Уравнения для потенциалов

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsia11_2013.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

1.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Векторный и скалярный потенциалы	Зависимые от времени потенциалы
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля	Уравнения для потенциалов

Уравнения для потенциалов

Выведем дифференциальные уравнения для зависящих от времени потенциалов электромагнитного поля.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный и скалярный потенциалы	Зависимые от времени потенциалы
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля	Уравнения для потенциалов

Уравнения для потенциалов

Выведем дифференциальные уравнения для зависящих от времени потенциалов электромагнитного поля.

Для простоты положим, что среда изотропна, т. е. "; = const на всём протяжении поля. Тогда материальные уравнения запишутся в виде:

~ ~	~ ~
D = "E;	B = H

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный и скалярный потенциалы	Зависимые от времени потенциалы
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля	Уравнения для потенциалов

Уравнения для потенциалов

Выведем дифференциальные уравнения для зависящих от времени потенциалов электромагнитного поля.

~ ~	~ ~
D = "E;	B = H

Запишем уравнение Максвелла, связывающее простраственные изменения магнитного поля с временными изменениями электрического:

rot H~	= c		J~ + 4 @t		! =	4c J~ + c @t :
		4	~			~
				1 @D			" @E

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный и скалярный потенциалы	Зависимые от времени потенциалы
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля	Уравнения для потенциалов

Уравнения для потенциалов

Выведем дифференциальные уравнения для зависящих от времени потенциалов электромагнитного поля.

~ ~	~ ~
D = "E;	B = H

rot H~	=	4c J~ + 4 @t !		=	c	J~ + c @t :
		~			4	~
			1 @D		4	" @E

Умножим обе части этого уравнения на :

rot B~				~
				" @E
	=	4	J~ +			:
		c		c	@t

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный и скалярный потенциалы	Зависимые от времени потенциалы
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля	Уравнения для потенциалов

Уравнения для потенциалов

Выведем дифференциальные уравнения для зависящих от времени потенциалов электромагнитного поля.

~ ~	~ ~
D = "E;	B = H

rot H~

J~ +

4 @t !

4c J~ + c @t :

1 @D

" @E

Умножим обе части этого уравнения на :

rot B~ =

" @E

J~ +

Подставим выражения B~ = rot A~ и E~ = r'

1 @A

в последнее уравнение:

rot rot

4 c J~ + c @t

r' c @t !

" @

1 @A

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный и скалярный потенциалы	Зависимые от времени потенциалы
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля	Уравнения для потенциалов
Уравнения для потенциалов

Распишем левую часть равенства:

h h ii

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

rot rot A = r; r; A = r r; A r; r A = grad div A A:

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный и скалярный потенциалы	Зависимые от времени потенциалы
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля	Уравнения для потенциалов
Уравнения для потенциалов

Распишем левую часть равенства:

rot rot A~

= hr~ ; hr~ ; A~ii = r~ r~ ; A~ r~ ; r~ A~ = grad div A~ A:~

Таким образом можем записать:

! c2 @t2 ;

grad div

A~ = 4 c J~ r~

c @t

" @'

2 ~

" @ A

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный и скалярный потенциалы	Зависимые от времени потенциалы
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля	Уравнения для потенциалов
Уравнения для потенциалов

Распишем левую часть равенства:

rot rot A~

= hr~ ; hr~ ; A~ii = r~ r~ ; A~ r~ ; r~ A~ = grad div A~ A:~

Таким образом можем записать:

! c2 @t2 ;

grad

div

A~ = 4 c J~ r~

c @t

" @'

2 ~

" @ A

или

A~ c2 @t2

= c J~ + grad div A~ + "c @t !:

2 ~

" @ A

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный и скалярный потенциалы	Зависимые от времени потенциалы
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля	Уравнения для потенциалов
Уравнения для потенциалов

Распишем левую часть равенства:

rot rot A~

= hr~ ; hr~ ; A~ii = r~ r~ ; A~ r~ ; r~ A~ = grad div A~ A:~

Таким образом можем записать:

! c2 @t2 ;

grad

div

A~ = 4 c J~ r~

c @t

" @'

2 ~

" @ A

или

A~ c2 @t2

= c J~ + grad div A~ + "c @t !:

2 ~

" @ A

Воспользовавшись неоднозначностью определения потенциалов и ~, можем

' A

наложить некоторое условие (калибровку), определяющее их взаимосвязь.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный и скалярный потенциалы	Зависимые от времени потенциалы
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля	Уравнения для потенциалов
Уравнения для потенциалов

Распишем левую часть равенства:

rot rot A~

= hr~ ; hr~ ; A~ii = r~ r~ ; A~ r~ ; r~ A~ = grad div A~ A:~

Таким образом можем записать:

! c2 @t2 ;

grad

div

A~ = 4 c J~ r~

c @t

" @'

2 ~

" @ A

или

A~ c2 @t2

= c J~ + grad div A~ + c @t !:

2 ~

" @'

" @ A

Воспользовавшись неоднозначностью определения потенциалов и ~, можем

' A

наложить некоторое условие (калибровку), определяющее их взаимосвязь. Выберем такие калибровочные преобразования, чтобы выполнялось условие

" @' ~

div A + = 0; c @t

которое носит название калибровка Лоренца.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный и скалярный потенциалы	Зависимые от времени потенциалы
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля	Уравнения для потенциалов

Уравнения для потенциалов

Уравнение для векторного потенциала ~ в калибровке Лоренца приобретёт вид:

	2 ~			4
~	" @ A			4	~
A	c2	@t2	=	c	J

Данное соотношение называется уравнением Даламбера.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный и скалярный потенциалы	Зависимые от времени потенциалы
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля	Уравнения для потенциалов

Уравнения для потенциалов

Уравнение для векторного потенциала ~ в калибровке Лоренца приобретёт вид:

	2 ~			4
~	" @ A			4	~
A	c2	@t2	=	c	J

Данное соотношение называется уравнением Даламбера.

