корректно. При этом отображение feявляется инъективным. В самом деле, fe(xef ) = fe(zef ) если и только если f(x) = f(z), что эквивалентно тому, что xef = zef .

Заметим, что равенство (1.2) можно представить в виде

(fe p)(x) = f(x);

где p каноническая проекция. Таким образом, нами получена факторизация (разло-

e

В качестве упражнения предлагается проверить, что биективность отображения f равносильна сюръективности отображения fe.

Оказывается, что отображение feединственно в следующем смысле. Предположим, что существует другое отображение f1 : X= f ! X такое, что f = f1 p. Тогда из цепочки равенств f1(xef ) = f1(p(x)) = f(x) = fe(xef ) вытекает, что f1 = fe. Следовательно,

отображение fe, дающее факторизацию f вида f = fe p единственно.

1.3. Отношения порядка, упорядоченные множества

Пусть на множестве X задано бинарное отношение . Если это отношение является рефлексивным (т.е. x x для любого x 2 X), антисимметричным (т.е. из условий x1 x2 и x2 x1 вытекает x1 = x2) и транзитивным т.е. из условий x1 x2 и x2 x3 вытекает x1 x3 для всех x1; x2; x3 2 X), то отношение называется порядком на X.

Вместе с отношением обычно рассматривают отношение , определяемое так: x1 x2 если x2 x1. Кроме того, определяются отношения и : x1 x2 если x1 x2 и x1 6= x2, а x1 x2 если x1 x2 и x1 6= x2.

В общем случае, пара элементов x1; x2 множества X может как находится в отношении , так и не находится в этом отношении. Если для каждых двух элементов x1 и x2 множества X верно одно из двух выражений x1 x2 или x2 x1, то множество

X называется вполне упорядоченным.

Примерами отношений порядка могут служить, в частности, отношения A B на множестве S(X) всех подмножеств некоторого множества X, стандартное отношениена множестве R всех вещественных чисел, отношение делимости на множестве N натуральных чисел.

1.4. Понятие числового поля

Пусть F – множество элементов (чисел) произвольной природы. Предположим, что на множестве F F = f(x; y) : x; y 2 Fg упорядоченных пар элементов множества F заданы две функции, скажем ' и , принимающие значения в F. Такие функции называются алгебраическими операциями на F. Назовем ' операцией сложения, а

операцией умножения. Выражение '(x; y) обозначим через x + y, а выражение (x; y)через xy (используются также обозначения x y и x y).

Определение. Скажем, что множество F, рассматриваемое совместно с операциям сложения ' = + и умножения = , образует поле, если

(1) Операция + ассоциативна и коммутативна, т.е. для любых элементов x; y; z 2

F выполняются равенства (x + y) + z = x + (y + z) и x + y = y + x.

(2)Существует элемент 0 2 F такой что 0 + x = x + 0 = x для любого x 2 F. Этот элемент 0 называется нулем поля F (или нейтральным элементом относительно операции сложения).

(5)Существует элемент 1 2 F такой что 1x = x1 = x для любого x 2 F. Этот элемент 1 называется единицей поля F (или нейтральным элементом относительно операции умножения).

(6)Для любого элемента x 2 F := F n f0g существует элемент z такой, что xz = zx = 1. Такой элемент z называется обратным для x и обозначается символом x 1.

(7)Операции + и связаны дистрибутивным законом, т.е. для любых элементов x; y; z 2 F имеет место равенство x(y + z) = xy + xz.

Говорят также, что F образует поле (является полем) относительно операций + и . Свойства (1)-(7) часто называют аксиомами поля.

Из аксиом поля в частности вытекает, что для любого элемента x 2 F выполняется равенство x0 = 0x = 0. Кроме того, если F нетривиальное поле, т.е если F 6= f0g, то 1 6= 0. Проверка этих свойств поля оставляется в качестве упражнения.

Замечание. Противоположный элемент x, существование которого для любого элемента x 2 F утверждается в аксиоме (3) поля определен для каждого x 2 F единственным образом. В самом деле, если y1;2 2 F такие, что x + y1 = y1 + x = 0 и x + y2 = y2 + x = 0, то y2 = y2 + 0 = y2 + x + y1 = 0 + y1 = y1. Аналогично доказывается единственность обратного элемента для любого элемента x 2 F .

Кроме того, если F поле, x; y 2 F произвольные его элементы такие, что xy = 0, то хотя бы один из элементов x или y должен равняться нулю. В самом деле, если x 6= 0 то существует x 1 2 F такой, что x 1x = 1 и из равенства xy = 0 вытекает, что y = 1y = x 1xy = x 10 = 0. Аналогично разбирается случай y 6= 0. Установленное свойство называется свойством отсутствия делителей нуля в поле F.

В поле F выражение x + ( y) записывают в виде x y. Операция (x; y) 7!x y называется операцией вычитания. Кроме того, выражение xy 1, где x 2 F, а y 2 F записывают в виде x=y, а операция (x; y) 7!x=y называется операцией деления.

Важные примеры полей образуют множества рациональных чисел Q и вещественных чисел R, рассматриваемые со стандартными операциями сложения и умножения.

