5.4. УСЛОВИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ

Упражнение. Пусть матрица F в Предложении 5.6 невырождена. Доказать, что и система векторов fx1; : : : ; xmg и система линейных функционалов ff1; : : : ; fmg будут линейно независимы.

Предложение 5.7. Если система линейных функционалов ff1; : : : ; fng образует базис в пространстве X , сопряженном к линейному пространству X размерности n, то векторы x1; : : : ; xn 2 X будут линейной независимы если и только если det F 6= 0, где

Доказательство. Из Предложения 5.6 следует, что из линейной зависимости векторов x1; : : : ; xn вытекает равенство det F = 0. Если векторы x1; : : : ; xn линейно независимы, то они образуют базис в X (см. Предложение 2.7). Пусть fe1; : : : ; eng – базис в X, двойственный к базису ff1; : : : ; fng. Пусть

xj = x1je1 + + xnjen:

Тогда матрица

01

x11 x1n

X := @: : : : : : : : : : : : :A

xn1 xnn

является матрицей перехода от базиса fx1; : : : ; xng к базису fe1; : : : ; eng. По определению матрицы перехода, det X 6= 0. Далее, в силу определения двойственного базиса,

n

X

fj(xk) = fj(x1ke1 + + xnken) = xrkfj(er) = xjk: r=1

Следовательно, F = X – матрица координат векторов fx1; : : : ; xng в базисе, двойственном к базису ff1; : : : ; fng. Окончательно заключаем, что det F 6= 0.

Опираясь на только что доказанные Предложения 5.6 и 5.7 установим следующий критерий линейной зависимости векторов линейного пространства X.

Теорема 5.8. Пусть система линейных функционалов ff1; : : : ; fng образует базис в пространстве X , сопряженном к линейному пространству X размерности n. Тогда число линейно независимых векторов среди векторов x1; : : : ; xk 2 X равно порядку

наибольшего отличного от нуля определителя матрицы вида ft(xj) , где 1 t = t1; : : : ; tm n, 1 j = j1; : : : ; jm k.

Доказательство. Пусть r – число линейно независимых векторов среди x1; : : : ; xk. Так как любые m > r векторов из этого набора линейно зависимы, то определитель соответствующей матрицы равен нулю в силу Предложения 5.6.

Найдем среди матриц вида ft(xj) , где 1 t = t1; : : : ; tr n, 1 j = j1; : : : ; jr k матрицу с отличным от нуля определителем.

Рассмотрим систему линейных функционалов g1; : : : ; gn, где g` при ` = 1; : : : ; n – ограничение функционала f` на подпространство W = Spanfx1; : : : ; xkg.

Заметим, что Spanfg1; : : : ; gng = W . В самом деле, включение Spanfg1; : : : ; gng W непосредственно следует из определения двойственного пространства. Рассмотрим теперь произвольный элемент g 2 W . Пусть fe1; : : : ; erg – базис в W. Дополним его до базиса fe1; : : : ; er; er+1; : : : ; eng в пространстве X. Пусть f 2 X такой линейный функционал, что f(e`) = g(e`) при ` = 1; : : : ; r, а f(e`) = 0 при ` = r + 1; : : : ; n. Такой функционал существует, так как в X существуют функционалы, принимающие любые вещественные значения на элементах базиса пространства X. Так как функционалы f1; : : : ; fn образуют базис в X , то f = Pns=1 sfs. Рассмотрим ограничения правой и левой частей этого равенства на W. По определению функционала f получаем, что

P

n

g = s=1 sgs, откуда g 2 Spanfg1; : : : ; gng. Требуемое равенство доказано.

Напомним, что dim W = dim W = r. Выберем теперь из набора x1; : : : ; xk систему из r линейно независимых векторов xj1 ; : : : ; xjr , а из набора g1; : : : ; gn выберем систему из r линейно независимых функционалов gt1 ; : : : ; gtr . Из Предложения 5.7

Остается заметить, что g`(xj) = f`(xj) при ` = 1; : : : ; n, j = 1; : : : ; k по определению

Если считать числа x1; : : : ; xn координатами некоторого вектора x из n-мерного линейного пространства X в некотором определенном базисе в X, то каждое выражение виде aj1x1 + + ajnxn, j = 1; : : : ; n, можно рассматривать как запись некоторого линейного функционала fj. Таким образом, система (5.3) может быть записана в виде

где f1; : : : ; fm – некоторые линейные функционалы их X . Верно и обратное наблюдение – каждая система уравнений вида (5.4) может быть записана в виде обычной системы линейных однородных уравнений вида (5.3). Для этого необходимо зафиксировать в пространстве X некоторый базис и расписать каждое из уравнений fj(x) = 0 в координатном виде. Опираясь на эти наблюдения можно сформулировать и доказать следующее утверждение.

