Вводные замечания Основные закономерности

ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ Лекция №15: Волны в волноводах

И. А. Насыров

КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт физики

И. А. НасыровКазань 2013Физикаг.волновых процессов

Вводные замечания Основные закономерности

Рассматриваемые темы

1Вводные замечания

Статический случай

Переменный ток

2Основные закономерности

Общий вид решения волновых уравнений

Дисперсия в волноводах

Типы волн в волноводах

Волны без дисперсии

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Вводные замечания

Линиями передач являются устройства, позволяющие направлено передавать энергию электромагнитного поля из одной области пространства в другую. Примерами таких устройств являются проводники электрического тока, кабели, волноводы и т. п. Плотность потока энергии электромагнитного поля, в общем случае, определяется вектором Умова-Пойнтинга:

~ c h~ ~ i (1) S = E; B :

4

Исследование данного вектора в различных устройствах, служащих целям передачи энергии электромагнитного поля, позволяет установить физические процессы, сопровождающие процесс передачи энергии.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Вводные замечания

Линиями передач являются устройства, позволяющие направлено передавать энергию электромагнитного поля из одной области пространства в другую. Примерами таких устройств являются проводники электрического тока, кабели, волноводы и т. п. Плотность потока энергии электромагнитного поля, в общем случае, определяется вектором Умова-Пойнтинга:

~ c h~ ~ i (1) S = E; B :

4

Исследование данного вектора в различных устройствах, служащих целям передачи энергии электромагнитного поля, позволяет установить физические процессы, сопровождающие процесс передачи энергии.

В этой Лекции рассматрим основные закономерности распространения волн в волноводах, имеющие не только важное прикладное, но и фундаментальное, можно даже сказать мировозренческое, значение.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Вводные замечания

Линиями передач являются устройства, позволяющие направлено передавать энергию электромагнитного поля из одной области пространства в другую. Примерами таких устройств являются проводники электрического тока, кабели, волноводы и т. п. Плотность потока энергии электромагнитного поля, в общем случае, определяется вектором Умова-Пойнтинга:

~ c h~ ~ i (1) S = E; B :

4

Исследование данного вектора в различных устройствах, служащих целям передачи энергии электромагнитного поля, позволяет установить физические процессы, сопровождающие процесс передачи энергии.

Вэтой Лекции рассматрим основные закономерности распространения волн в волноводах, имеющие не только важное прикладное, но и фундаментальное, можно даже сказать мировозренческое, значение.

Визотропных средах электромагнитные волны являются поперечными, плоская волна заданной частоты является суперпозицией двух линейно–поляризованных

волн. Каждая из этих волн характеризуется вектором электрического поля ( ~ ) и

E

ортогональным ему вектором магнитного поля ( ~ ) и оба поля ортогональны

B

волновому вектору (~).

S

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Вводные замечания

Статический случай Рассмотрим для примера длинный цилиндрический прямой проводник с радиусом сечения r0, вдоль которого течет по-

стоянный ток с плотностью ~. При от- j

сутствии сторонних сил, плотность то-

ка внутри такого проводника равна: ~

j =

~ и равномерно распределена по сече-

E

нию проводника. Следовательно напряженность поля, поддерживающая этот постоянный ток есть:

~

~

j

E =

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Вводные замечания

Статический случай Рассмотрим для примера длинный цилиндрический прямой проводник с радиусом сечения r0, вдоль которого течет по-

стоянный ток с плотностью ~. При от- j

сутствии сторонних сил, плотность то-

ка внутри такого проводника равна: ~

j =

~ и равномерно распределена по сече-

E

нию проводника. Следовательно напряженность поля, поддерживающая этот постоянный ток есть:

~

~

j

E =

Вектор касательной к проводнику и направление плотности тока в данном случае совпадают. Вследствие непрерывности тангенциальных составляющих напряженности электрического поля (E1 = E2 ) на границе раздела проводник–вакуум и отсутствием нормальных к границе раздела составляющих

напряженности поля внутри проводника, такое же поле ~ существует вблизи j=

поверхности с внешней стороны проводника.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Вводные замечания

Индукция магнитного поля ~ вблизи поверхности и с внешней и с внутренней

B

стороны проводника перпендикулярна вектору плотности тока ~ и направлена по j

касательной к окружности, соосной с осью проводника. На поверхности проводника величина вектора индукции ортогональна вектору напряженности электрического поля и равна:

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Вводные замечания

Индукция магнитного поля ~ вблизи поверхности и с внешней и с внутренней

B

стороны проводника перпендикулярна вектору плотности тока ~ и направлена по j

касательной к окружности, соосной с осью проводника. На поверхности проводника величина вектора индукции ортогональна вектору напряженности электрического поля и равна:

Таким образом, на внешней поверхности проводника вектор Умова–Пойнтинга направлен по радиусу проводника к его центру и равен:

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Вводные замечания

Индукция магнитного поля ~ вблизи поверхности и с внешней и с внутренней

B

стороны проводника перпендикулярна вектору плотности тока ~ и направлена по j

касательной к окружности, соосной с осью проводника. На поверхности проводника величина вектора индукции ортогональна вектору напряженности электрического поля и равна:

