Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие «Методы анализа и расчета электронных схем»

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

3.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2320 21 22 23 > Следующая >>>

			195
		CC2
		CC1		CC4
1	C1	Cзс	3	C4
		2		5
		2
		x5	x2
		Cзи
		E		x4
		x1	4	x4
		x1		C2


		CC3		L1
	CE	CC3		x3
	CE			x3
			C3
			0
	Рис. 5.3. Полюсный граф избирательного усилителя

Полюсный граф избирательного усилителя содержит E 1 e-дуг (Uâõ );Ñ 6 С-дуг (С1, С2, С3, С4, Ñçè , Ñçñ); L 1 L-дуг (L1) и X 5 x-дуг (дуг безреактивных компонентов). При этом дуга х2 отображает параллельно включенные в схеме замещения зависимый источник тока SUçè и ветвь с проводимостью Gñè . Поскольку при использовании рассмотренного алгоритма формирования математических моделей в базисе переменных состояния управляющими могут быть только безреактивные дуги, в граф введена разомкнутая дуга x5, управляющая по напряжению Uçè . В полюсном графе отсутствуют j-дуги.

Для определения числа топологически зависимых дифференциальных переменных сформируем С- и L-графы:

196

	C2
C1	2 Cзс	C4
1,0	3	5
	3	5
C3	Cзи	L1
C3	Cзи
		1,2,3,4,5,0
4
	а	б

Рис. 5.4. С-граф (а) и L-граф (б) избирательного усилителя

Определяем число особых контуров C C C nC 6 5 1 2 и особых сечений L L nL 1 1 0 .

Для исключения топологически зависимых дифференциальных переменных в состав покрывающего дерева последовательно включены E 1 e-дуга (Uâõ ) и lÑT 4 С-дуг (С1, С2, С3, С4). В дополнение покрывающего дерева входят L 1 L-дуга (L1), XN 5 х-дуг (х1, х2, х3, х4, х5) и ÑN 2 С- дуг (Ñçè , Ñçñ).

Выбранное покрывающее дерево определяет систему n 6 1 5 главных сечений. При этом E 1 сечение (сечение СЕ) определяется е-дугой дерева, а ÑT 4 сечений (сечений СС1, СС2, СС3, СС4) – С-дугами дерева. Сечения, определяемые x-дугами и L-дугами в графе рис. 5.3 отсутствуют. Следовательно, (5.7), (5.8) и (5.9) принимают вид

197

ICT

ICN

ILN

TEX

TCC

TCX

TCL

VUN

			E
			U
1	0	0	U
				CT
0	1	0	UCN 0 .
0	1	0	UCN 0 .
			U
0	0	1	U
				XN

			ULN

V UXN 0 .

IN I

По полюсному графу рис. 5.3 определяем:

EC 1 1 , EX 1 0 0						0 1 , EL 0 ,
	1 1			1		0	0	0	1	0
		0			0	1	0	1
CC		0	1		0	1	0	1	0	1
CC	1		0 , CX		0	1	1	0	1 , CL	0 .
		0			0	0	0	1
		0	0		0	0	0	1	0	0

Компонентные уравнения для x-дуг имеют вид:

Ux1 R1Ix1 ,	Ix2 SUx5 GñèUx2 ,	Ux3 R2Ix3 ,
	Ux 4 Rí Ix 4 , Ix5 0 .

Преобразовав уравнения (5.39) к виду

Ux1 R1Ix1 0,

GñèUx2 SUx5 Ix2 0 , Ux3 R2 Ix3 0 ,

(5.36)

(5.37)

(5.38)

(5.39)

								198
			Ux4 Rí Ix4 0,
			Ix5 0 ,
их можно записать в матричной форме (5.38)
													Ux1

													Ux2
1	0 0 0		0 R 0					0		0 0			U		0
1	0 0 0		0 R 0					0		0 0			x3		0
	Gñè		S		1								Ux4
0	Gñè	0 0	S		0 1			0		0 0			Ux5		0
0	0 1 0		0		0 0 R2					0		0			0 ,
0	0 0 1		0		0 0			0 R			í	0	Ix1		0
											í
	0 0 0		0		0 0			0					Ix2
0	0 0 0		0		0 0			0		0 1			Ix3		0

													Ix4
													Ix5
								R			0		0		0	0
	1	0	0	0	0				1
		Gñè							0		1		0		0
	0	Gñè	0 0 S				VIN		0		1		0		0	0
откуда VUN 0		0	1	0	0	,	VIN		0		0	R2			0	0 .
		0	0 1 0						0		0		0	Rí
	0	0	0 1 0						0		0		0	Rí		0
		0	0	0	0
	0	0	0	0	0				0		0		0		0
									0		0		0		0	1

Выразив из топологического уравнения (5.37) вектор напряжений UXN x-хорд и подставив его в компонентное уравнение (5.38), после преобразования получим уравнение для безреактивных дуг

VINIXN VUN TCXUCT VUN TEX E ,

(5.40)

сопоставляя которое с (5.12), находим:

VIN ,

Q2 VUN EX ,

UN CX

причем

X0 I XN Ix1 Ix 2

Ix3

Ix 4

Ix5 T ,

UCT UC1

UC 2 UC3

UC 4 T ,

ILN IL1

X UCT

ILN T UC1 UC2 UC3 UC4

IL1 T ,

F E Uâõ .

d 0 ,

199

Поскольку матрица W0 не является особенной, то ее дефект поэтому в математической модели отсутствуют компонентно зависимые дифференциальные переменные.

