Учебное пособие «Методы анализа и расчета электронных схем»

21

2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ

2.1 Классификация электронных схем по математическому описанию

Реальные зависимости между токами и напряжениями электронных схем в общем случае нелинейные, достаточно сложные и носят в определенной степени вероятностный характер. В то же время режим работы устройства и требуемая точность анализа зачастую позволяет пренебречь нелинейностью характеристик и статистическим характером параметров входящих в него компонентов и проводить исследования по упрощенным математическим моделям. Это вызвало появление классификации электронных схем по типу математических моделей, используемых при анализе.

Линейные схемы

Математические модели линейных электронных схем представляют собой линейные алгебраические и дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами [1].

[Внимание] В соответствии с теорией линейных дифференциальных уравнений линейные схемы обладают двумя очень важными с практической точки зрения свойствами: свойством наложения (суперпозиции) и инвариантности отношений реакции к воздействию к операциям интегрирования и дифференцирования. [.]

Согласно свойству суперпозиции реакция линейной схемы на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности

22

xi ( t ) Fqi ( t ) – реакция на отдельное воздействие.

Согласно свойству инвариантности, если воздействию q( t ) соответству-

[Выводы] Из свойств суперпозиции и инвариантности следует, что реакции линейных электронных схем не содержат новых спектральных составляющих по отношению к спектрам воздействующих на схему сигналов. [.]

К линейным схемам относят схемы, содержащие пассивные линейные компоненты с постоянными параметрами, а также схемы, содержащие активные многополюсные компоненты, работающие в линейной области вольтамперных характеристик в режиме малого сигнала (квазилинейные схемы). Кроме того, существует целый ряд нелинейных электронных схем, которые на отдельных интервалах работы могут рассматриваться как линейные (ку- сочно-линейные схемы).

Линейные параметрические схемы

Математическими моделями линейных параметрических схем являются линейные алгебраические и дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, зависящими от времени [1]. Будучи линейными, параметрические схемы обладают свойством суперпозиции

23

В то же время свойство инвариантности отношения реакции к воздействию к операциям интегрирования и дифференцирования для линейных параметрических схем не выполняется:

x( t )dt F( t )q( t )dt F( t ) q( t )dt q( t )dF( t ) F( t ) q( t )dt

[Выводы] Из-за нарушения принципа инвариантности при гармонических воздействиях и изменениях параметров в реакциях линейных параметрических схем возникают новые спектральные составляющие. [.]

К линейным параметрическим схемам относятся схемы, содержащие компоненты, параметры которых изменяются во времени под действием дополнительных управляющих сигналов: преобразователи частоты, малошумящие параметрические усилители, магнито-транзисторные параметроны и т.п.

Нелинейные схемы

Математические модели нелинейных электронных схем представляют собой нелинейные алгебраические и дифференциальные уравнения, параметры (коэффициенты) которых зависят от фазовых переменных. Принципиальным отличием нелинейных схем от линейных является неприменимость к ним принципов наложения и инвариантности, вследствие чего в реакциях схем появляются новые спектральные составляющие относительно спектрального состава воздействий.

К нелинейным схемам относятся схемы, содержащие хотя бы один

24

компонент, токи и напряжения на полюсах которого связаны нелинейной зависимостью: усилители в режиме большого сигнала, генераторы гармонических колебаний, умножители частоты и т.д.

Нелинейные параметрические схемы

Математическими моделями нелинейных параметрических схем являются нелинейные алгебраические и дифференциальные уравнения, параметры (коэффициенты) которых зависят и от фазовых переменных, и от времени.

К ним относятся схемы, содержащие нелинейные компоненты и компоненты с переменными во времени параметрами: устройства частотной модуляции, параметрические генераторы и др.

2.2 Топологические модели электронных схем

По форме представления различают следующие виды топологических моделей электронных цепей: электрические схемы (схемы замещения), полюсные графы электронных схем, топологические матрицы и уравнения.

Схемы замещения электронных цепей

[Определение] Схема замещения электронной цепи – это геометрическая абстракция цепи, отражающая ее структуру и характер входящих в нее компонентов с учетом режима работы, постановки задачи исследования и требуемой точности. [.]

Для обеспечения требования достаточной простоты математической модели широко распространен подход, связанный с формированием для одной и той же электронной цепи нескольких схем замещения, каждая из кото-

25

рых соответствует определенному режиму работы (состоянию) электронной цепи.

Для электронных цепей непрерывного действия принято задачу анализа разделять на две независимые задачи: анализ цепи по постоянному току и анализ цепи по переменному току, для решения каждой из которых применяют соответствующие схемы замещения.

Схему замещения электронной цепи по постоянному току получают из схемы электрической принципиальной, используя следующие правила:

–ветви с емкостными элементами размыкают;

–идеальные индуктивности закорачивают;

–ветви идеальных источников переменного тока размыкают;

–идеальные источники переменных ЭДС закорачивают;

–активные электронные компоненты представляют соответствующими условными графическими обозначениями либо замещают нелинейными эквивалентными схемами для постоянного тока;

–источники питания постоянного тока принято представлять источниками постоянных ЭДС или постоянных токов с внутренними сопротивлениями;

При анализе измерительных цепей иногда учитывают паразитные омические сопротивления реактивных компонентов с целью исследования погрешностей, вносимых реактивными компонентами.

