А. В. Бараненко. Холодильные машины

блюдается, и ее эффеКТИВНОСТЬ практически не зависит от хо­ лодопроизводительности. Уже в настоящее время для темпера­

тур Тх = О ОС И ТК = 26 ос и производительности несколько де­

сятков ватт энергетическая эффективность термоэлектричесК9Й машины БJlизка к эффективности паровой холодильной ма-

шины.

Широкое внедрение термоэлектрического охлаждения будет

зависеть от прогресса в создании совершенных полупроводни­

ковых материалов, а также от серийного производства эффек­ тивных в экономическом отношении термобатарей.

ГЛАВА7

ТЕРМОГА30ДИНАМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЦЕССОВ

ВХОЛОДИЛЬНЫХ КОМПРЕССОРАХ

ИРАСШИРИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ

§ 7.1. УРАВНЕНИЯ ИМПУЛЬСОВ

Движение рабочего вещества в холодильных компрессорах и расширительных машинах имеет сложный пространственный, трех­ мерный характер и всегда является нестационариым даже при установившихся режимах работы.

Уравнения трехмерного движения сжимаемого, вязкого рабо­

чего вещества, известные как уравнения Навье-Стокса [96), на­

столько сложны, что их решение сопряжено в общем случае с непреодолимыми математическими 'lpудностями. В настоящее время известны лишь немногие точные решения этих уравнений для ряда простых частных случаев. Вследствие этого теоретическое

исследование пространственного, трехмерного потока в холодиль­

ных компрессорах в целом невозможно, и на практике обычно

ограничиваются рассмотрением двухмерных, т. е. зависящих от

двух координат, ИJIИ, в инженерных приложениях, одномерных,

зависящих только от одной координаты, течений.

В основе инженерных расчетов холодильных компрессоров ле­

жит стРуйная теория, согласно которой поток вещества, проходя­

щего через компрессор, условно считается состоящим из беско­ нечно большого числа элементарных струек или трубок тока. Так

как элементарная струйка имеет бесконечно малое поперечное се­

чение, то все параметры потока в этом сечении считаются одина­

ковыми, а параметры измеНЯЮ'1'СЯ лишь по длине трубки тока, т. е.

'Юлько по одной координате. Вследствие этого такой поток назы­

вают oOн,OMepн.ьtм.

Будем рассматривать только установившиеся течения, кото­ рые могут быть нестационарными или стационарными. В устано­

вившемся нестационарном одномерном потоке все термогазодина­

мические параметры, такие как давление, температура, плотность,

скорость, энтальпия, зависят только от одной, в общем случае криволинейной, координаты и времени, причем главным призна­

ком установившегося режима является циклическое изменение

этих параметров во времени с одним и тем же периодом.

На установившихся режиМах работы ХОЛОДИJIьных компрессо­

ров всех типов и конструкций течение рабочего вещества являет­ ся нестационарным. Однако во многих случаях анализа измене­

ния параметров паровых и газовых потоков оказывается возмож­

ным и практически целесообразным рассматривать осредненные

по времени цикла термогазодинамические параметры рабочего ве­

щества или, иными словами, считать течение не только устано­

вившимся, но и стационарным.

При таком установившемся и стационарном течении парамет­

ры потока зависят только от одной координаты и не зависят от

времени. В объемных компрессорах и расширительных машинах

периодического действия (поршневых, винтовых, спиральных, ротационных), когда речь идет о циклически реализуемом процес­ се внутри объема цилиндра или полости сжатия, говорить об ос­

реднении параметров по времени рабочего цикла нельзя, можно

лишь для установившегося режима говорить об одинаковых со­ стояниях·рабочего вещества в одни и те же моменты времени,

отсчитываемого от начала каждого из следующих друг за другом

одинаковых циклов. При этом для инженерных расчетов вполне

допустимо при рассмотрении процессов, происходящих в изменя­

ющемся объеме, считать термодинамические парам:етры рабочего

вещества одинаковыми во всех его точках.

Необходимо отдавать себе отчет в том, что одномерное пред­

ставление не позволяет анализировать внутреннюю структуру по­

тока, вследствие чего при попытке найти ответ на некоторые вопро­ сы можно получить результаты, противоречащие очевИдному опыту.

