4.3. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Предложение 4.10. Пусть X – линейное пространство, dim X = n, а fe1; : : : ; eng

– некоторый базис в X. Тогда для любой n n-матрицы A существует единственный линейный оператор A 2 L(X; X), матрица которого в базисе fe1; : : : ; eng равна A.

Доказательство. Определим требуемый оператор A следующим образом. Для ба-

имеет матрицу A является несложным упражнением и оставляется читателю. Таким образом, существование требуемого линейного оператора доказано.

Для проверки единственности оператора A достаточно заметить, что любой оператор из L(X; X) однозначно определяется своими значениями на элементах базиса. В самом деле, если линейный оператор B обладает тем свойством, что B ej = 0 для всех j = 1; : : : ; n, то для любого вектора x = 1e1 + + nen, 1; : : : ; n 2 C, имеет место равенство B x = 1 B e1 + + n B en = 0, т.е. B = O – нулевой оператор.

Из только что доказанного утверждения непосредственно вытекает следующее.

Предложение. Если оператор A 2 L(X; X) имеет в базисе e = fe1; : : : ; eng пространства X матрицу A, а оператор B 2 L(X; X) – матрицу B, то оператор A B имеет в базисе e матрицу AB и для любых чисел ; 2 C оператор A + B имеет

вбазисе e матрицу A + B.

Всамом деле, если y = ( A + B)x при x 2 X, то y = A x+ B x и имеют место равенства

[y]e = A[x]e + B[x]e = ( A + B)[x]e:

Далее, если x 2 X, z = B x, а w = A z, то w = A B x и справедливы равенства

[z]e = B[x]e; [w]e = A[z]e = AB[x]e = (AB)[x]e:

Предложение 4.11. Ранг линейного оператора A 2 L(X; X) равен рангу матрицы A этого оператора, т.е. rg A = rg A.

Доказательство. По определению, rg A = dim(im A), а im A можно представить

системе w1; : : : ; wn. Так как все элементы e1; : : : ; en линейно независимы, то число линейно независимых элементов w1; : : : ; wn совпадает с числом линейно независимых столбцов матрицы A, т.е. равно рангу матрицы A.

Используя понятие ранга матрицы линейного оператора можно привести еще одно необходимое и достаточное условие существования обратного оператора A 1 для оператора A: для оператора A существует обратный если и только если ранг матрицы A этого оператора равен размерности n пространства X.

Замечание. Если для оператора A существует обратный оператор A 1, то существует и обратная матрица A 1 для матрицы A. При этом матрица A 1 является матрицей оператора A 1 в базисе fe1; : : : ; eng.

Преобразование матрицы линейного оператора при переходе от базиса к базису. Рассмотрим линейный оператор A 2 L(X; X) и предположим, что в про-

странстве X выбраны два базиса e = fe1; : : : ; eng и e0 = fe01; : : : ; e0ng, причем переход от базиса e к базису e0 осуществляется при помощи матрицы S, т.е. e0k = Pnr=1 rkek, k = 1; : : : ; n. Пусть A = (ajk)nj;k=1 – матрица оператора A в базисе e, а A0 = (a0jk)nj;k=1 –

матрица оператора A в базисе e0. Тогда, при k = 1; : : : ; n

Так как e = fe1; : : : ; eng – базис, то сравнивая последние выражения в полученных цепочках равенств получаем, что для любых k = 1; : : : ; n и r = 1; : : : ; n выполняются равенства

nn

XX

Эти равенства, в свою очередь означают, что выполняется следующее матричное равенство

SA0 = AS:

Заметим, что матрица S, как матрица перехода от базиса к базису, имеет ранг n и, следовательно, существует обратная матрица S 1. Поэтому последнее равенство можно переписать в следующем (окончательном) виде

A0 = S 1AS:

Нами доказана

Теорема 4.12. Матрицы A и A0 линейного оператора A 2 L(X; X) в базисах e и e0 пространства X связаны соотношением A0 = S 1AS, где S – матрица перехода от базиса e к базису e0.

