4.7.Норма линейного оператора

Вэтом разделе X – вещественное или комплексное нормированное пространство с нормой k k. Рассмотрим пространство L(X; X) и выясним вопрос, как можно ввести на нем структуру нормированного пространства. Оказывается, что существует по меньшей мере два способа определить норму в пространстве L(X; X) так, чтобы эта норма была естественно согласованной с нормой k k в исходном пространстве X.

Рассмотрим линейный оператор A 2 L(X; X) и определим величину

k A ks := supfk A xk : x 2 X; kxk = 1g:

Заметим, однако, что в общем случае величина k A ks может и не существовать.

Пример 4.20. Рассмотрим пространство R[t] многочленов с вещественными коэффициентами от одной вещественной переменной с нормой kP k определенной соотношением

Z 1

kP k2 = P (t)2 dt

0

(проверка того, что величина kP k в самом деле является нормой на пространстве R[t]

k D(p2n + 1 tn)k = np2n 1 ktn 1k = nr2n + 1; 2n 1

а последняя величина с ростом n неограничено возрастает.

Предложение 4.21. Если пространство X конечномерно, то для любого линейного оператора A 2 L(X; X) величина k A ks существует и обладает всеми свойствами нормы (см. раздел 3.1).

Доказательство. Пусть X – комплексное пространство размерности dim X = n. Рассмотрим в пространстве Cn множество S = fz = (z1; : : : ; zn) : jz1j2 + + jznj2 = 1g. Это множество – компакт (т.е. замкнутое и ограниченное множество) в Cn. Рассмотрим далее функцию f(z) = k A vzk при z 2 S, где vz 2 X – это такой вектор, что [vz] = (z1; : : : ; zn)> (относительно некоторого базиса в X). Заметим, что функция f непрерывна на S (это непосредственно вытекает из определения нормы и определения линейного оператора; проверка оставляется в качестве упражнения). По теореме Больцано-Вейерштрасса, непрерывная на компакте S функция f ограничена и достигает на нем своей точной верхней грани. Следовательно, найдется вектор v0 2 X такой, что k A ks = k A v0k.

Проверим, что величина k A kS обладает свойствами нормы. Обозначим через S(X) множество S(X) := fx 2 X : kxk = 1g. Заметим, что

k A ks = 0 () 8x 2 S(X) k A xk = 0 ()

() 8x 2 S(X) A x = 0 () 8x 2 X A x = 0 () A = O :

Таким образом, k A kS = 0, если и только если A – нулевой оператор. Далее, для любого

2 C

k A ks = supfk A xk : x 2 S(X)g = j j supfk A xk : x 2 S(X)g = j jk A ks

и, наконец, для любых двух операторов A; B 2 L(X; X)

k A + B ks = supfk A x + B xk : x 2 S(X)g

supfj A xk : x 2 S(X)g + supfj B xk : x 2 S(X)g = k A ks + k B ks:

Замечание. Пусть пространство X конечномерно, так что норма k A ks существует

Упражнение. Доказать неравенство (4.6).

Определение. Пусть X – нормированное линейное пространство. Линейный оператор A 2 L(X; X) называется ограниченным если существует неотрицательное вещественное число N такое, что для любого вектора x 2 X верно неравенство

Нижняя грань inf N множества всех констант N, для которых справедливо неравенство (4.7), обозначается символом k A ki.

Предложение 4.22. Если пространство X – конечномерно, то каждый оператор A 2 L(X; X) ограничен. В этом случае k A ki = k A ks.

Доказательство. Из неравенства (4.6) следует, что неравенство (4.7) выполняется с некоторым N k A ks. Так что k A ki k A ks. С другой стороны, для любого x 2 S(X) имеет место неравенство k A xk k A kikxk = k A ki, откуда k A ks k A ki. Итак, A ограничен и k A ki = k A ks. Что и требовалось.

Определение. В случае конечномерного линейного нормированного пространства

Xвеличину k A k = k A ks = k A ki называют нормой оператора A 2 L(X; X).

Оператор дифференцирования в примере 4.20 неограничен.

Упражнение. Проверить, что оператор M : P (t) 7!tP (t) в пространстве R[t] ограничен и найти его норму.

Норма единичного оператора E 2 L(X; X) равна 1, так как k E xk = kxk для любого x 2 X. Рассмотрим еще один важный для дальнейшего пример.

Пример 4.23. Пусть X – евклидово пространство со скалярным произведением h ; i, и пусть оператор A 2 L(X; X) имеет в некотором ортонормированном базисе fe1; : : : ; eng пространства X диагональный вид, т.е. A ej = jej при j = 1; : : : ; n, гдеj 2 R – некоторые вещественные числа (ясно, что все они будут собственными числами

Из этого следует, что k A xk j 1jkxk и, окончательно, k A k j 1j. А так как k A e1k = j 1j, то k A k = j 1j.

Выясним в завершении этого раздела, как ведет себя норма относительно операции композиции линейный операторов. Имеет место следующий результат.

Предложение 4.24. Если A; B 2 L(X; X) – два ограниченных оператора на нормированном линейном пространстве X, то оператор A B является ограниченным и

2 X X

линейном пространстве X, то k Am k k A km для любого m 2 N.

Пример 4.26. Рассмотрим в пространстве R2 операторы Px и Py проектирования на координатные оси OX и OY соответственно. Как несложно подсчитать, k Px k = k Py k = 1, а Px Py = Py Px = O. Так что неравенство (4.8) не может, в общем случае, превратится в равенство.