Рассмотрим, к примеру, поток в межлопаточном канале рабо­

чero колеса компрессора динамическоro принципа действия - цент­ робежного или осевого. Согласно одномерной теории такой поток

состоит из совершенно одинаковых струек. Это значит, что все

его параметры изменяются только по длине струек, а по ширине

канала они одинаковы. Следовательно, силы давления по обе сто­

роны лопатки также одинаковы, а их равнодействующая равна нулю. Такое положение приводит нас к парадоксальному выводу

о равенстве нулю момента от газовых сил, а значит, и мощности,

затрачиваемой на вращение колеса. В действительности парамет­

ры потока распределены по ширине канала неравномерно, давле­

ние на передней, набегающей стороне лопатки всегда выше, чем на задней, равнодействующая сил давления всегда направлена

против вращения колеса, вследствие чего на его вращение затра­

чивается вполне определенная мощность. Объяснить и проанали­ зировать это можно, если применить более сложные уравнения

двух- и трехмерного течения.

Область применения одномерной теории ограничена определе­

нием параметров осреДненного потока, которые обычно находят в точках, расположенных на криволинейной оси канала. Такой подход называют гидравлическим или квазиодномерным прибли­

жением. Его широко применяют при выполнении инжеltерных

расчетов, промышленных испытаниях и большинстве экспери­

ментальных исследований.

Уравнение импульсов в абсолютном движении. В соответст­

вии с квазиодномерным подходом рассмотрим одномерное стацио­

нарное движение рабочего вещества с трением и подводом энергии извне в абсолютном движении, т. е. в неподвижной относительно

корпуса машины системе координат.

В криволинейном канале переменного сечения (рис. 7.1, а)

выделим бесконечно малый элемент АВ, через который за время

Рис. 7.1. Силы, действующие иа элемент трубки тока: а - в абсолютном

дВижеиии; (J - в относительиом движеиии

t протекает масса М рабочего вещества. В сечении А площадь,

давление и скорость потока равны соответственно F, р, с. В рас­

положенном на расстоянии d8 сечен~и р эти параметры отлича­

ются на бесконечно малые приращения и равны соответствеНItО

F + dF , р + dp, с.+ dc . Давление на боковой поверхности элемен­ та ввиду малости его длины d8 можно считать постоянным и опре­

делять как среднее арифметическое давлений в сечениях А и Бj ОНО

равно р. + dp/2 • На рабочее вещество, проходящее через элемент АВ, кроме сил давления действуют сила сопротивления dPг' всег­

да направленная против движения потока,· и внешняя сила dP,

вызванная подводом энергии к рабочему веществу извне. В ком­

"'прессорных машинах, осуществляющих сжатие рабочего вещест­

ва. направление внешней силы dP совпадает с направлением дви­ жения потока. Силой тяжести, ввиду ее малости по сравнению с

другими силами, допустимо пренебречь.

Как уже отмечалось, в одномерном стационарном потоке все

параметры зависят только от одной координаты 8. Поэтому все

силы необходимо рассматривать в проекции на 8.

Применим к элементу АВ теорему импульсов, согласно которой

. импульс главного вектора всех сил, действующих на поток, за­

ключенный в элементе, равен изменению количества движения

, массы вещества, протекающего через элемент:

Ldllt=Mdc.

I

Разделив обе части равенства на t и заметив, что секундный

массовый расход вещества через канал G = М/t , найдем

Ldll =Gdc.

I

Суммируем все силы, действующие на ПO'l'OК, в пределах элемента:

pF +(р+ d:)dF +dP- (р+dp)(F +М)-dPr = Gdc. (7.1)

Произведя сокращения, перестановку членов и отбросив бес­

конечно малые второго порядка малости, получим

dP = Fdp + Gdc + dPr •

Массовый расход G = pcF , где р - плотность вещества внут­

ри элемента.

Подставив это выражение и разделив обе части равенства на рР,

Примем, что внешняя сила дР, действующая на поток, вслед­

ствие подвода энергии извне вызвана удельной массовой силой

dP = O'dМ = O'pFd8,

поэтому выражение в левой части зависимости (7.2) представля­

ет собой удельную работу, подведенную извне к веществу, заклю-

Силасопротивления дРr вызвана поверхностным касательным

причем для труб коэффициент потерь ~г связывают с безразмер­

ной длиной трубы, выраженной в ее диаметрах L/D.

