Векторный потенциал

Векторы ~ и ~ силовые характеристики электрического и магнитного полей.

E B

Возникает вопрос, можно ли наряду с потенциалом электростатического поля ввести аналогичную величину для поля магнитного, которая являлась бы его энергетической характеристикой и найти уравнение, решением которого она бы являлась.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторы ~ и ~ силовые характеристики электрического и магнитного полей.

E B

Возникает вопрос, можно ли наряду с потенциалом электростатического поля ввести аналогичную величину для поля магнитного, которая являлась бы его энергетической характеристикой и найти уравнение, решением которого она бы являлась.

Вообще для любой скалярной функции всегда можно взять ее градиент, и при этом ротор ее градиента тождественно равен нулю. Для электростатического поля имеем

~ r r условие потенциальности поля. rot E = rot (grad (')) = [ ; '] 0

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторы ~ и ~ силовые характеристики электрического и магнитного полей.

E B

Возникает вопрос, можно ли наряду с потенциалом электростатического поля ввести аналогичную величину для поля магнитного, которая являлась бы его энергетической характеристикой и найти уравнение, решением которого она бы являлась.

Вообще для любой скалярной функции всегда можно взять ее градиент, и при этом ротор ее градиента тождественно равен нулю. Для электростатического поля имеем

~ r r условие потенциальности поля. rot E = rot (grad (')) = [ ; '] 0

Магнитное поле ~ носит существенно другой характер. В общем случае

B

~6 и ~ не может быть градиентом скалярной функции. rot B = 0 B

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторы ~ и ~ силовые характеристики электрического и магнитного полей.

E B

Возникает вопрос, можно ли наряду с потенциалом электростатического поля ввести аналогичную величину для поля магнитного, которая являлась бы его энергетической характеристикой и найти уравнение, решением которого она бы являлась.

Вообще для любой скалярной функции всегда можно взять ее градиент, и при этом ротор ее градиента тождественно равен нулю. Для электростатического поля имеем

~ r r условие потенциальности поля. rot E = rot (grad (')) = [ ; '] 0

Магнитное поле ~ носит существенно другой характер. В общем случае

B

~6 и ~ не может быть градиентом скалярной функции. rot B = 0 B

Однако, в векторной алгебре известно другое тождество дивергенция от

h i

ротора вектора тождественно равна нулю: ~ ~ ~ ~ . div rot A = r; r; A 0

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторы ~ и ~ силовые характеристики электрического и магнитного полей.

E B

Возникает вопрос, можно ли наряду с потенциалом электростатического поля ввести аналогичную величину для поля магнитного, которая являлась бы его энергетической характеристикой и найти уравнение, решением которого она бы являлась.

Вообще для любой скалярной функции всегда можно взять ее градиент, и при этом ротор ее градиента тождественно равен нулю. Для электростатического поля имеем

~ r r условие потенциальности поля. rot E = rot (grad (')) = [ ; '] 0

Магнитное поле ~ носит существенно другой характер. В общем случае

B

~6 и ~ не может быть градиентом скалярной функции. rot B = 0 B

Однако, в векторной алгебре известно другое тождество дивергенция от

h i

ротора вектора тождественно равна нулю: ~ ~ ~ ~ . div rot A = r; r; A 0

Физический смысл этого векторного тождества состоит в том, что у соленоидального (вихревого) поля нет его источников зарядов. Поэтому индукцию магнитного поля можно представить как ротор некоторой векторной

функции ~:

A

~~ , где ~ векторный потенциал.

B = rot A A

И. А. Насыров Физика волновых процессов

потенциал A описывает магнитное поле B, тогда другой векторный потенциал

~0 ~

A = A + grad( )

при произвольной функции описывает то же самое поле ~ .

B

И. А. Насыров Физика волновых процессов

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Такое преобразование векторного потенциала называют градиентным, а

эквивалентность векторов ~ и ~0 в смысле описания одного и того же

A A

магнитного поля градиентной инвариантностью.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Такое преобразование векторного потенциала называют градиентным, а

эквивалентность векторов ~ и ~0 в смысле описания одного и того же

A A

магнитного поля градиентной инвариантностью.

Неоднозначность векторного потенциала аналогична неоднозначности скалярного потенциала в теории электростатического поля. Только потенциал ' определяется с точностью до произвольной постоянной, а векторный потенциал

~ с точностью до произвольной функции определенного класса.

A

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Такое преобразование векторного потенциала называют градиентным, а

эквивалентность векторов ~ и ~0 в смысле описания одного и того же

A A

магнитного поля градиентной инвариантностью.

Неоднозначность векторного потенциала аналогична неоднозначности скалярного потенциала в теории электростатического поля. Только потенциал ' определяется с точностью до произвольной постоянной, а векторный потенциал

~ с точностью до произвольной функции определенного класса.

A

Благодаря градиентному преобразованию на векторный потенциал можно накладывать дополнительные условия, которые могут быть удовлетворены подбором скалярной функции .

И. А. Насыров Физика волновых процессов

~ h~ ~i h~ h~ ~ii ~ ~ ~ ~ ~ ~ 4 ~ rot B = r; rot A = r; r; A = r r; A r; r A = J

c

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Уравнение для векторного потенциала

Подставим ~ ~ в уравнение, представляющее дифференциальную

B = rot A

форму теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции:

~ h~ ~i h~ h~ ~ii ~ ~ ~ ~ ~ ~ 4 ~ rot B = r; rot A = r; r; A = r r; A r; r A = J

c

Воспользуемся неоднозначностью потенциала, наложив на потенциал определенное дополнительное условие калибровку.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Уравнение для векторного потенциала

Подставим ~ ~ в уравнение, представляющее дифференциальную

B = rot A

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Уравнение для векторного потенциала

Подставим ~ ~ в уравнение, представляющее дифференциальную

B = rot A

форму теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции:

~ h~ ~i h~ h~ ~ii ~ ~ ~ ~ ~ ~ 4 ~ rot B = r; rot A = r; r; A = r r; A r; r A = J

c

Воспользуемся неоднозначностью потенциала, наложив на потенциал определенное дополнительное условие калибровку.

