Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие «Методы анализа и расчета электронных схем»

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

3.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2319 20 21 22 23 > Следующая >>>

185

		UXT

V	V V V	UXN
V	V V V	UXN	0	.	(5.9)
UT	UN IT IN			.	(5.9)
		IXT

		IXN
Из топологического уравнения (5.7) выразим вектор токов I XT x-дуг де-
рева
	IXT XX IXN XLILN XJ J ,				(5.10)
а из топологического уравнения (5.8) – вектор напряжений UXN x-хорд
	UXN TXXUXT TCXUCT TEX E .				(5.11)

Подставив (5.10) и (5.11) в (5.9), получим уравнение для безреактивных компонентов

V	V		T	V V				XX	U XT
UT	UN		XX		IN		IT	XX
									IXN
V		T		V		XL	UCT V			T
	UN	CX		IT		XL			UN	EX
							ILN

V	XJ	E ,
IT	XJ
		J

которое можно представить в краткой записи

W0 X0 Q1X Q2F ,

(5.12)

где	X0	U	XT		U	CT		E
				;	X		; F .
		IXN			ILN			J

Формирование уравнений состояния производится на основе топологического уравнения для главных сечений, определяемых C-дугами дерева

ICT CCICN CXIXN CLILN CJJ , (5.13)

и топологического уравнения для главных циклов, определяемых L-хордами

ULN TLLU LT TXLUXT TCLUCT TELE .

(5.14)

Введение вектора q qCT CCqCN для зарядов и вектора LN TLL LT для потокосцеплений позволяет представить левые части уравнений (5.13) и (5.14) в виде

I	I	dqCT		dqCN	d	q	q	dq	,

CT	CC CN	dt	CC	dt	dt	CT	CC CN	dt

186

(5.15)

ULN T	ULT	d LN T d LT		d	LN T	LT d .
				dt
LL		dt	LL dt		LL	dt

Объединяя уравнения (5.13) и (5.14), получаем дифференциальное матричное уравнение вида

CL UCT 0 I

которое в сокращенной записи принимает форму
				d x	0 X0 1X 2F ,		(5.16)
				dt	0 X0 1X 2F ,		(5.16)
				dt
~	q
где x	.


	Решив уравнение (5.12) относительно вектора X0					и подставив найден-
	1
ное решение X0 W0		Q1X Q2F Q1X Q2F в (5.16), получим дифференциаль-
ное матричное уравнение
		d x					(5.17)
		dt	0Q1 1		X 0Q2 2 F 1X 2F .		(5.17)
		dt
	Дальнейшее преобразование уравнения (5.17) в уравнение относитель-
					~	к вектору перемен-
но переменных состояния требует перехода от вектора x						к вектору перемен-

ных состояния X , что имеет свои особенности для линейных и нелинейных электронных схем.

Уравнения переменных состояния линейных электронных схем

Для линейных электронных схем заряды емкостей и потокосцепления индуктивностей могут быть представлены матричными уравнениями

187

C U C C

CT ,

qCN

UCN

ILT

L I L L

ILN

где C – диагональная матрица емкостей, L – матрица индуктивностей.

При отсутствии индуктивно-связанных двухполюсников матрица L является диагональной, в противном случае – недиагональной, но симметричной.

Дифференциальные переменные q и системы уравнений (5.16) можно выразить следующим образом

q q

qCT

C , (5.18)

CC CN

CC C

qCN

	TLL

LN TLL LT		1		LL L LLLIL . (5.19)
LN TLL LT		1	LT	LL L LLLIL . (5.19)

			LN

Из топологического уравнения для главных циклов, определяемых C- хордами, и из топологического уравнения для главных сечений, определяемых L-дугами дерева, следует соответственно

UCN TCCUCT TECE ,

(5.20)

ILT

LLILN LJ J .

(5.21)

Векторы напряжений емкостей и токов индуктивностей с учетом соот-

ношений (5.20) и (5.21) могут быть представлены в виде

UCT

E , (5.22)

UCT T

ILT

ILN

LLILN LJJ . (5.23)

ILN

Подставляя выражения (5.22) и (5.23) в (5.18) и (5.19), получаем

qCCC TCC UCT CCC TEC E ,

LLL LLT ILN LLL LJT J ,

на основании чего можно записать

188

TCC


			UCT
	0		UCT

LLL LLT
LLL LLT			ILN		(5.24)
			E		(5.24)
		0	E	Wx X 3F.


LLL LJT J

Дифференцируя уравнение (5.24), находим

ddtx Wx dXdt 3 dFdt .