В гидравлике коэффициент сопротивления трения круглой тру­

бы длиной, равной ее диаметру, обозначаю.т буквами Аг и пред­ ставляют в виде известных из опытов И.И.Никурадзе графиков

19 Аг = f (lg Re, 8ш), где Re - число Рейнольдса; 8ш - : относи­

тельная шероховатость внутренней поверхности трубы [96]. Учитывая, что на практике поперечное сечение каналов в об­

щем случае может иметь произвольную форму, будем использо-

вать понятие эквивалентного' диаметра Dэ = 4F/ П , где П- пе­

риметр сечения канала, а F - его площадь.

Касательное напряжение пропорционально Аг 'плотности ве­

щества р и кинетической энергии потока в данном сечении

А с2

"Сг =fP2'

Тогда сила сопротивления движению dPr = 'tгПd8 , а удельная

работа, затраченная на ее преодоление, находится из выражения

dl,. = дРг = Агс2 d8. pF 2Dэ

Заметив, что р =1/V, получаем из (7.2) уравнение, известное

как уравнение Бернулли:

в изоэнергетическом потоке, когда энергия извне не подводит­

ся, уравнение Бернулли имеет такой вид:

Если отсутствуют также и потери, то можно записать

откуда следует, что с уменьшением скорости потока давление уве­

личивается и наоборот.

При движении вещества с отводом энергии, что характерно

для расширительных машин, внешняя сила дР будет действо­

вать в противоположном направлении, так как она препятствует

,цвижению и совпадает по направлению с силой сопротивления дРг'

В этом случае в уравнениях (7.2) и (7.3) значение удельной ра­

боты следует записать со знаком минус. Эro единственное изменение показывает, что работа отводится, однако необходимо иметь в виду,

что в расширительной машине давление уменьшается, т. е. dp < О

в, значит, идр < О. Вследствие этого и правые части этих уравне­

иий, как прав.ило, отрицательны. Поэтому в практике расчетов расширительвых машин при интегрировании уравнений Бернул­

JПI, энергии и ряда других меняются местами пределы интегрир6-

ваиия, вследствие чего обе части уравнений изменяют знак. Уравнение импульсов в относительвом движении. В главном

-элементе проточной части компрессора или расширительной ма­ шииы динамического принципа действия - рабочем колесе -

':каиалы, по которым движется рабочее вещество, вращаются с uooтоянной угловой скоростью относительно оси ротора. Одно­

мерное стационарное относительное движение потока в подвиж­

Кой системе координат, вращающейся вместе с колесом, может

. быть описано уравнением импульсов, если к массе рабочего веще­

ства, сосредоточенной в элементе АВ, приложить вместо силы дР

центробежную дРц и кориолисову дРкор силы инерции (рис. 7.1, 6.). Центробежная сила направлена по радиусу. Для составленияурав­

нения импульсов необходимо знать ее npoeкцию на направле­

ние 8. Проекция кориолисовой силы на направление 8 равна нулю,

'1'0 как ее вектор всегда ортогонален вектору относительной ско­

расти ш, совпадающему с осью 8.

Угол между вектором относительной скорости w и направле­ нием, противоположным вектору окружной скорости, называет­

ся углох потока в отllосuтеЛЫlОХ двuжеllUU и обозначается

буквой (3. Из треугольника АВВ (рис. 7.1, б) видно, что

Применив теорему импульсов к рабочему ~еществу, заключен­

ному в элементе АВ, получим

pF + (Р+ d: )dF+dPцSiП(3- (р+ dp)(F + dF) - dPr = Gdw

Центробежная сила, приложенная к элементу,

dPц = dМrro2 = pFd8rro 2.

Заменим в уравнении (7.7) секундныЙ массовый расход произ­ ведением ршР и учтем соотношение (7.6). Разделив обе части полученного таким образом уравнения на pF , найдем уравнение

(7.8)

которое называется уравнением Бернулли в относительном дви­

жении.

При отсутствии потерь

оор = (j) 2rdr - wdw.

Из этого уравнения видно, что изменение давления может быть получено как за счет работы центробежных сил, так и за счет изменения относительной скорости потока. Если относительная

скорость постоянна, т. е. dw = О, то изменение давления дости­

гается только за счет работы центробежных сил.

