Самосопряженные линейные операторы

Определение. Оператор, сопряженный к оператору A в смысле определения, данного в этом разделе, обозначается A .

Замечание. Корректность использования символа A для обозначения оператора, сопряженного к оператору A в смысле только что данного определения будет обоснована в разделе 6.3 ниже.

Предложение 6.2. Пусть X – n-мерное эрмитово пространство и пусть A 2 L(X; X) и B 2 L(X; X) – линейные операторы. Тогда

(1)E = E;

(2)(A + B) = A + B ;

(3)( A) = A для любого 2 C;

(4)(A ) = A;

(5)(A B) = B A .

Доказательство. Проверка свойств (1) и (2) элементарна и оставляется в качестве упражнения. Проверим свойства (3)-(5). Пусть x 2 X и y 2 X – произвольные элементы. Тогда

h( A)x; yi = hA x; yi = hx; A yi = hx; ( A )yi

с учетом свойств (эрмитова) скалярного произведения и, следовательно, свойство (3) выполняется. Свойство (4) устанавливается следующим образом:

hA x; yi = hx; A yi = hA y; xi = hy; (A ) xi = h(A ) x; yi:

И, наконец, свойство (5) вытекает из следующей цепочки равенств:

h(A B)x; yi = hA(B x); yi = hB x; A yi = hx; B (A y)i = hx; (B A )yi:

Замечание. В случае, когда X – евклидово (т.е. вещественное) пространство, понятие сопряженного оператора вводится аналогично и свойства (1), (2), (4) и (5) сопряженного оператора остаются в силе. Их доказательства проходят аналогично тому, как доказывались соответствующие свойства в Предложении 6.2 за тем исключением, что в проверке свойства (4) не надо использовать операцию комплексного сопряжения. Свойство (3) в этом случае измениться на следующее ( A) = A , 2 R, но его доказательство аналогично доказательству свойства (3) для комплексных пространств.

Определение. Линейный оператор A 2 L(X; X) называется самосопряженным, если A = A (это определение работает как в случае комплексного, так и в случае вещественного пространства X).

Простейшим примером самосопряженного оператора является единичный оператор E (см. свойство (1) в Предложении 6.2). Имеет место следующий результат о разложении произвольного оператора, действующего в эрмитовом пространстве X на “действительную” и “мнимую” части.

Предложение 6.3. Пусть X – эрмитово пространство. Тогда для любого оператора A 2 L(X; X) справедливо разложение

где AR и AI – самосопряженные операторы.

В самом деле, из Предложения 6.2 о свойствах сопряженных операторов вытекает, что операторы AR и AI , определенные следующим образом:

являются самосопряженными и разложение (6.2) имеет место.

Для того, чтобы сформулировать следующее свойство самосопряженных операторов напомним, что два линейных оператора A 2 L(X; X) и B 2 L(X; X) коммутируют, если A B = B A. Имеет место следующее утверждение.

Предложение 6.4. Пусть операторы A 2 L(X; X) и B 2 L(X; X) являются самосопряженными. Тогда оператор A B является самосопряженным если и только если операторы A и B коммутируют.

Доказательство. В самом деле, в силу свойства (5) сопряженного оператора (см. Предложение 6.2), самосопряженности A и B и в силу того, что A B = B A получаем

(A B) = B A = B A = A B

и следовательно, оператор A B является самосопряженным. Обратно, если оператор A B является самосопряженным, то

A B = (A B) = B A = B A

(последнее равенство верно в силу самосопряженности A и B) и, следовательно, операторы A и B коммутируют.

Отметим еще три полезных свойства самосопряженных операторов.

Предложение 6.5. Пусть оператор A 2 L(X; X) – самосопряженный. Тогда

(1)hA x; xi 2 R для любого x 2 X;

(2)все собственные значения оператора A вещественны;

(3)собственные векторы оператора A, отвечающие различным собственным значения, ортогональны.

Доказательство. Первое утверждение вытекает из того, что

hA x; xi = hx; A xi = hA x; xi;

где первое равенство следует из самосопряженности A, а второе – из свойств скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве.