Предложение 5.9. Пусть X – n-мерное линейное пространство. Если система линейных функционалов f1; : : : ; fm содержит ровно r линейно независимых элементов, то размерность пространства решений системы (5.4) равна n r.

Любое подпространство W X является подпространством решений некоторой системы вида (5.4).

Доказательство. Пусть (без ограничения общности) элементы f1; : : : ; fr линейно независимы. Тогда остальные функционалы fj при j r будут линейными комбинациями элементов f1; : : : ; fr. Следовательно, система (5.4) равносильна системе

Пусть fff1; : : : ; fr; hr+1; : : : ; hng – базис в X и пусть efe1; : : : ; eng – базис в X, двойственный к f. Тогда для любого x = Pns=1 xses система (5.5) будет иметь вид

x1 = = xr = 0:

Т.е. пространство решений системы (5.5) состоит из векторов вида x = имеет размерность n r так как вектора er+1; : : : ; en линейно независимы.

Для доказательства второго утверждения возьмем базис fe1; : : : ; emg в W такой, что fe1; : : : ; em; em+1; : : : ; eng – некоторый базис в пространстве X. Вектор x 2 X принадлежит W если и только если xm+1 = = xn = 0, где (x1; : : : ; xn)> координаты вектора x в рассматриваемом базисе. Если ff1; : : : ; fng – базис в X , двойственный к рассматриваемому базису в X, то уравнение xs = 0 – это в точности уравнение fs(x) = 0. Итак,

W = fx : fm+1(x) = = fn(x) = 0g:

5.5. Общее понятие сопряженного оператора

Пусть X и Y – два конечномерных линейных пространства, а X и Y – соответствующие сопряженные пространства. Пусть, как и раньше, выражение hfjxi, f 2 X ,

x 2 X обозначает спаривание между X и X, а выражение hgjyi – спаривание между

Y и Y.

Пусть теперь определен линейный оператор A 2 L(X; Y). Для любого линейного функционала f 2 Y выражение hfj A xi, x 2 X определяет некоторый линейный функционал на X. В самом деле,

hfj A( 1x + 2x2)i = hfj 1 A x1 + 2 A x2i = 1hfj A x1i + 2hfj A x2i

для любых x1; x2 2 X и для любых чисел 1; 2, так как спаривание является линейным по обоим своим аргументам. Следовательно, определено отображение f 7! fhj A( )i пространства Y линейных функционалов на Y в пространство X линейных функционалов на X, связанное с рассматриваемым линейным оператором A. Это отображение называют сопряженным оператором для оператора A и обозначают A :

(A f)(x) = hfj A xi; x 2 X:

Проверим, что A является линейным оператором. В самом деле,

A ( f + g)(x) = h f + gj A x) = hfj A xi + hgj A xi = A f(x) + A g(x)

для любых f; g 2 Y , для любых чисел ; и для любого вектора x 2 X.

Итак, для линейного оператора A 2 L(X; Y) мы определили сопряженный линей-

ный оператор A 2 L(Y ; X ) (обратите внимание на “направление действия” оператора A ).

Пусть теперь Y = X. Непосредственно из определения сопряженного оператора и свойства линейности спаривания по обоим аргументам вытекают следующие свойства сопряженного оператора:

(1) Оператор E (где E – тождественный оператор на X), совпадает с тождественным оператором на линейном пространстве X .

(2) ( A) = A для любого комплексного числа . Это вытекает из того, что для любого f 2 X и для любого x 2 X верны равенства h( A) fjxi = hfj( A)xi = hfj (A x)i = hfj A xi = hA fjxi.

(3) Для любых линейных операторов A; B 2 L(X; X) имеют место равенства

(A + B) = A + B ; (A B) = B A :

Проверим, например, последнее равенство. Для любого f 2 X и для любого x 2 X справедливы следующие равенства, вытекающие из определения сопряженного опера-

n

X

hemj A eki = ajkhemjeji = amk:

X

hA emjeki = armherjeki = akm: r=1