При относительном движении на поверхности постоянного ра­ диуса, характерном для осевых машин динамического принnипа '

действия, уравнение (7.8) примет такой вид:

а если отсутствуют и потери, то

Последнее уравнение показывает, что в этом случае давление

может быть изменено только за счет изменения относительной

скорости. Этим объясняются меньшие отношения давлений в од­ ной ступени осевой машины динамического принципа действия

по сравнению с радиальной.

При движении вещества с отводом энергии, т. е. для расшири­ тельных машин форма уравнения (7.8) сохранится, но, так как

при расширении давление понижается, т. е. dp < О, то для дости-

жения этогорезультатадолжно быть также и (j) 2rdr - шdш - d1,. < О.

Каким путем, за счет какой составляющей (за исключением, ко­ нечно, потерянной работы, которую всегда стремятся сделать ми­ нимальной) это будет достигнуто, зависит от типа и конструкции машины. В радиально-центростремительных расширительных ма-

шинах dr < О, и основную роль играет первый член (j)2rdr. за

этот счет может быть достигнуто глубокое расширение рабочего

вещества в одной ступени. Заметим, что и в этом случае, чтобы

избежать отрицательных значений удельных работ при интегри­

ровании уравнений (7.8) - (7.10) меняют местами пределы ин­

тегрирования.

Поток рабочего вещества через колесо машины динамического

принципа действия при установившемся режиме в относительном движении является стационарным, а в абсолютном движении - нестационарным, так как в действительности скорость и давле­

ние меня~тся по ширине канала. Вследствие этого уравнение (7.3),

полученное для стационарного потока, строго говоря, нельзя при­

менять к реальному потоку в абсолютном движении. Однако в рамках струйной теории установившееся течение рабочего веще­

ства через колесо с бесконечно большим числом бесконечно тон­

ких лопаток будет стационарным как в относительном, так и в абсолютном движениях. При этом информацию о вНуТренней

структуре потока в межлопаточных каналах реального колеса

получить из этих уравнений нельзя. Можно лишь определить

некоторые'осредненные по ширине канала термог.азодинамичес­

кие параметры.

Интегрирование уравнения (7.3), проводимое для компрессо­ ра от сечения 1 при входе в колесо до сечения 2 при выходе из

него, дает такое выражение:

Для расширительной машины, как уже отмечалось, пределы

лагаемая у,nельная эффективная работа сжатия или расширения

2

263

при выходе и входе машины; 1,.1-2 - удельная работа. затрачен­

ная на преодоление сил сопротивления.

Сопоставление уравнений (7.11) и (7.12) показывает. чтоl,.1-2

увеличивает работу, которую необходимо подвести к компрессо­

ру. и уменьшает работу. отводимую от расширительной машины. Уравнения в конечных параметраХ (7.11.) и (7.12) примени­

мы ко всем типам компрессоров и расширительных машин. как

объемного так и динамического принципов действия. В расчетах

часто учитывают, что скорости С1 И С2 при входе и выходе маши­

ны обычно не только малы по значению, но и мало отличаются

друг от друга. Это дает возможность представить уравнения в

таком виде:

2

В теоретических компрессоре и расширительной машине поте-

2

Для изоэнергетического течения в неподвижно~ элементе ком-

прессора или расширительной машины из уравнений (7.11). и

Так как окружная скорость на любом раднусе и = ror, то полу-

чим для колеса компрессора

и для колеса расширительной машины

Из этих уравнений видно, что при одной и той же эффектив­ ной работе правая часть уравнений, представляющая собой сум­

му работы в поле центробежных сил и изменения кинетической энергии в относительном движении, должна быть больше на ве­ личину работы, затраченной на преодоление сопротивлений, у компрессора IJ ,будет меньше на ту же величину у расширительной

машины.

Подставим правые части уравнений (7.21) и (7.22) в уравне­

ния (7.11) и (7.12). В итоге получим для колеса компрессора

Эти уравнения показывают, что работа, подведенная к колесу

компрессора или отведенная от колеса расширительной машины,

равна сумме работы в поле центробежных сил и изменения кине­

тических энергий потока в относительном и абсолютном движении. В полученных нами уравнениях БеРНУJlЛИ все члены имеют размерность удельной работы, причем при выводе использова­ лись только механические величины. Поэтому уравнения Бер­ нулли называют иногда частной, механической формой уравнения

энергии.

