6.4. СВОЙСТВА САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

где '1; : : : ; 'n – координаты элемента f 2 X относительно базиса be = fe1; : : : ; eng (см. раздел 5.2). Аналогично, если '1; : : : ; 'n – координаты относительно этого же базиса элемента A f, то 'j = Pnk=1 ajk'k и

Таким образом, исходя из определения сопряженного оператора, данного в этой лекции для случая операторов, действующих в эрмитовых пространствах, мы получили

следующее равенство

hA fjxi = hfj A xi

для канонического спаривания между X и X. Таким образом, оператор A является сопряженным к A и с точки зрения общего понятия сопряженного оператора.

Замечание. Всюду в дальнейшем, работая с сопряженными и самосопряженными операторами в эрмитовых пространствах мы будем использовать определение, данное специально для этого случая.

6.4. Свойства самосопряженных операторов

Напомним, что в разделе 4.7 понятие нормы оператора было введено и изучено для линейных операторов, действующих в линейном нормированном пространстве.

Оказывается, что в случае самосопряженного оператора, действующего в эрмитовом пространстве X, существует следующая удобная в формула для вычисления нормы.

Предложение 6.8. Пусть A 2 L(X; X) – самосопряженный оператор. Тогда

k A k = supfjhA x; xij : x 2 X; kxk = 1g:

Доказательство. Для произвольного элемента x 2 X справедливо следующее неравенство, которое непосредственно вытекает из неравенства Коши-Буняковского:

jhA x; xij k A xkkxk:

Далее, с учетом неравенства k A xk k A kkxk получаем, что

jhA x; xij k A kkxk2:

Из этого неравенства вытекает, что число = supfjhA x; xij : x 2 X; kxk = 1g удовлетворяет неравенству k A k. Так как при y 2 X и y 6= 0 имеет место равенство

то, учитывая определение числа получаем, что

jhA y; yij kyk2:

Из свойств скалярного произведения легко выводится следующее соотношение (проверка которого оставляется в качестве упражнения):

4 RehA x; yi = hA(x + y); x + yi hA(x y); x yi; x; y 2 X:

Из этого неравенства вытекает, что

4j RehA x; yij kx + yk2 + kx yk2 = 2 (kxk2 + kyk2):

Применяя это неравенство при kxk = kyk = 1 получаем j RehA x; yij :

Остается в этом неравенстве положить y = A x=k A xk (ясно, что kyk = 1) и учитывая, что число hA x; A xi = k A xk2 является вещественным, получить неравенство k A xkпри kxk = 1. По определению нормы линейного оператора из последнего неравенства

вытекает, что k A k . Так как ранее было показано, что k A k, то окончательно получаем, что

k A k = = supfjhA x; xij : x 2 X; kxk = 1g:

Критерий самосопряженности линейного оператора.

Предложение 6.9. Оператор A 2 L(X; X) является самосопряженным тогда и только тогда, когда hA x; xi 2 R для любого x 2 X.

Доказательство. Как было показано при доказательстве Предложения 6.5(1), если оператор A самосопряженный, то hA x; xi 2 R для любого x 2 X.

Докажем теперь обратное утверждение. На основании Предложения 6.3 оператор A может быть записан в виде A = AR +i AI , где AR и AI – самосопряженные операторы. Отсюда, для произвольного x 2 X, получаем, что hA x; xi = hAR x; xi + ihAI x; xi и, так как AR и AI – самосопряженные операторы, то hAR x; xi 2 R и hAI x; xi 2 R и, следовательно,

RehA x; xi = hAR x; xi; ImhA x; xi = hAI x; xi:

Теперь, если hA x; xi 2 R, то для любого x 2 X имеет место равенство hAI x; xi = 0. В силу Предложения 6.8 из этого вытекает, что k AI k = 0 и, следовательно, AI = O. Следовательно, A = AR и таким образом, A является самосопряженным.

Свойства собственных значений самосопряженных операторов. Начнем со следующего наблюдения: Любое собственное значение самосопряженного оператора A, действующего в эрмитовом пространстве X может быть представлено в виде= hA x; xi для некоторого элемента x 2 X с условием kxk = 1. В самом деле, если

– собственное значение для A, то существует собственный вектор w, соответствующий этому собственному значению, причем, по определению, w 6= 0. Итак, A w = w. Пусть

hx; xi = kxk = .

Пусть теперь A – произвольный самосопряженный оператор и пусть

m := inffhA x; xi : x 2 X; kxk = 1g; M := supfhA x; xi : x 2 X; kxk = 1g:

Тогда для любого собственного значения оператора A справедливо неравенство mM (эти неравенства имеют смысл так как собственные значения самосопряженного оператора вещественны).

Так как скалярное произведение hA x; xi представляет собой непрерывную функцию от x, то на замкнутом множестве fx 2 X : kxk = 1g эта функция ограничена и достигает своих точной верхней грани M и своей точной нижней грани m.

Неравенство m M вытекает из того, что каждое собственное значение самосопряженного оператора A представляется в виде = hA x; xi для некоторого элемента x 2 X с условием kxk = 1.

Теорема 6.10. Пусть A 2 L(X; X) – самосопряженный оператор. Тогда

(1)Если дополнительно hA x; xi 0 для любого элемента x 2 X, то число k A k является наибольшим собственным числом оператора A.

(2)Числа m и M, определенные выше, являются наименьшим и наибольшим собственными значениями оператора A.

Утверждение (1) Теоремы 6.10 целесообразно сравнить с утверждением, полученным в Примере 4.26. Доказательство Теоремы 6.10 удобно объединить с доказательством следующего утверждения.