Дифференциальное матричное уравнение (5.16) имеет вид:

	U
					0
CL		CT	T			E , (5.41)
0
	I	LN
				EL

откуда следует

				1		0		0		0	1

					0	1 0				1	0
0		CX			0	1 1 0					1 ,
0		0			0	1 1 0					1 ,
		0			0	0		0		1
					0	0		0		1	0
					0	0		0		0
					0	0		0		0	0
						0	0		0	0	0						0

						0 0		0 0			1						0
1	0					0 0		0 0			1	2			0		0
1	T		CL		0 0			0		0	0 ,	2		T		0 .
			0												EL
	CL					0	0		0	0	0				EL		0
						0	0		0	0	0						0
							1 0			0
						0	1 0			0	0						0
Решая	(5.40)			относительно							X0 IXN		и	подставляя в (5.41) найдем

уравнение (5.17):

dx~ d q X F , dt dt 1 2

где

200

1 0W0 1Q1 1

	1
				0
		R		0
		R
	1					1

	S

			Gñè
						Rí
S				G
S				G
				ñè
					1
	0				1
	0				Rí
					Rí
	0			1
	0			1

0			0
Gñè S			1
Gñè S		Rí
		Rí
	1
	1		0

Gñè S
	R2		1
0			1
0			R
			R
0			í
0			0

																	1

																	R
																	1
																S

									2 0W0 1Q2 2								S .

																	0

																	0
Дифференциальные переменные q и представляем в виде:
							q q		q							qCT				q
							q q		q				1			qCT				q	CC	C	U	C ,
								CT		CC CN					CC				CC C		CC			C ,
																qCN
													LN L
													LN L					L	IL L1iL1,
							1	0	0	0	1		1

							0	1	0	0	0			1
где CC 1						CC	0	1	0	0	0			1
где CC 1						CC	0	0	1	0	1			0 ,
								0	0	1	0
							0	0	0	1	0			0
				diag C1 ,C2 ,C3 ,C4 ,Cçè ,Cçñ							;
		C		diag C1 ,C2 ,C3 ,C4 ,Cçè ,Cçñ							;
			u			u	u	u		u		u		T
	U		u			u	u	u		u		u		T	.
		C			C1	C2	C3	C4		Cçè		Cçñ			.

(5.42)

(5.43)

Векторы напряжений емкостей и токов индуктивностей с учетом соотношений (5.22) и (5.23) могут быть представлены в виде

UCT

E , (5.44)

UCT T

201

																															iL1 ,							(5.45)
																										IL ILN					iL1 ,							(5.45)
где EC						EC				0	0		0				0		1		1 .
где EC			0			EC				0	0		0				0		1		1 .
	Подставляя выражения (5.44) и (5.45) в (5.42) и (5.43), получаем
													q										T				U			CT					T
											~		q										T			0	U								T
											~							CCC					CC			0						CCC			EC		E
											x												CC												EC		E
																												I										(5.46)

																						0				L			LN				0
																						0				L			LN				0

																	Wx X 3F.
												C C						çè		C		çñ		C		çñ				C	çè		0	0
													1					çè				çñ				çñ					çè
																	Cçñ						C2 Cçñ							0			0	0
								T
					C			T		0
					C					0
где	Wx	CC						CC									Cçè								0			C3 Cçè					0	0		,
					0					L
																		0							0					0			Ñ4	0
																		0							0					0			0	L
																																			1
											(C			çè		C					)
														çè					çñ
													Cçñ
								T
						C		T
	3			CC		C			EC				Cçè								.
	3			CC			0		EC				Cçè								.
							0
															0
															0
															0

Дифференцируя уравнение (5.46) и подставляя в (5.17), находим

Wx dXdt 1X 2F 3 dFdt ,

откуда получаем уравнение переменных состояния линейной электронной схемы в виде

AX BF B1 dF

где

A W 1

B W 1

3 ,

2 ,

причем матрица

A является квадратной матрицей CT LN 5 порядка, мат-

рицы B и B1 имеют размерность

CT LN E 5 1.