Подстановка полученного выражения для производной

ние (5.17) дает

Wx	dX		dF	,
	dt	1X 2F 3	dt

dx в уравне-

откуда получаем уравнение переменных состояния линейной электронной схемы в виде

				dX	AX BF B1 dF	,	(5.25)
				dt	dt
1	1	, B1	1
где A Wx 1	, B Wx 2	, B1	Wx	3 .

Появление производной вектора F в уравнении переменных состояния обусловлено особыми циклами и сечениями с задающими источниками. Если задающие источники в особых циклах и сечениях отсутствуют, то EC 0 иLJ 0 , следовательно, 3 0 .

При отсутствии особых циклов и сечений все дифференциальные переменные независимы и входят в векторы UCT и ILN , а в составе топологиче-

ских матриц отсутствуют подматрицы CC

и LL . Тогда

и LL

вследствие чего матрица Wx имеет квазидиагональную структуру

а при отсутствии индуктивных связей Wx представляет собой диагональную матрицу, элементами которой являются параметры реактивных двухполюсников.

189

Уравнения переменных состояния нелинейных электронных схем

При формирования покрывающего дерева из дуг безреактивных компонентов (х-дуг) выделяются дуги нелинейных двухполюсников, причем управляемые током дуги включают в дерево после е-дуг и С-дуг, а управляемые напряжением – в дополнение дерева перед L-дугами и j-дугами.

Уравнение для безреактивных линейных компонентов и дифференциальное уравнение для зарядов и потокосцеплений отличаются от аналогичных уравнений (5.12) и (5.16) линейной схемы только наличием в правой части слагаемых, которые зависят от вектора переменных нелинейных безре-

активных компонентов		XÍ	UHT
активных компонентов		XÍ		:
			IHN
				W0 X0 Q1X Q2F Q3XH ,				(5.26)
					~
					d x	0 X0 1X 2F 3 XH .		(5.27)
					dt

				0
где Q3 VUN THX	VIT XH ; 3			T		CH	.

						0

			HL

В качестве топологических уравнений, связывающих переменные нелинейных безреактивных компонентов, используются уравнение для главных сечений, определяемых дугами нелинейных компонентов, входящих в дерево,

IHT HX IXN HLILN HJ J HHIHN (5.28)

и уравнение для главных циклов, определяемых дугами нелинейных компонентов, входящих в дополнение дерева

U HT TXHUXT TCHUCT TEHE THHUHT .

(5.29)

Объединяя (5.28) и (5.29), получаем матричное топологическое уравнение для нелинейных безреактивных компонентов вида

где ( XH ,YH )

190

IHT 0U THN XH

которое в сокращенной записи принимает форму

						YH 0 X0		1X 2F 3 XH ,			(5.30)
где YH	I
где YH	HT	.
	UHN
Решив уравнение (5.26) относительно вектора									X 0	и подставив найден-
ное решение		1	Q1X Q2F Q3 XH							в (5.27) и (5.30), по-
ное решение		X0 W0	Q1X Q2F Q3 XH				Q1X Q2F Q3 XH			в (5.27) и (5.30), по-
лучим
			~
			d x
			dt		0Q1 1		X 0Q2	2 F 0Q3 3 XH			(5.31)
			dt								(5.31)

				1X 2F 3 XH ,
						1
			YH 0Q1			1	X 0Q2 2 F 0Q3 3 XH				(5.32)
											(5.32)
				1X 2F			3XH .

Уравнения (5.31) и (5.32) дополняются компонентными уравнениями нелинейных безреактивных компонентов ( XH ,YH ) 0 , в результате чего математическая модель нелинейной электронной схемы в базисе переменных состояния принимает вид

~
d x
dt	1X 2F 3 XH ,
dt
			(5.33)
		YH 1X 2F 3XH ,	(5.33)

X0 Q1X Q2F Q3XH ,

( XH ,YH ) 0

– нелинейная вектор-функция.

Если нелинейными являются только безреактивные компоненты, то дифференциальное уравнение математической модели нелинейной электронной схемы может быть приведено к канонической форме. Для этого уравне-

191

ние (5.24), которое остается справедливым, необходимо подставить в дифференциальное уравнение математической модели

1 X 2F 3

3 XH ,

XÍ ,

X Wx 2 F

AX BF B

DXH .

(5.34)

Остальные уравнения математической модели (5.33) остаются без изменений.