Действительно, в случае стационарных, не зависящих от времени полей, т. е.

когда @t2 = 0, мы приходим к уравнению Пуассона для векторного потенциала

~. A

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный и скалярный потенциалы	Зависимые от времени потенциалы
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля	Уравнения для потенциалов

Уравнения для потенциалов

Выведем дифференциальное уравнение для скалярного потенциала '.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный и скалярный потенциалы	Зависимые от времени потенциалы
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля	Уравнения для потенциалов
Уравнения для потенциалов

Выведем дифференциальное уравнение для скалярного потенциала '.

Перепишем Уравнение Максвелла ~ в виде: div D = 4

4 ~ ,

div E =

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный и скалярный потенциалы

Зависимые от времени потенциалы

Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля

Уравнения для потенциалов

Выведем дифференциальное уравнение для скалярного потенциала '.

Перепишем Уравнение Максвелла div D~ = 4 в виде:

div E~ = 4

" , ) div

r~ ' c

@t ! =

" ,

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный и скалярный потенциалы

Зависимые от времени потенциалы

Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля

Уравнения для потенциалов

Выведем дифференциальное уравнение для скалярного потенциала '.

Перепишем Уравнение Максвелла div D~ = 4 в виде:

div E~ =

" , ) div

r~ ' c

@t !

" ,

div A~ =

)

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный и скалярный потенциалы

Зависимые от времени потенциалы

Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля

Уравнения для потенциалов

Выведем дифференциальное уравнение для скалярного потенциала '.

Перепишем Уравнение Максвелла div D~ = 4 в виде:

div E~ =

" , ) div

r~ ' c

@t ! =

" ,

div A~ =

)

Из калибровки Лоренца выражаем div

и подставляем в

последнее уравнение, тогда получаем:

" @2'

' +

;

@t2

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный и скалярный потенциалы

Зависимые от времени потенциалы

Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля

Уравнения для потенциалов

Выведем дифференциальное уравнение для скалярного потенциала '.

Перепишем Уравнение Максвелла div D~ = 4 в виде:

div E~ =

" , ) div

r~ ' c

@t ! =

" ,

div A~ =

)

Из калибровки Лоренца выражаем div

и подставляем в

последнее уравнение, тогда получаем:

" @2'

' +

;

@t2

окончательно запишем:

" @2'

@t2

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный и скалярный потенциалы	Зависимые от времени потенциалы
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля	Уравнения для потенциалов

Уравнения для потенциалов

Таким образом, мы получили дифференциальные уравнения для определения векторного и скалярного потенциалов.

8 A~ c2 @t2 = 4 c J~
>	"	2 ~
>	"		@ A
>
>
>	"	2		'	4
>	"	@		'	4
<
>	' c2		@t2 = "
>

Полученные уравнения носят название уравнений Даламбера. Эти уравнения вместе с условием Лоренца позволяют определить значения потенциалов электромагнитного поля по заданному распределению зарядов и токов

			~			~	~	и
			Зная ' и A, можно с помощью уравнений B = rot				A	и
проводимости.			~
~	~	1	@A			~ ~
E = r'					найти векторы B и E.
		c		@t

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный и скалярный потенциалы	Зависимые от времени потенциалы
Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля	Уравнения для потенциалов

Уравнения для потенциалов

Таким образом, мы получили дифференциальные уравнения для определения векторного и скалярного потенциалов.

8 A~ c2 @t2 = c J~
>	"	2 ~				4
>	"		@ A			4
>
>
>	"	2		'	4
>	"	@		'	4
<
>	' c2		@t2 = "
>

			~			~	~	и
			Зная ' и A, можно с помощью уравнений B = rot				A	и
проводимости.			~
~	~	1	@A			~ ~
E = r'					найти векторы B и E.
		c		@t

Для стационарного поля все производные по времени обращаются в нуль, и все уравнения сводятся к уравнениям, описывающим стационарное поле.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.20151.39 Mб50Lektsia05_2013.pdf
#
10.02.20151.62 Mб25Lektsia06_2013.pdf
#
10.02.20152.15 Mб21Lektsia08_2013.pdf
#
10.02.2015295.41 Кб15Lektsia09_2013.pdf
#
10.02.2015254.9 Кб16Lektsia10_2013.pdf
#
10.02.20151.34 Mб28Lektsia11_2013.pdf
#
10.02.2015984.36 Кб25Lektsia12_2013.pdf
#
10.02.20152.15 Mб56Lektsia13_2013.pdf
#
10.02.2015929.23 Кб56Lektsia15_2013.pdf
#
10.02.20151.52 Mб78Lektsia16_2013.pdf
#
17.09.2019576 Кб3lektsia4_5_6.doc