Например, при численных значениях внутренних параметров изби-

рательного усилителя

R1 1

МОм,

R2 500

Ом, C1 10

мкФ, C2 100

пФ,

C3 50 мкФ, C4

мкФ,

L1 300

мкГн,

S 1

мА/В,

Cçè Cçñ 10

пФ,

202

Rñè 100 кОм матрица состояния A и матрицы управления B и B1 принимают вид:

	9.191			0.91			9.092		0.909				9.091 103
			6			5		6				5			9
9.091		10		9.1 10			9.092 10		9.091	10			9.091 10
A	20			2 10	3		60.002		1.818 10		7		1.818 10	3
A					3						7			3

	0			10			0		10				0
	0			10			0		10				0
	0			3.333 103			0		0				0
	0			3.333 103			0		0				0

EMBED Mathcad

	9.091 106			1.909 10
	9.091 106				0.091
B		20	B1		2 10 7
B		20	B1		2 10 7
		0			0
		0			0
		0			0

5.2 Реализация математических моделей в базисе переменных состояния

[Внимание] Основу реализации математических моделей в базисе переменных состояния составляет решение задачи Коши, то есть интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями X( t0 ) X0 . [.]

Задача Коши для систем линейных дифференциальных уравнений может решаться как аналитически, так и с использованием методов числен-

203

ного интегрирования дифференциальных уравнений.

Для систем нелинейных дифференциальных уравнений общие аналитические методы решения отсутствуют, поэтому задача Коши решается преимущественно путем численного интегрирования дифференциальных уравнений.

Аналитическое решение систем линейных дифференциальных уравнений

Аналитическое решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка (5.3) с начальными условиями X( t0 ) X0 имеет вид:

X( t ) ( t ) X0

t			s	( )	d i F(
	1( ) B( )F( ) B			( )		i
			i		d	i
t0		i			d
t0		i	1

) d ,

где ( t ) – фундаментальная матрица, определяемая решением матричного уравнения

d ( t )	A( t ) ( t ) ,		( t0 )		.	(5.47)
				1
dt
Из (5.47) следует выражение для фундаментальной матрицы
	t
						(5.48)
( t ) exp		A( )d .
	t0

Для линейных электронных схем с постоянными параметрами (линейных стационарных систем) при отсутствии компонентно зависимых диффе-

ренциальных	переменных справедливо A( t ) const A ,					B( t ) const B ,
Bi ( t ) const Bi ,		d i F( )
		d i F( )		0	(i 2,s ), поэтому фундаментальная матрица опре-
		d	i	0	(i 2,s ), поэтому фундаментальная матрица опре-
		d

деляется выражением

( t ) exp A( t t0 ) ,

204

а аналитическое решение принимает вид

X( t ) exp A( t t0 ) X0
t		dF( )		(5.49)
exp A( t	) B( )F( ) B1( )	d	d .	(5.49)
t0		d
Экспоненциальная матрица (матричная экспонента)				expA от квадрат-

ной матрицы A n-го порядка представляет собой квадратную матрицу n-го порядка, определяемую рядом Тейлора:

		1		k
expA			A	,	(5.50)
k	0	k!

где		k		( k 1) k – факториал числа		k (по определению 0! 1);
где	k! i 1		2	( k 1) k – факториал числа		k (по определению 0! 1);
		i 1
Ak	k	A A A A					0
Ak		A A A A			– k-ая степень матрицы À	(по определению A	0	1 – еди-
					– k-ая степень матрицы À	(по определению A		1 – еди-
	i 1		k ðàç
ничная матрица n-го порядка).
	Для практических расчетов матричной экспоненты широко применяет-

ся интерполяционный полином Лагранжа-Сильвестра, согласно которому функция f ( A ) от матрицы A может быть представлена в виде

				q mk		(5.51)
				f( A ) f ( s 1)( k )Bks ,		(5.51)
				k 1s 1
где	f ( s 1)( k )	d( s 1)f( x )	x k ,	f ( 0 )( k ) f( k ); Bks	– квадратные матрицы n-го
		d( s 1)f( x )
		dx( s 1)
		dx( s 1)
порядка, называемые компонентами матрицы					A ; k – собственные числа
матрицы A , определяемые из решения характеристического уравнения

det ( A 1 ) 0 .

Множество собственных чисел k называется спектром матрицы A . Если собственные числа матрицы A различны, то говорят, что спектр этой матрицы простой, в противном случае – сложный.

Если матрица A n-го порядка имеет сложный спектр, причем ее соб-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2320 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20232.13 Mб4Учебное пособие «Документационное обеспечение управленческих решений»..pdf
#
05.02.20232.47 Mб12Учебное пособие «Информационные технологии»..pdf
#
05.02.20231.28 Mб11Учебное пособие «Математическое моделирование систем»..pdf
#
05.02.20231.8 Mб33Учебное пособие «Материалы электронной техники».-1.pdf
#
05.02.2023527.85 Кб26Учебное пособие «Материалы электронной техники»..pdf
#
05.02.20233.48 Mб44Учебное пособие «Методы анализа и расчета электронных схем»..pdf
#
05.02.20231.63 Mб23Учебное пособие «Микросхемотехника Аналоговая микросхемотехника»..pdf
#
05.02.20233.28 Mб35Учебное пособие «Микроэлектроника»..pdf
#
05.02.20231.99 Mб22Учебное пособие «Основы математического моделирования»..pdf
#
05.02.2023592.86 Кб13Учебное пособие «Прикладная информатика»..pdf
#
05.02.2023837.34 Кб4Учебное пособие по дисциплине «Научно-исследовательская работа студентов»..pdf