При наличии нелинейных реактивных компонентов используется дифференциальное уравнение метематической модели, разрешенное относи-

тельно производной ddtx , а вектор x~ определяется в процессе решения на

основе заданных нелинейных функций qC ( uC ), L ( iL ) или C( uC ) , L( iL ) . Рассмотренным алгоритмам формирования уравнений переменных

состояния присущи следующие ограничения:

–управляемые и управляющие дуги являются дугами безреактивных компонентов;

–управляющие параметры являются постоянными величинами. Ограничения на характер управляющих двухполюсников снимается за

счет введения дополнительных дуг, фиксирующих управляющие переменные: последовательно с управляющими по току двухполюсниками вводятся короткозамкнутые дуги, а параллельно с управляющими по напряжению двухполюсниками – разомкнутые дуги.

Обобщение на случаи нелинейных зависимостей между управляемыми и управляющими величинами достигается введением дуг, фиксирующих управляющие переменные, и отнесением их к множеству дуг нелинейных компонентов. При этом в векторе XH следует положить нулю компоненты, соответствующие управляющим дугам, что равносильно их удалению

192

совместно с соответствующими столбцами матриц 3 , 3 , Q3 .

При математическом описании нелинейных электронных схем по изложенным алгоритмам дуги всех нелинейных компонентов, управляемых током, должны войти в дерево, а дуги всех нелинейных компонентов, управляемых напряжением, – в дополнение дерева. Это требование является топологическим ограничением, которое служит одним из условий детерминированности схемы, то есть возможности получения для искомых переменных однозначного решения при заданных воздействиях и начальных условиях. Невыполнение этого требования служит признаком того, что схема может оказаться недетерминированной.

[Внимание] Порядок системы дифференциальных уравнений определяется числом переменных состояния как разность между числом всех дифференциальных переменных и числом зависимых дифференциальных переменных. [.]

В состав зависимых дифференциальных переменных входят топологически зависимые и компонентно зависимые переменные. Компонентно зависимые переменные имеются только в схемах с необратимыми компонентами при определенных значениях управляющих параметров зависимых источников. Наличие компонентно зависимых дифференциальных переменных делает матрицу W0 особенной, а их число определяется дефектом d этой матрицы. Дефект матрицы W0 представляет собой разность между порядком и рангом матрицы. Компонентно зависимые дифференциальные переменные исключаются из числа переменных состояния в процессе приведения матрицы W0 к единичной матрице. При этом в дифференциальных уравнениях

математической модели появляются производные высших порядков d i F(i t )

от вектора входных переменных.

Общее количество независимых переменных состояния выражается со-

193

отношением
0 C L d .	(5.35)

Рассмотрим формирование математической модели в базисе переменных состояния для схемы однокаскадного избирательного усилителя, приведенной на рис. 5.1,а.

Схема замещения усилителя по переменному току, в которой полевой транзистор представлен эквивалентной схемой рис.5.1,б, приведена на рис. 5.2.

L1 C2

C1 вх.

	C4	з	Cзс	с
		з		с

	вых.	U зи	Cзи	SU зи
VT1			Cзи	Gси
VT1				Gси
R2	C3	и		и
		и		и

Рис. 5.1. Схема избирательного усилителя (а) и эквивалентная схема полевого транзистора с управляющим p-n-переходом

			194
1	C1	2	Cзс	3	C4	5
1		2		3		5
		U зи	SU зи
			Cзи	Gси
				Gси
	Uвх	R1	4	C2	L1	Rн
			4	C2	L1	Rн

			R2	C3
			0
		Рис. 5.2. Схема замещения избирательного усилителя
			по переменному току

Полюсный граф избирательного усилителя, соответствующий схеме замещения рис. 5.2, представлен на рис. 5.3.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2319 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20232.13 Mб4Учебное пособие «Документационное обеспечение управленческих решений»..pdf
#
05.02.20232.47 Mб12Учебное пособие «Информационные технологии»..pdf
#
05.02.20231.28 Mб11Учебное пособие «Математическое моделирование систем»..pdf
#
05.02.20231.8 Mб33Учебное пособие «Материалы электронной техники».-1.pdf
#
05.02.2023527.85 Кб26Учебное пособие «Материалы электронной техники»..pdf
#
05.02.20233.48 Mб44Учебное пособие «Методы анализа и расчета электронных схем»..pdf
#
05.02.20231.63 Mб23Учебное пособие «Микросхемотехника Аналоговая микросхемотехника»..pdf
#
05.02.20233.28 Mб35Учебное пособие «Микроэлектроника»..pdf
#
05.02.20231.99 Mб23Учебное пособие «Основы математического моделирования»..pdf
#
05.02.2023592.86 Кб13Учебное пособие «Прикладная информатика»..pdf
#
05.02.2023837.34 Кб4Учебное пособие по дисциплине «Научно-исследовательская работа студентов»..pdf