В магнитостатике выбирают следующую калибровку:

~ т. е. ~ ~

div A 0 r; A 0

Тогда уравнение для векторного потенциала магнитостатического поля примет следующий вид:

Это уравнение аналогично уравнению Пуассона в электростатике.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный потенциал

Уравнение для векторного потенциала

Решение уравнения (*) известно, и может быть записано в виде:

Отметим, что уравнение (*) дифференцируется по координате ~r.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный потенциал

Уравнение для векторного потенциала

Решение уравнения (*) известно, и может быть записано в виде:

Отметим, что уравнение (*) дифференцируется по координате ~r.

Данное решение носит название векторный потенциал объемных токов.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный потенциал

Уравнение для векторного потенциала

Решение уравнения (*) известно, и может быть записано в виде:

Отметим, что уравнение (*) дифференцируется по координате ~r.

Данное решение носит название векторный потенциал объемных токов. Для векторного потенциала линейных токов можем записать, соответственно:

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный потенциал

Физический смысл векторного потенциала

Обычно в классической физике векторный потенциал ~ рассматривается как

A

вспомогательная величина, не имеющая физического смысла, т.е. не наблюдаемая и не измеряемая. Такая интерпретация восходит к работам О.Хевисайда и Г.Герца (Оливер Хевисайд, английский физик, 1850-1925; Генрих Рудольф Герц, немецкий физик, 1857-1894), рассматривавших электромагнитное поле довольно формально и интересовавшихся больше методами расчетов, чем физическими свойствами векторного потенциала. Однако Максвелл вводил векторный потенциал как величину, пропорциональную импульсу (количеству движения) сгустка электромагнитного поля, сопровождающего движущийся электрический заряд.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный потенциал

Физический смысл векторного потенциала

В середине прошлого века И. Ааронов и Д. Бом (Дэвид Джозеф Бом, американский физик, 20.12.1917– 27.10.1992) предсказали интересный эффект, позже обнаруженный экспериментально: в области, где от-

сутствует магнитное поле ~ , но существует от-

B = 0

личный от нуля векторный потенциал, изменение векторного потенциала меняет движение электронов, т.к. меняется импульс сгустка электромагнитного поля, сопровождающего электрон.

Такая ситуация складывается для длинного соленоида с током, у которого магнитное поле сосредоточено внутри цилиндра, а во внешней области магнитное поле равно нулю. На рисунке показан соленоид в разрезе, причем магнитное поле внутри соленоида направлено за плоскость рисунка. Индукция магнитного поля,

@A

определяемая соотношением B = , терпит на границе соленоида (на радиусе

@r

r0) конечный скачок (синяя кривая), а зависимость векторного потенциала от расстояния до центра A(r) всего лишь меняет наклон (красная кривая).

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный потенциал

Физический смысл векторного потенциала

И. Ааронов и Д. Бом рассматривали рассеяние электронов на соленоиде, причем электроны могли огибать соленоид сверху или снизу. Электронам присущи волновые свойства, и в отсутствие тока в катушке электронные волны, огибая соленоид (в детали не будем вдаваться), создают на экране некоторую интерференционную картину. При появлении в соленоиде тока оказывается, что интерференционная картина сдвигается, хотя электроны по-прежнему движутся

во внешней области, где индукция магнитного поля ~ равна нулю. Это означает,

B

что изменение векторного потенциала в пространстве, окружающем соленоид, меняет фазы электронных волн, что в свою очередь приводит к изменению наблюдаемой на экране интерференционной картины. Следовательно, по изменению интерференционной картины можно определить изменение векторного потенциала. Таким образом, изменение векторного потенциала магнитного поля оказывается наблюдаемой, измеряемой физической величиной.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный потенциал

Вклассической физике нет прямого способа измерения векторного потенциала

~. Однако введение его очень удобно для теории поля. Так, через векторный

A

потенциал упрощается выражение для энергии взаимодействия системы зарядов и токов с электромагнитным полем, векторный потенциал определяет электрокинетический импульс заряженной частицы в электромагнитном поле, с его помощью упрощается запись системы уравнений Максвелла. Помимо всего

прочего векторный потенциал ~ вместе со скалярным потенциалом

A

электростатического поля ' образуют 4-х мерный вектор.

0 1

'

BAx C

BC

@Ay A Az

Компоненты этого вектора преобразуются согласно преобразованиям Лоренца.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Векторный потенциал

В классической физике нет прямого способа измерения векторного потенциала

~. Однако введение его очень удобно для теории поля. Так, через векторный

A

потенциал упрощается выражение для энергии взаимодействия системы зарядов и токов с электромагнитным полем, векторный потенциал определяет электрокинетический импульс заряженной частицы в электромагнитном поле, с его помощью упрощается запись системы уравнений Максвелла. Помимо всего

прочего векторный потенциал ~ вместе со скалярным потенциалом

A

электростатического поля ' образуют 4-х мерный вектор.

0 1

'

BAx C

BC

@Ay A Az

Компоненты этого вектора преобразуются согласно преобразованиям Лоренца. Отметим, что все выше сказанное справедливо для статических полей, когда нет зависимости от времени.

И. А. Насыров Физика волновых процессов