Канонический вид линейный операторов

Доказательство. В качестве упражнения предлагается проверить, что из эрмитовости формы F0 и из условия Q0(x) > 0 для любого x 2 X, x 6= 0 вытекает, что выражение

задает скалярное произведение в пространстве X. Таким образом, утверждение теоремы непосредственно вытекает из предыдущей теоремы, примененной к пространству X, эрмитова структура в котором задается скалярным произведением h ; iF0. В самом деле, требуемое представление для квадратичной формы Q прямо следует из Теоремы 7.1, а соответствующее представление для квадратичной формы Q0 вытекает из того, что в любом ортонормированном базисе соответствующее скалярное произведение равно сумме квадратов модулей координат.

7.2. Канонический вид линейных операторов

Рассмотрим вопрос о том, какой наиболее простой вид может иметь матрица A оператора A 2 L(X; X), действующего в эрмитовом пространстве X, dim X = n.

Предположим в начале, что оператор A имеет инвариантное подпространство Y X, т.е. A Y Y. Как было показано выше (см. Раздел 4.4) в пространстве X можно выбрать такой базис fe1; : : : ; eng, в котором матрица A оператора A будет иметь вид

где A1 – это m m матрица, а m = dim Y. Напомним, что для этого достаточно выбрать базис fe1; : : : ; emg в пространстве Y и дополнить его векторами fem+1; : : : ; eng до базиса в X. При этом A1 – это матрица оператора AjY (ограничения оператора A на подпространство Y) в базисе fe1; : : : ; emg. Нижний (n m) m блок матрицы A состоит из нулей, так как оператор A переводит подпространство Y в себя. Заметим теперь, что m (n m) матрица B обращается в нуль если и только если подпространство W := Spanfem+1; : : : ; eng также будет инвариантно относительно оператора A.

Таким образом, если пространство X разложено в прямую сумму X = Y W, оба слагаемых в которой – A-инвариантные подпространства, то в X существует базис, в котором матрица A оператора A имеет блочный вид A = DiagfA1; A2g, где A1 и A2 некоторые квадратные матрицы размера m m и (n m) (n m) соответственно.

Более того, если пространство X разложено в прямую сумму p штук, p 2 N, A- инвариантных подпространств X = Y1 Yp, то существует базис, в котором матрица A оператора A имеет блочный вид A = DiagfA1; : : : ; Apg, где Aj (при j = 1; : : : ; p) – некоторые квадратные матрицы.

Как уже отмечалось в Разделе 4.4, при разложении пространства X в прямую сумму подпространств X = Y W, где первое слагаемое является A-инвариантным подпространством, второе слагаемое совершенно не обязано быть A-инвариантным подпространством.

Пусть – собственное значение оператора A, т.е. det(A E) = 0. Вспомним данное выше понятие собственного вектора линейного оператора: элемент x 2 X, x 6= 0, называется собственным вектором оператора A, соответствующим собственному значению, если A x = x. Введем еще одно понятие, связанное с понятием собственного числа линейного оператора A.

Определение. Элемент x 2 X называется присоединенным элементом (или присоединенный вектором) оператора A, отвечающим собственному значению , если для некоторого целого числа m 1 выполняются соотношения

(A E)mx 6= 0; (A E)m+1x = 0:

Число m называется порядком присоединенного элемента x.

Заметим, что если x – присоединенный вектор порядка m для оператора A, то вектор (A E)mx является собственным вектором для оператора A.

Кроме того, можно легко проверить, что совокупность всех присоединенных векторов оператора A, отвечающих некоторому собственному значению , образует A- инвариантное подпространство. Это подпространство называется корневым подпространством оператора A, соответствующим собственному значению .

Замечание. Итак, корневое подпространство оператора A, отвечающее собственному значению , это подпространство fx 2 X : (A E)kx = 0 при некотором k 2 Ng.

Нашей целью является доказательство следующего результата.

Теорема 7.3. Пусть A – линейный оператор, действующий в n-мерном эрмитовом пространстве X. Существует базис

состоящий из собственных и присоединенных векторов оператора A такой, что действие оператора A в базисе eJ описывается следующим образом

A ek;1 = kek;1; k = 1; : : : ; `;

A ek;m = kek;m + ek;m 1; k = 1; : : : ; `; m = 2; : : : ; nk:

Из условий сформулированной теоремы вытекает, что векторы ek;1 при k = 1; : : : ; `

– это собственные векторы оператора A, соответствующие собственным значениям k. Соответственно, векторы ek;m при k = 1; : : : ; ` и m = 2; : : : ; nk, являются присоединенными векторами порядка m, также отвечающими собственным значениям k.

Из условий теоремы 7.3 также вытекает, что матрица A оператора A в базисе eJ имеет блочно-диагональный вид Diagf 1; 2; : : : ; `g, где nk nk-матрица k (при k = 1; : : : ; `) имеет вид

Матрицы вида k называют жордановыми клетками матрицы A, а про матрицу

Diagf 1; 2; : : : ; `g;

составленную из жордановых клеток, говорят, что она записана в жордановой форме. Для удобства будем обозначать матрицы k через J( k; nk) указывая размер соответствующей жордановой клетки и определяющее ее число k.

Из доказательства Теоремы 7.3 будет следовать, что жорданова форма матрицы определена единственным образом с точностью до порядка следования жордановых клеток. Этот порядок совпадает с выбранным способом нумерации собственных значений.

Доказательство теоремы 7.3. Доказательство проведем используя индукцию по размерности пространства. Для пространства размерности 1 утверждение теоремы очевидно. Пусть теперь n > 1 и утверждение теоремы справедливо для пространств размерности, меньшей n. Установим, что утверждение теоремы справедливо и для операторов в пространствах размерности n.

Пусть – собственное число оператора A. Это число является (см. Теорему 4.13) корнем характеристического уравнения det(A E) = 0. Следовательно, для оператора

B = A E

r := rg B < n:

Оператор B отображает пространство X на некоторое подпространство im B. Поэтому, оператор B отображает подпространство im B в это же подпространство.

По предположению индукции, в im B существует базис

Итак, оператор Be = Bj im B имеет в базисе h матрицу Be, которая имеет вид

Be = DiagfJ( 1; r1); : : : ; J( p; rp)g:

Предположим, что только первые m1 собственных значений оператора Be равны нулю, а остальные – отличны от нуля.

Заметим, что rg J(0; t) = t 1, а rg J( ; t) = t при 6= 0. Отсюда следует, что

векторы wk 2 X, что B wk = hk;rk .

Проверим, что векторы hk;m при k = 1; : : : ; p и m = 1; : : : ; rk, векторы gk при k = 1; : : : ; m0 и векторы wk при k = 1; : : : ; m1 линейно независимы. Для этого рассмотрим произвольную линейную комбинацию этих векторов вида

Итак, выражение для B z представляет собой линейную комбинацию базисных векторов hk;m. Следовательно, из равенства B z = 0 получаем, что коэффициенты при векторах hk;m в этой линейной комбинации равны нулю. Заметим, что число m1 было выбрано так, что при k m1 имеют место равенства k = 0. Следовательно (детали проверки оставляются в качестве упражнения), k = 0 при k = 1; : : : ; m1. Из этого вытекает, что

вектор g 2 im B (так как векторы hk;m образуют базис в im B). Отсюда вытекает, что