~ ; r~ ' = r~ ; r~ ' |
|
|
|||||||||||||||||||
@ |
|
@ |
@ |
|
@ |
|
@ |
@ |
|
@2 |
@2 |
|
@2 |
|
|||||||
r~ ; r~ = ~i |
|
+~j |
|
+ ~k |
|
; |
~i |
|
+~j |
|
+ ~k |
|
|
= |
|
+ |
|
+ |
|
: |
|
@x |
@y |
@z |
@x |
@y |
@z |
@x2 |
@y2 |
@z2 |
|||||||||||||
no
Здесь |
~ |
~ |
~ |
ортонормированный базис единичных векторов, |
i; |
j; |
k |
определяющий ориентацию выбранной системы координат в пространстве; оператор Лапласса.
Таким образом, с одной стороны имеем ~ , с другой стороны div E = '
известно, что ~ . div E = 4
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Векторный и скалярный потенциалы |
|
Потенциал электростатического поля |
|
|
|||||||||||||||||
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля |
|
Векторный потенциал |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Потенциал электростатического поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Уравнение Пуассона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
||
Возьмем дивергенцию от обеих частей уравнения E = grad('). |
|
|
|||||||||||||||||||
div E~ = div ( grad (')) = r~ ; r~ ' = r~ ; r~ ' |
|
|
|||||||||||||||||||
@ |
|
@ |
@ |
|
@ |
|
@ |
@ |
|
@2 |
@2 |
|
@2 |
|
|||||||
r~ ; r~ = ~i |
|
+~j |
|
+ ~k |
|
; |
~i |
|
+~j |
|
+ ~k |
|
|
= |
|
+ |
|
+ |
|
: |
|
@x |
@y |
@z |
@x |
@y |
@z |
@x2 |
@y2 |
@z2 |
|||||||||||||
no
Здесь |
~ |
~ |
~ |
ортонормированный базис единичных векторов, |
i; |
j; |
k |
определяющий ориентацию выбранной системы координат в пространстве; оператор Лапласса.
Таким образом, с одной стороны имеем ~ , с другой стороны div E = '
известно, что ~ . div E = 4
Следовательно, можем записать уравнение Пуассона, определяющее связь между распределением заряда и потенциалом:
' = 4
Это одно из основных уравнений электростатики, определяющее потенциал электрического поля по заданному распределению (плотности) заряда.
И. А. Насыров Физика волновых процессов