Замечание. Утверждение Теоремы 4.12 можно было получить заметно проще. В самом деле, если x 2 X и y = A x, то справедливы соотношения

eA[x]e = e[y]e = y = e0[y]e0 = e0A0[x]e0 = eSA0S 1[x]e;

из которых немедленно вытекает соотношение A0 = S 1AS.

Пусть оператор A 2 L(X; X) имеет матрицу A в базисе e и матрицу A0 в базисе e0, а оператор B 2 L(X; X) имеет матрицу B в базисе e и матрицу B0 в базисе e0. Тогда для любых чисел ; 2 C оператор A + B имеет матрицу A + B в базисе e. Далее,

S 1( A + B)S = S 1AS + S 1BS = A0 + B0;

т.е., оператор A + B имеет матрицу A0 + B0 в базисе e0. А так как оператор A B имеет в базисе e матрицу AB и так как

S 1(AB)S = S 1ASS 1BS = A0B0;

то оператор A B имеет матрицу A0B0 в базисе e0. Кроме того,

det A0 = det(S 1AS) = det S 1 det A det S = det A

и, следовательно, определитель матрицы линейного оператора не зависит от базиса, относительно которого взята матрица этого линейного оператора, а зависит только от этого оператора.

Таким образом можно ввести понятие определителя det A линейного оператора A, положив по определению det A = det A, где A – матрица оператора A в некотором базисе.

Заметим также, что S 1ES = E и, следовательно, единичный оператор имеет единичную матрицу в любом базисе.

4.4. Инвариантные подпространства линейных операторов

Пусть X – некоторое n-мерное линейное пространство, A – линейный оператор, действующий в пространстве X.

Определение. Подпространство X1 пространства X называют инвариантным подпространством относительно A, или, короче, A-инвариантным подпространством, если для любого элемента x 2 X1 выполнено A x 2 X1. Короче говоря, если A X1 X1.

Пример. ker A и im A являются A-инвариантными подпространствами.

Предположим теперь, что оператор A имеет инвариантное подпространство Y X. Выберем некоторый базис e1; : : : ; em в пространстве Y и дополним его векторами em+1; : : : ; en до базиса e в X. Так как A Y Y, то, по определению матрицы линейного оператора, матрица A оператора A в базисе e будет иметь вид

где A1 – это m m матрица. Можно сказать, что A1 – это матрица оператора AjY

– ограничения оператора A на подпространство Y – в базисе fe1; : : : ; emg. Нижний (n m) m блок матрицы A состоит из нулей, так как оператор A переводит подпространство Y в себя. Заметим теперь, что m (n m) матрица B обращается в нуль если и только если подпространство W := Spanfem+1; : : : ; eng также будет инвариантно относительно оператора A.

Напомним, что n n-матрица называется блочно-диагональной, если она имеет вид

01

m n, где D1; : : : ; Dm – квадратные матрицы размера nk nk, k = 1; : : : ; m, Pmk=1 nk = n, а символом 0 обозначены нулевые матрицы соответствующего размера. Для такой

блочно-диагональной матрицы будем использовать обозначение DiagfD1; : : : ; Dmg. Если же все элементы некоторой матрицы за исключением элементов, стоящих на главной диагонали, равны нулю, то такая матрица будет называться диагональной. Диагональной матрица

01

будем обозначаться символом Diag(d1; d2; : : : ; dn).

Таким образом, если пространство X разложено в прямую сумму X = Y W, оба слагаемых в которой – A-инвариантные подпространства, то в X существует базис, в котором матрица A оператора A имеет блочный вид A = DiagfA1; A2g, где A1 и A2 некоторые квадратные матрицы размера m m и (n m) (n m) соответственно. В таком случае также говорят, что оператор A есть прямая сумма операторов A =

AjY AjW.

Совершенно аналогично понятию прямой сумму двух подпространств можно ввести и понятие прямой суммы любого конечного числа подпространств. Детали этого построения предлагается провести в качестве упражнения.

Абсолютно аналогично только что разобранному случаю разложения пространства X в прямую сумму двух A-инвариантных подпространств, проверяется, что если пространство X разложено в прямую сумму p штук, p 2 N, A-инвариантных подпространств X = Y1 Yp, то существует базис, в котором матрица A оператора