В дальнейшем термин .удельная. будем опускать, но следует

помнить, что все величины, имеющие размерность работы и обо­

значаемые строчнЫl\lИ (малыми) буквами. относятся к 1 кг веще­

ства и, значит, являются удельными.

справедливо как для идеальных. так и для реальных процессов,

в которых движение вещества сопровождается потерями работы на

трение, вихреобразование, отрыв и перемешивание потока. Эти

потери переходят в теплоту, которая остается в потоке и идет на ,

нагрев самого движущеrocя вещества в адиабатной машине, или,

при наличии отвода теплоты от машины, отводится полностью

либо частично к внешнему источнику. Поэтому количество теп­

лоты, подводимой к рабочему веществу или отводимой от него в

реальном процессе, надо понимать как сумму наружной теплоты внешнего источника и теплового эквивалента работы, затрачен­ ной на преодоление сопротивлений

где dqи!IP - количество теплоты, подводимой(dqиар > о) или отво­

димой(dqиар < о) от вещества через стенки канала или корпуса

машины к внешнему источнику, которым чаще всего является

окружающая среда; dl,. = dqr > О - тепловой эквивалент работы,

затраченной на преодоление сопротивлений.

Определив из уравнения (7.25) с учетом соотношения (7.26) эффективную работу оор и подставив ее затем в уравнение (7.3),

получим

Это уравнение энергии, представленное в тепловой форме. Ра-'

бота, затраченная на преодоление сопротивлений, в него в явном

вце не входит, однако если приравнять правые части уравнений

(7.3) и (7.27), то можно установить связь между энтальпией,

работами эффективной и затраченной на преодоление потерь, а также теплотой, подводимой или отводимой извне:

Впрактике расчетов компрессоров и расширительных машин,

вкоторых теплообмен между рабочим веществом и внешними

источниками отсутствует или q 8 не превышает 1 - 3% от l,

величиной dqиар пренебрегают,иИ.fuгда уравнениJ.l (7.27) и (7.28)

упрощаются:

Интегрирование этих уравнений от входного 1 до выходного 2 сечений компрессора любого типа или рабочего колеса компрес­

сора динамического принципа действия дает такие уравнения:

Первое ~з этих соотношений показывает, что работа, подве­

денная к веществу, затрачивается на увеличение его энтальпии и

кинетической энергии. Из второго соотношения следует, что уве­

личение энтальпии вещества складывается из эффективной раба­

ты, затраченной на повышение давления, и работы преодоления

сопротивлений.

Для расширительной машины любого типа или рабочего ко­ леса турбодетандера с учетом перемены местами пределов интег­

рирования:

2

Приравняв правые части уравнений (7.23) и (7.31), находим

соотношение для колеса компрессора

Аналогично из уравнений (7.24) и (7.33) находим соотноше­

ние для колеса расширительной машины

Из этих уравнений следует, что энтальпия в колесе машины

динамического принципа действия изменяется за счет работы в

поле центробежных сил и изменения кинетической энергии в от­ носительном движении. Перестановка членов в уравнениях (7.35) и (7.36) дает один и тот же результат:

Эта сумма является одинаковой для произвольного сечения рабочего колеса машины динамического принципа действия лю­ бого назначения и называется постоянной Бернулли в относи-

тельном движении. .

В изоэнергетическом потоке, когда энергия к рабочему веще­

ству не подводится, для неподвижного элемента проточной части

компрессора иди расширительной машины любого типа уравне­ ние (7.29) упрощается:

Интегрируя уравнение (7.38) от входного 1 до выходного 2

сечения элемента компрессора, которым может быть входное или

выходное устройство. диффузор, обратно направляющий аппарат

Из этого уравнения следует, что энтальпия рабочего вещества

в элементе изменяется за счет изменения его кинетической энер­

гии и наоборот.

Совместное решение уравнений (7.17) и (7.39) приводит нас

куравнению (7.32), которое имеет один и тот же вид для течения

сподводом энергии и без него.