Таким образом, на внешней поверхности проводника вектор Умова–Пойнтинга направлен по радиусу проводника к его центру и равен:

Это означает, что внутрь проводника втекает энергия электромагнитного поля, которое создается постоянным током. Следовательно на участке проводника длиной l за единицу времени в проводник, имеющий объём V , втекает энергия равная:

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Вводные замечания

Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии в системе заряды–поле означает, что работа, совершаемая полем над зарядами, производится либо за счет уменьшения энергии поля, либо за счет притока энергии в систему извне.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Вводные замечания

Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии в системе заряды–поле означает, что работа, совершаемая полем над зарядами, производится либо за счет уменьшения энергии поля, либо за счет притока энергии в систему извне.

В соответствии с законом Джоуля–Ленца количество теплоты Q, которое выделяется в единицу времени в линейном проводнике с сопротивлением R, по которому протекает ток I равно Q = RI2. Применив этот закон к бесконечно малому цилиндру высоты dl с поперечным сечением ds, ось которого совпадает с

2 dl

ds

теплоты q, которое выделяется в единице объема проводника в единицу времени

в дифференциальной форме.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Вводные замечания

Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии в системе заряды–поле означает, что работа, совершаемая полем над зарядами, производится либо за счет уменьшения энергии поля, либо за счет притока энергии в систему извне.

В соответствии с законом Джоуля–Ленца количество теплоты Q, которое выделяется в единицу времени в линейном проводнике с сопротивлением R, по которому протекает ток I равно Q = RI2. Применив этот закон к бесконечно малому цилиндру высоты dl с поперечным сечением ds, ось которого совпадает с

2 dl

направлением тока I получим dQ =

ds

теплоты q, которое выделяется в единице объема проводника в единицу времени

j2

равно ~ ~ . Последнее равенство называется законом Джоуля–Ленца q = = j; E

в дифференциальной форме.

Сравнивая это выражение с выражением для энергии втекающей в проводник (2) нетрудно убедиться в том, что при прохождении электрического тока вся выделяемая в виде теплоты энергия поступает в проводник из окружающего пространства. Т. о., в общем случае энергия передаваемая током по проводам, движется в пространстве, окружающем провода, т. е. провода играют роль направляющих, вдоль которых распространяется энергия.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Вводные замечания

Кабель без сопротивления

Рассмотрим процесс передачи энергии от источника к потребителю с помощью кабеля. Кабель можно рассматривать как два соосных цилиндрических проводника, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ". Эти два проводника состоят из центрального провода и цилиндрической оболочки. По этим проводникам направление тока противоположно. В пространстве между проводниками возникает и магнитное, и электрическое поле. Структура магнитного поля аналогична полю линейного проводника линии индукции образуют концентрические окружности в плоскости ортогональной оси кабеля.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Вводные замечания

Кабель без сопротивления

Рассмотрим процесс передачи энергии от источника к потребителю с помощью кабеля. Кабель можно рассматривать как два соосных цилиндрических проводника, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ". Эти два проводника состоят из центрального провода и цилиндрической оболочки. По этим проводникам направление тока противоположно. В пространстве между проводниками возникает и магнитное, и электрическое поле. Структура магнитного поля аналогична полю линейного проводника линии индукции образуют концентрические окружности в плоскости ортогональной оси кабеля.

Величина вектора магнитной индукции определяется выражением:

4 I

2 rB =

c

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Вводные замечания

Кабель без сопротивления

Рассмотрим процесс передачи энергии от источника к потребителю с помощью кабеля. Кабель можно рассматривать как два соосных цилиндрических проводника, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ". Эти два проводника состоят из центрального провода и цилиндрической оболочки. По этим проводникам направление тока противоположно. В пространстве между проводниками возникает и магнитное, и электрическое поле. Структура магнитного поля аналогична полю линейного проводника линии индукции образуют концентрические окружности в плоскости ортогональной оси кабеля.

Величина вектора магнитной индукции определяется выражением:

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Вводные замечания

Плотность потока энергии

С учетом структуры поля, вектор плотности потока энергии направлен вдоль оси кабеля и равен:

то есть энергия электромагнитного поля движется вдоль кабеля. Вне кабеля напряженность поля равна нулю, вследствие чего энергия вне кабеля отсутствует.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Вводные замечания

Плотность потока энергии

С учетом структуры поля, вектор плотности потока энергии направлен вдоль оси кабеля и равен:

Z

1

Szd = 2 ln (R2/R1) r2 dr d = 'I = UI: (4)

S0 R1

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Вводные замечания

Плотность потока энергии

С учетом структуры поля, вектор плотности потока энергии направлен вдоль оси кабеля и равен:

Z

1

Szd = 2 ln (R2/R1) r2 dr d = 'I = UI: (4)

S0 R1

Известно, что потребляемая мощность P определяется выражением P = IU. Это означает, что вся энергия используемая потребителем, движется вдоль кабеля в пространстве между центральным проводником и оболочкой.

И. А. Насыров Физика волновых процессов