Основные закономерности

Общий вид решения волновых уравнений

Рассмотрим регулярный волновод, имеющий сечение в поперечной плоскости , одинаковое вдоль оси z. Положим, что потери энергии в металлических стенках и заполняющей среде отсутствуют (т.е˙. = 0).

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Общий вид решения волновых уравнений

Рассмотрим регулярный волновод, имеющий сечение в поперечной плоскости , одинаковое вдоль оси z. Положим, что потери энергии в металлических стенках и заполняющей среде отсутствуют (т.е˙. = 0).

Полученные ранее волновые уравнения для векторов ~ и ~ эквивалентны шести

E H

скалярным уравнениям для проекций и для среды без потерь имеют структуру

здесь под F (x; y; z; t) нужно понимать любую из проекций вектора электрического или магнитного поля на координатные оси.

Временная зависимость F (t) exp(i!t) уже определена используемым методом комплексных амплитуд.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Общий вид решения волновых уравнений

Рассмотрим регулярный волновод, имеющий сечение в поперечной плоскости , одинаковое вдоль оси z. Положим, что потери энергии в металлических стенках и заполняющей среде отсутствуют (т.е˙. = 0).

Полученные ранее волновые уравнения для векторов ~ и ~ эквивалентны шести

E H

скалярным уравнениям для проекций и для среды без потерь имеют структуру

здесь под F (x; y; z; t) нужно понимать любую из проекций вектора электрического или магнитного поля на координатные оси.

Временная зависимость F (t) exp(i!t) уже определена используемым методом комплексных амплитуд.

Из проведенного ранее анализа волновых процессов понятно, что поля в волноводе можно представить в общем виде как суперпозицию падающих и отраженных волн, которые распространяются вдоль волноводов (ось z), и искать решение волновых уравнений в виде:

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Общий вид решения волновых уравнений

Здесь надо принять допущение, что волновое число имеет величину K 6= k, то есть считать, что в общем случае в волноводе длина волны = 2K не равняется длине волны = 2k в неограниченном пространстве и соответственно фазовая скорость vф = K! волны вдоль волновода отличается от скорости света c = !k . Подобная ситуация имеет место при наклонном падении плоской волны на отражающую поверхность.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Общий вид решения волновых уравнений

Здесь надо принять допущение, что волновое число имеет величину K 6= k, то есть считать, что в общем случае в волноводе длина волны = 2K не равняется длине волны = 2k в неограниченном пространстве и соответственно фазовая скорость vф = K! волны вдоль волновода отличается от скорости света c = !k . Подобная ситуация имеет место при наклонном падении плоской волны на отражающую поверхность.

Функции F (x; y) характеризуют распределение полей в поперечной плоскости волновода и играют роль амплитуд падающей и отраженной волн. Эти функции подобны и отличаются только постоянным множителем, так как удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению. Если зависимость полей от продольной координаты определена, то вид волновых уравнений упрощается.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Общий вид решения волновых уравнений

Здесь надо принять допущение, что волновое число имеет величину K 6= k, то есть считать, что в общем случае в волноводе длина волны = 2K не равняется длине волны = 2k в неограниченном пространстве и соответственно фазовая скорость vф = K! волны вдоль волновода отличается от скорости света c = !k . Подобная ситуация имеет место при наклонном падении плоской волны на отражающую поверхность.

Функции F (x; y) характеризуют распределение полей в поперечной плоскости волновода и играют роль амплитуд падающей и отраженной волн. Эти функции подобны и отличаются только постоянным множителем, так как удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению. Если зависимость полей от продольной координаты определена, то вид волновых уравнений упрощается.

Здесь x;y оператор Лапласа, который включает в себя производные только по поперечным координатам.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Общий вид решения волновых уравнений

Функции F (x; y), характеризующие распределение полей в поперечном сечении волновода, подобны. Поэтому для выяснения их общих закономерностей достаточно ограничиться рассмотрением лишь падающей волны. Уравнение типа

(7) в частных производных удобно решать методом разделения переменных.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Общий вид решения волновых уравнений

Функции F (x; y), характеризующие распределение полей в поперечном сечении волновода, подобны. Поэтому для выяснения их общих закономерностей достаточно ограничиться рассмотрением лишь падающей волны. Уравнение типа

(7) в частных производных удобно решать методом разделения переменных. Обозначим F +(x; y) = X(x)Y (y), выполним процедуру разделения переменных и получим вместо (7) два уравнения:

Здесь через kx и ky обозначены так называемые постоянные разделения, для которых выполняется равенство kx2 + ky2 = k2 K2, или

и которые иногда называют (по аналогии с k и K) поперечными волновыми числами, несмотря на то, что в поперечном направлении распространения волн не происходит.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Общий вид решения волновых уравнений

Решение уравнений (8) можно представить в виде гармонических функций:

Двойная запись означает, что исходя из удобства, можно выбирать любую из функций, пока постоянные интегрирования x и y не определены.

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Общий вид решения волновых уравнений

Решение уравнений (8) можно представить в виде гармонических функций:

Двойная запись означает, что исходя из удобства, можно выбирать любую из функций, пока постоянные интегрирования x и y не определены. Полученные выражения позволяют записать общий вид решения волновых уравнений для любой из составляющих электрического и магнитного полей в форме

И. А. Насыров Физика волновых процессов

Общий вид решения волновых уравнений

Решение уравнений (8) можно представить в виде гармонических функций:

Двойная запись означает, что исходя из удобства, можно выбирать любую из функций, пока постоянные интегрирования x и y не определены. Полученные выражения позволяют записать общий вид решения волновых уравнений для любой из составляющих электрического и магнитного полей в форме

Это выражение показывает, что гармонические изменения напряженности аналогичны полям стоячей волны в поперечном сечении, а в продольном направлении в волноводе существует волновой процесс, который характеризуется продольным волновым числом K. Постоянные интегрирования x и y и постоянные разделения kx и ky обычно находятся из граничных условий, которые могут быть сформулированы для каждого конкретного волновода.

И. А. Насыров Физика волновых процессов