Для расширительных машин после перемены пределов интег­ рирования найдем

Необходимо сделать одно важное .18.Мечаиие. При интегриро­

вании уравнений импульсов и энергии, чтобы для расширитель­ ных машин иметь дело с положитеnьиыми значениями внешней работы, мы меняли местами пределы интегрирования. это обо­

сновано тем, что термогазодинамические расчеты расширитель­

ных машин практически всегда выполняют ОТДеnьно от расчетов

компрессоров. Однако в неподвижных элементах компрессоров,

например во входных устройствах, имеет место характерное для расширительных машин конфузорное теченне, сопровождающее­

ся увеличением скорости, а в неподвижных элементах расшири­

тельных машин, например в выходных устройствах, поток дви­

жется с уменьшением скорости, что характерно для компрессо­

ров. При ра{)чете конфузорных течений в компрессорах следует

пользоваться уравнениями (7.17) и (7.39), а при расчете диффу­

зорных течений в расширительных машинах - уравнениями

(7.18) и (7.40). При таком подходе в обоих случаях разности

энтальпий и значенияJvdp будут отрицательными. Это необхо­

димо для поnyчения правильного результата при вычи{)лении об­

щих эффективных или располагаемы~ работ и перепадов энталь­

пий для машин в целом, когда процесс в машине рассматривают как состоящий из нескольких последовательных поnитропных

процессов и используют зависимости: дnя компрессоров

для расширительных машин

1=1

В этих формуnах 1l и " - соответственно начальное и конеч­

ное состояния рабочего вещества: n - число элементов проточ­ ной части машины; 1 и 2 - соответственно наЧaJIЬНое и конеч­ ное состояние рабочего вещества в t-M элементе проточной части.

Эllтальnuя moрм.ожеllия движущегося потока равнасумме ста­

тической энтальпии и кинетической энергии в рассматриваемом

сечении:

Статичес"ая Эllтальnия t ОDpeДenяется термодинамическими

параметрами, которые были бы измерены воображаемыми прибо­

рамп, помещенными в поток и движущимися вместе с ним с той

же скоростью. Используя зависимость (7.4 5), можно представить уравнения (7.31) и (7.33) в таком виде:

ИЗ этих выражений следУеТ, во-первых, что работа компрессора

или расширитeJIЬНОЙ машины численно равна разНОСТИЭНтaJlьпий

торможения во входном и выходном сечениях и, во-вторых, что в

ИЗ0ЭНергетическом потоке, к которому энергия и теплота извне не

подводятся, энтальпия торможения есть веJlИчина постоянная.

Энтanьпия торможения вотносительном движении в колесе ма­

шины динамическоro принципа действия определяется выражением

Здесь и далее знаком .тильда. (змейка) сверху отмечены те

параметры в относительном движении, обозначения которых со­

впадают с dбoзначениями в абсолютном движении.

Из уравнения (7.49) видно, что эвтальпия торможения в от­

носительном движении изменяется вследствие подвода или отвода

работы в поле центробежных сил, а при постоянной окружной

§ 7.3. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ

При расчете компрессоров и детандеров газовых холодильных машин, имеющих температуру на всаСЫЩUlии, близкую к темпе­ ратуре окружающей среды, и отношение давлений, не превы­

шающее 1t = 5 + 6 , допустимо использовать уравнение состояния

Компрессоры паровых холодильных машин и расширитель­

ные машины некоторых низкопотенциальных энергетических сис­

тем, процессы в которых проходят в непосредственной близости от правой пограничной кривой, нельзя рассчитывать с помощью

уравнения (7.51), так как термические и калорические парамет­ ры слабо перегретых паров значительно отличаются от парамет­

ров идеального газа. Для этой цели применяют специальные урав­ нения состояния реальных газов. В холодильной технике приме­ няют уравнения Боголюбова-Майера, Клецкого, Старлинга, Бене­ дикта-Вебба-Рубина, Редлиха-Квонга и ряд других.

Метод условных температур. Уравнения состояния реальных

рабочих веществ настолько сложны, что применение их при рас­ четах вручную практически невозможно. Поэтому либо эти урав­ нения используют в расчетах на ЭВМ, либо на их основе состав­

ляют термодинамические таблицы и диаграммы. Для расчетов

циклов холодильных машин и систем низкопотенциальной энер­

гетики, когда число точек, в которых необходимо знать термоди­ намические параметры реального рабочего вещества, невелико,

вполне достаточно термодинамических таблиц или диаграмм.