Если два поля F и F0 связаны соотношением F0 F, то говорят, что поле F0 является подполем поля F, а поле F расширением поля F0.

Пусть F1 – поле относительно операций + и , а F2 –поле относительно операций и . Поля F1 и F2 называются изоморфными, если существует биективное отображение

F: F1 ! F2 такое, что для любых элементов x; y 2 F1 выполнены равенства F (x+y) =

F(x) F (y) и F (x y) = F (x) F (y).

1.5. Комплексные числа

Поле комплексных чисел. По определению, C = fx + iy : x; y 2 Rg, где i

символ и введены следующие операции:

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2); z1z2 = (x1x2 y1y2) + i(x1y2 + x2y1)

при условии, что z1;2 = x1;2 + iy1;2.

Упражнение. Проверить, что C является полем и показать, что подполе fx + i0 : x 2 Rg изоморфно R (далее они отождествляются).

Заметим, что i2 = (0 + i1)2 = 1 + i0 = 1.

Нулем и единицей в C являются 0 = 0 + i0 и 1 = 1 + i0 соответственно. При z 6= 0

где z = x iy – число, сопряженное к z = x + iy.

Определение. Выражение z = x+iy называют алгебраической формой комплексного числа z, x = Re z – его действительной частью, а y = Im z – мнимой частью z.

Тригонометрическая форма комплексного числа. При z = x + iy положим

p

jzj = x2 + y2 – модуль числа z. При этом, если r = jzj, то zz = r2.

Пусть z 2 C . Существует (единственное) число 0 2 ( ; ] такое, что x = r cos 0, y = r sin 0. Это число называется главным значением (полярного) аргумента z и обозначается arg z. Кроме того вводится Arg z = f 0 + 2k : k 2 Zg – совокупный (полярный) аргумент числа z. При любом 2 Arg z имеем z = r(cos + i sin ). Полезно заметить, что если z = x + iy и x > 0 (z лежит в правой полуплоскости), то arg z = arctg(y=x).

Определение. Выражение z = r(cos + i sin ) называется тригонометрической формой комплексного числа z.

Предложение (формула Муавра). Если z = r(cos + i sin ) 6= 0, то при n 2 N zn = rn cos(n ) + i sin(n ) :

Это утверждение вытекает из того, что если 1;2 2 Arg(z1;2), r1;2 = jz1;2j, то

z1z2 = r1r2(cos( 1 + 2) + i sin( 1 + 2)):

Проверка последнего соотношения не представляет сложностей, делается непосредственно на основании определения операций над комплексными числами и оставляется

p

Из формулы Муавра следует, что при z 6= 0 совокупность z состоит из n элементов

Экспоненциальная (показательная) форма записи комплексных чисел.

ezew = exeu(cos y+i sin y)(cos v+i sin v) = ex+u(cos(y+v)+i sin(y+v)) = ex+u+i(y+v) = ez+w:

Из полученной формулы вытекает следующее важное свойство комплексных чисел. Пусть z 6= 0, r = jzj, ' = arg z, тогда z = rei'; в частности, cos ' = (ei' + e i')=2 и sin ' = (ei' e i')=(2i).

Определение. Выражение z = rei' называется экспоненциальной (или показательной) формой комплексного числа z.

Корни степени n из единицы. Рассмотрим уравнение !n = 1 (где ! – ком-

вписанного в окружность радиуса 1 с центром в точке 0 = 0 + 0i = (0; 0) так, что точка 1 = 1 + 0i = (1; 0) является одной из вершин этого многоугольника.

3.Для любых целых n 0, k 0 и d > 0 имеет место !ndkd = !nk.

4.Пусть n четно. Тогда !nn=2 = !2 = 1. Кроме того, если f!nkgnk=01 совокупность всех корни степени n из единицы, то f(!nk)2g совокупность всех корней степени n=2 из единицы, причем каждый корень степени n=2 входит в эту совокупность дважды.

Интересно отметить, что для любого n 1 и для любого k > 0, не кратного n,

где !nk 6= 1 так как k не кратно n. Число !n = !n1 называется главным (первообразным) корнем степени n из единицы.

Матричная модель комплексных чисел. В качестве упражнения предлагается проверить, что множество матриц

рассматриваемое со стандартными операциями матричного сложения и умножения образует поле. Единицей в этом поле является единичная матрица, а нулем – нулевая матрица.

Заметим, что любая матрица A вида (1.3) может быть записана в виде

Таким образом, множество матриц вида (1.3) может быть отождествлено с множеством C комплексных чисел следующим образом: комплексному числу a + bi ставиться в соответствие матрица aE + bJ и наоборот.

Упражнение. Проверить, что при этом сумме и произведению комплексных чисел соответствуют сумма и произведение соответствующих матриц из (1.3) и наоборот.

Таким образом, поле C и поле матриц вида (1.3) изоморфны. Кроме того, множество матриц вида faE : a 2 Rg образует подполе поля (1.3), изоморфное полю R, а матричное соотношение J2 + E = 0 является аналогом соотношения i2 = 1 в C.