Для удобства дальнейшего использования схемы замещения по постоянному току рекомендуется по возможности изображать без пересечений ветвей.

В качестве примера рассмотрим формирование схемы замещения по постоянному току однокаскадного усилителя низкой частоты на биполярном транзисторе с цепью низкочастотной коррекции (рис. 2.1).

26

Рис. 2.1. Схема однокаскадного усилителя низкой частоты на биполярном транзисторе с цепью низкочастотной коррекции

В соответствии с правилами построения схем замещения по постоянному току в схеме рис. 2.1 размыкаем ветви, содержащие конденсаторы C1, C2 , C3 , C4 . Источник питания E представляем идеальным источником ЭДС E с последовательно включенным внутренним сопротивлением r . Активный электронный компонент (транзистор VT ) представляем соответствующим условным графическим обозначением. Полученная схема замещения усилителя по постоянному току представлена на рис. 2.2.

27

Рис. 2.2. Схема замещения однокаскадного усилителя низкой частоты по постоянному току

Схему замещения электронной цепи по переменному току получают из схемы электрической принципиальной, используя следующие правила:

–ветви источников постоянного тока размыкают;

–источники постоянных напряжений закорачивают;

–активные электронные компоненты представляют соответствующими условными графическими обозначениями либо замещают линеаризованными эквивалентными схемами для переменных сигналов;

–реактивные элементы закорачивают, если в рассматриваемом диапазоне частот их сопротивления переменому току сравнительно малы, и размыкают, если их сопротивления переменому току велики.

[Внимание] Для упрощения анализа иногда целесообразно составлять отдельные схемы замещения по переменному току для областей нижних, рабочих и верхних частот. [.]

При формировании схем замещения по переменному току для областей рабочих и верхних частот, как правило, закорачивают блокировочные, разде-

28

лительные (входные, выходные, межкаскадные) конденсаторы, конденсаторы сглаживающих фильтров и другие, из назначения которых следует, что их сопротивление переменному току в рассматриваемом диапазоне частот должно быть мало.

При составлении схемы замещения по переменному току необходимо стремиться к максимально возможному упрощению и наглядности. Это имеет существенное значение для ускорения анализа и расчета электронных схем.

Рассмотрим формирование схем замещения по переменному току для однокаскадного усилителя низкой частоты с цепью низкочастотной коррекции, приведенного на рис. 2.1.

При составлении схемы замещения по переменному току исключаем из принципиальной схемы источник питания E (так как это источник постоянного напряжения) путем закорачивания. Источник входного сигнала в схеме замещения по переменному току представлен идеальным источником переменной ЭДС ec с последовательным внутренним сопротивлением rc , а нагрузка – ветвью с сопротивлением Zí . В схеме замещения усилителя по переменному току для полного диапазона частот (рис. 2.3) учтены все реактивные элементы. Активный электронный компонент (транзистор VT ) представлен соответствующим условным графическим обозначением.

29

Рис. 2.3. Схема замещения усилителя низкой частоты по переменному току для полного диапазона частот

Из назначения конденсаторов C1, C2 , C3 и C4 следует, что они должны иметь малое сопротивление переменному току в области рабочих частот. В связи с этим, в схеме замещения по переменному току для рабочего диапазона частот (рис. 2.4) ветви, содержащие эти конденсаторы, можно закоротить. При закорачивании конденсаторов C2 и C3 ветви с сопротивлениями R1, R2 образуют одну эквивалентную ветвь с сопротивлением

Rý R1R2 .

R1 R2

30

Рис. 2.4. Схема замещения усилителя низкой частоты по переменному току для рабочего диапазона частот

Полюсные графы

Наиболее компактно структура электронной цепи отображается с помощью полюсных графов электронных схем.

[Определение] Граф G( X , A, ) представляет собой совокупность непустого множества вершин X ( X ), не пересекающегося с ним множества ребер A ( A X ) и закона , устанавливающего взаимосвязь между элементами множества вершин с помощью элементов множества ребер. [.]

Геометрически граф принято изображать совокупностью точек, взаимно однозначно соответствующих вершинам, и связывающих их линий произвольной кривизны, взаимно однозначно соответствующих ребрам графа [2].

При необходимости учета направлений связей между вершинами графа соответствующим ребрам приписываются направления, отмечаемые стрелками, а сами ребра называют дугами. Графы, содержащие только ненаправленные ребра, называют ненаправленными графами. Графы, включающие только направленные ребра (дуги), называют направленными или ориентированными графами, а также орграфами. Графы, содержащие как направленные, так и ненаправленные ребра, носят название смешанных.

Полюсный граф электронной схемы представляет собой граф, вершины которого соответствуют узлам схемы, ребра – ветвям схемы, а в качестве закона выступает порядок связей ветвей схемы между собой. Ребрам полюсного графа приписывают направления, совпадающие с положительными направлениями токов соответствующих ветвей. При этом в ветви, содержащей источник ЭДС положительное направление тока следует выбирать про-