Однако при детальных расчетах компрессоров и расширитель­

ных машин, например при расчетах течения в клапанах, трак­

тах и через щели в объемных машинах, в элементах проточной

части машин динамического принципа действия, необходимо оп­ ределять параметры вещества в большом числе точек при не­ больших перепадах давлений и температур. Использование для

этой цели диаграмм состояния, даже и выполненных в большом масштабе, приводит к значительным погрешностям, а·интерпо­

ляция табличных данных весь)Ul трудоемка.

Поэтому применяют упрощенный метод расчета, основываю­

щийся на обобщенном уравнении состояния реального газа в виде

где z - коэффициент сжимаемости реального газа, являющийся функцией любых двух независимых параметров состояния.

Произведение коэффициента сжимаемости и термодинамичес­

кой температуры рассматривают как одну величину и называют

усл,овн.оЙ те.мnературоЙ:

После этого уравнение (7.52) формально приобретает тот же вид, что и уравнение (7.51) для идеального газа:

Использование в качестве термического параметра не термо­ динамической, а условной температуры фактически означает ап­

проксимацию реального газа некоторым гипотетическим идеализи­

рованным газом с индивидуальной шкалой условных температур.

В термодинамике доказывается, что термодинамическая тем­

пература Т является интегрирующим делителем элементарного

количества теплоты dq, которое зависит от характера термоди­

намического процесса и не является полным дифференциалом.

В результате определяется полный дифференциал энтропии d8 = dqjT, являющейся функцией состояния. Это дает возмож­

ность записать уравнение первого закона термодинамики в виде

ишироко использовать в расчетах.

Величина

будет полным дифференциалом только при условии, что Ту = zT будет интегрирующим делителем теплоты dq. Это возможно в том

случае, если коэффициент сжимаемости будет зависеть только от

энтропии z = z(8) ; иными словами, вдоль каждой линии 8 = const будет выдерживаться и z = const [4, 15, 93]. Реальный газ, обла­

дающий этим свойством, называют .идеальным паром. или .идеа­

лизированным газом•. Важнейшей особенностью идеализирован­

ного газа является то, что его внутренняя энергия и энтальпия -

функции только условной температуры, т. е. и = и(Ту) и t = t (Ту)

(табл. 7.1). Именно благодаря этим свойствам все термодинами­

ческие процессы в идеализированном газе можно рассчитывать

по зависимостям для идеального газа, заменив термодинамичес­

кую температуру Т условной температурой Ту.

Реальный газ может аппроксимироваться идеализированным

газом, поДЧиняющимся уравнению (7.54), только в той ограни­

ченной области изменения параметров состояния, где проходит

рассчитываемый процесс. Особое значение для достижения наи­ большей точности и~еет правильное определение среднего в этой области значения показателя изоэнтропы ky. При расчете про­

цесса сжатия обычно известны начальные параметры в точке н. и

Т а б л и Ц а 7.1. Термоднвамичеекие вapaмeтpw реальиoro, ндeam.BOro

иидеализированного раза

конечное давление РК• В точке пересечения изоэнтропы ВН = const

с изобарой РК находится состояние вещества в конце изоэнтроп­

иого сжатия "8 (рис.7.2). Если процесс проходит вБJtизи линии

8 = const, можно это состояние считать конечным и определять

"у по ЭТИМ двум точкам. Однако при значительном отклонении

рассчитываемого процесса от изоэнтропы, чтобы повысить точ­

ность расчета, необходимо определить положение точки конца действительного процесса, например, приняв значение изоэнтроп­ ного КПД (7.141). Аналогично определяют точки н.' и к' при

272

расчете процессов расши­

рения. На рис. 1.2 mтри- р

ховыми линиями показаны примерные области А и Б,

в которых можно рассчи­

тывать процессы в ком­ прессоре и расширительной

машине.

После того как установ­

лены начальная и КOIIеч­ ная точки процесса, мож­ но определить средние зна­

чения условного показатеРис. 7.2. Области аппроксимации реаль­

ля ИЗОЭнтропы В об.цаСТJlX иого рабочего вещества идеалИЗИРОВ8.JПIым

А или Б. Расчет ведут в газом при определении условвого показа­

такой последовательности. теля изоэвтропы ДЛЯ IjIроцессов сжатия

1. С помощью термоди- (область А) и расmиревия (область Б)

намических таблиц или непосредственно по диаграмме состояния

определяют давление, удельный объем и энтальпию- в начальной

РН• ин, i H И конечной Рк, иК• iK точках.