Пусть теперь – собственное число оператора A и пусть x – соответствующий этому собственному числу собственный вектор. Тогда hA x; xi = hx; xi = kxk2 и, так как hA x; xi 2 R (в силу предыдущего утверждения), а kxk 2 R (по определению нормы),

2 R.

Остается проверить ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора A, отвечающих разным собственным значениям. Пусть 1 6= 2 – два собственных числа оператора A и пусть x1 и x2 – соответствующие собственные векторы. В этом случае, hA x1; x2i = 1hx1; x2i и hx1; A x2i = 2hx1; x2i (в последнем равенстве учтено, что 2 2 R). Из самосопряженности A следует, что hA x1; x2i = hx1; A x2i и, следовательно, 1hx1; x2i = 2hx1; x2i, или ( 1 2)hx1; x2i = 0. Из последнего равенства (так как 1 6= 2) вытекает, что hx1; x2i = 0.

6.2. Матрица самосопряженного оператора

Случай евклидова пространства. Пусть X – (вещественное) евклидово пространство, а A 2 L(X; X) – самосопряженный оператор. Выберем в X некоторый ортонормированный базис e = fe1; : : : ; eng, где n = dim X – размерность X. Обозначим через A = (ajk)nj;k=1 матрицу оператора A в базисе e. Тогда:

для всех j; k = 1; : : : ; n. Итак, для элементов матрицы самосопряженного оператора в ортонормированном базисе выполняется соотношение ajk = akj при всех j; k = 1; : : : ; n. В матричной форме это соотношение выражается так: A> = A.

Определение. Матрица A, для которой выполнено соотношение A> = A называется симметричной.

Предложение 6.6. Самосопряженный оператор, действующий в евклидовом пространстве в произвольном ортонормированном базисе имеет симметричную матрицу.

Если оператор A, действующий в евклидовом пространстве X имеет в некотором ортонормированном базисе e = fe1; : : : ; eng пространства X симметричную матрицу A, то он является самосопряженным.

Доказательство. Первое утверждение было установлено в начале настоящего раздела. Докажем второе утверждение. Пусть, как обычно, A – оператор, сопряженный с A. Предположим, что оператор A имеем матрицу A0 = (a0jk)nj;k=1. Тогда:

для всех j; k = 1; : : : ; n. Учитывая определения сопряженного оператора и симметричной матрицы получаем, что a0jk = akj = ajk при всех j; k = 1; : : : ; n. Следовательно, A = A0 и, следовательно, A = A , т.е. оператор A является самосопряженным.

Случай эрмитова пространства. Пусть теперь X – (комплексное) эрмитово пространство, а A 2 L(X; X) – самосопряженный оператор.

Для матрицы A = (ajk)j;k=1:::n 2 Mn(C) обозначим через A матрицу A = (ajk)j;k=1:::n, состоящую из элементов, комплексно сопряженных к элементам матрицы A.

Определение. Матрицу A = (ajk)nj;k=1 назовем эрмитовой, если выполняется соотношение A> = A. Используется также обозначение A = A>; при этом матрица A будет эрмитовой, если A = A .

Предложение 6.7. Самосопряженный оператор, действующий в комплексном евклидовом пространстве имеет в любом ортонормированном базисе эрмитову матрицу. Если действующий в эрмитовом пространстве линейный оператор имеет в каком-то ортонормированном базисе эрмитову матрицу, то он является самосопряженным.

Доказательство этих утверждений является дословным повторением доказательства утверждений предыдущего раздела, в котором в необходимых местах необходимо расставить знаки комплексного сопряжения. В самом деле, если A и A0 – матрицы операторов A и A в ортонормированном базисе e = fe1; : : : ; eng, то

для всех j; k = 1; : : : ; n. Детали оставляются в качестве упражнения.

6.3. Самосопряженные операторы в эрмитовых пространствах с точки зрения общего понятия сопряженного оператора

Пусть теперь A 2 L(X; X) – некоторый линейный оператор, а A = (ajk) – матрица оператора A в ортонормированном базисе fe1; : : : ; eng. Пусть также A 2 L(X; X) – оператор, сопряженный с A (в смысле определения, данного в разделе 6.1). При этом,

если A = (ajk) – матрица оператора A в базисе fe1; : : : ; eng, то ajk = akj при всех j; k = 1; : : : ; n (это было показано в разделе 6.2). В этом случае, для канонического

спаривания hfjxi между X и X , определенного выше, получаем