2. Условные температуры в начальной и конечной точках оп­

ределяют по формуле, найденной из уравнения (7.54),

т. = ри

уR· (7.57)

3.Показатель ИЗОЭнтропы определяют в два этапа. Сначала

находят: ~исло изоэнтропы

Прцрасчете,процессов, близких к изоэнтропному, можно ис­

пользовать формулу

ln РК

VK "

где ик, - удельный 0ОЬеМв концеизоэнтропноroсжатияК8(рис. 7.2).

Указанные зависимости справедливы для процессов как в ком­

прессорах, так и в расширительных машинах.

После определения Ту•н' Ту•к И k параметры всех промежуточ­ ных точек процессов сжатия и расширения рассчитывают по за­

висимостям, полученным на основе уравнения состояния идеаль­ ного газа, в которых вместо термодинамической записывают ус­

ловную температуру, а вместо показателя изоэнтропы - услов­

ный показатель k ' Таким образом, диаграмму состояния или таб­

лицы используютy только один раз, что значительно ускоряет и

упрощает расчеты.

Применение метода условных температур ограничивается в ос-

новном адиабатными или неадиабатными процессами в общем слу­

чае с необратимыми потерями вследствие трения и вихреобразо­

нение изоэнтропы, лежит в основе инженерного расчета компрес­ соров и расширительных машин как объемного, так и динами­

ческоro принципов действия.

Уравнение процесса. В компрессорах и расширительных ма-

шинах характер процессов сжатия и расширения, определяю­

ЩИЙ зависимость давления от плотности или удельного объема

рабочего вещества, может быть весьма сложным, а его экспери­

ментальная оценка - практически трудно осуществимой. Поэто­

му при расчетах или анализе опытных данных обычно полагают,

что все процессы в этих машинах являются политропными. ' Политропным процессом в реальном газе будем считать про-

цесс с постоянной теплоемкостью Спал = const . Интегрируя урав­

от начального состояния 1 до конечного состояния 2, находим

82 - 81 (7.61)

Спол = --т.-'

l n .J..7i

Количество теплоты, подведенноЙ к рабочему веществу или

отведенной от него

политропная или эффективная работа сжатия определится из

Политропную или располагаемую работу расширения находят

из уравнения (7.34):

в этом выражении значения температур поменяли местами, чтобы избежать отрицательных значений. В тех случаях, когда

рассматривают процессы в адиабатных машинах, проходящие с

внутренне необратимыми потерями, но без теплообмена с внеш­

ними источниками, количество теплоты, подведенной к газу, эк­ вивалентно потерянной работе:

ведливость для любых рабочих веществ в любых областях диа­

граммы состояния, включая и двухфазную область.

Для идеального газа уравнение политропного процесса имеет

Применив к реальному газу метод условных температур, най­ дем как частный случай уравнение политропноro процесса в идеа­ лизированном газе в той же форме, что и для идеального газа:

где nу ~ условный показатель политропы, постоянный в рас­

сматриваемом диапазоне изменения параметров.

§7.4. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ КОМПРЕССОР

ИРАСШИРИТЕЛЬНАЯ МАШИНА

Под теоретическими компрессором и расширительной маши­ ной понимают машины, для которых справедливы следующие до­

пущения.

Все процессы, проходящие в этих машинах, внутренне обра­

тимы. Это означает, что при движении газа от входного сечения

до рабочих органов, будь то цилиндр с поршнем, парная полость винтовой или роторной машины объемного принципа действия

либо лопаточный аппарат машины динамического принципа дей­

ствия, в самих рабочих органах, а также при движении газа от них к выходному патрубку отсутствуют потери, связанные с тре­ нием, вихреобразованием и другими факторами.

Процессы всасывания и нагнетания у компрессора, впуска и

выпуска у расширительной машины, кроме того, еще и адиабат­

ны, т. е. проходят без теплообмена с внешними источниками.

Теплообмен между газом и внешними источниками может осу­

ществляться только непосредственно в рабочих органах во время

275