Теорема 6.11. Пусть A 2 L(X; X) – самосопряженный оператор в n-мерном эрмитовом пространстве X. Тогда у оператора A существует n линейно независимых попарно ортогональных и единичных собственных векторов.

Доказательство Теорем 6.10 и 6.11. Начнем с доказательства первого утверждения Теоремы 6.10. Из Предложения 6.8 следует, что k A k = supkxk=1 jhA x; xij.

Так как hA x; xi 0 для любого элемента x 2 X, то k A k = supkxk=1hA x; xi. Так как скалярное произведение hA x; xi представляет собой непрерывную функцию от

x, то найдется элемент x0 2 X такой, что kx0k = 1 и hA x0; x0i = k A k. Пусть теперь 0 := k A k. Тогда k A k = hA x0; x0i = k A x0k. В самом деле, в силу выбора x0, k A k = hA x0; x0i jhA x0; x0ij k A x0k kx0k = k A x0k и k A x0k k A k kx0k = k A k. Отсюда вытекает, что

k(A 0 E)x0k2 = k A x0k2 2 0hA x0; x0i + 20kx0k2 = k A k2 2k A kk A k + k A k2 = 0:

Таким образом, (A 0 E)x0 = 0 или A x0 = 0x0 и, окончательно, 0 = k A k является собственным значением оператора A. То, что 0 – наибольшее собственное значение вытекает из утверждений, приведенных в начале раздела.

Докажем теперь второе утверждение Теоремы 6.10. Для этого нам достаточно проверить, что числа m и M являются собственными значениями оператора A. Первым делом проверим, что собственным значением является число M. Рассмотрим самосопряженный оператор B = A m E. Заметим, что

hB x; xi = hA x; xi mhx; xi 0

для любого x 2 X. Таким образом, оператор B удовлетворяет условиям первого утверждения теоремы. Следовательно, число k B k равно максимальному собственному значению оператора B. Отсюда

k B k = sup hB x; xi = sup hA x; xi m = M m:

kxk=1 kxk=1

Итак, число M m – собственное значение оператора B. Это означает, что существует ненулевой вектор x0 такой, что B x0 = (M m)x0. Так как B = A m E, то B x0 = A x0 mx0. Следовательно A x0 mx0 = Mx0 mx0 и, окончательно, A x0 = Mx0 и M является собственным значением оператора A.

Для того, чтобы проверить, что число m является собственным значением оператора A рассмотрим оператор A1 = A. Число m – это верхняя грань величины hA1 x; xi при kxk = 1. По доказанному выше, число m – собственное значение оператора A1 и, следовательно, число m – собственное значение оператора A.

Нам остается доказать Теорему 6.11. Пусть 1 – максимальное собственное значение оператора A и пусть e1 – соответствующий этому собственному значению собственный вектор, нормированный условием ke1k = 1 (в начале данного раздела были приведены аргументы, подтверждающие возможность такого выбора вектора e1.

Определим подпространство X1 X состоящее из всех элементов x 2 X, ортогональных e1. Так как e1 – собственный вектор, то X1 – A-инвариантное подпространство (проверка этого простого факта оставляется в качестве упражнения). Ограничение оператора A на подпространство X1 – это самосопряженный оператор, действующий на X1. У этого оператора также имеется максимальное собственное значение 2 и соответствующий собственный вектор e2 2 X1 такой, что ke2k = 1. Ясно, что e2 ? e1 (значок ? обозначает ортогональность). Пусть теперь подпространство X2 состоит из всех элементов x 2 X таких, что x ? e1 и x ? e2. В этом подпространстве мы найдем следующий собственный вектор e3. Повторив описанную процедуру еще n 3 раза мы построим требуемую системы взаимно ортогональный собственных векторов.

Замечание. В дальнейшем собственные значения 1; : : : ; n (рассматриваемые с учетом их кратности) самосопряженного оператора, действующего в n-мерном евклидовом пространстве, будем нумеровать в порядке убывания их значений: 1 2

n. В этом случае, соответствующие собственные векторы e1; : : : ; en можно выбрать так, что будут иметь место соотношения hej; eki = jk, j; k = 1; : : : ; n.

При доказательстве Теоремы 6.11 было неявным образом установлено следующее утверждение: если 1 n – собственные значения самосопряженного оператора A, то при k = 2; : : : ; n справедливо соотношение

hA x; xi

k = max hx; xi : x ? Spanfe1; : : : ; ek 1g :

На самом деле можно утверждать больше. А именно имеет место следующее важное свойство собственных значений самосопряженных операторов. При натуральном k n обозначим через Sk(X) совокупность всех k-мерных подпространств пространства X.

Теорема 6.12. Пусть A 2 L(X; X) – самосопряженный оператор и пусть 1

n – его собственные значения. Тогда, при k = 2; : : : ; n имеет место равенство

Доказательство. Как было установлено в Замечании, приведенном после доказательства Теоремы 6.11,

k = max hA x; xi;

x?Vk 1 hx; xi

где Vk 1 = Spanfe1; : : : ; ek 1g. Соответственно, для доказательства теоремы нам необходимо проверить, что для любого V 2 Sk 1(X) имеет место неравенство

(другим словами, надо показать, что требуемый в условии теоремы минимум достигается именно на подпространстве Vk 1). Будем доказывать соотношение (6.3). Пусть V?

– ортогональное дополнение подпространства V. При этом dim V? = n k + 1. Далее, dim V? + dim Vk = n k + 1 +k = n+ 1 > n и, следовательно, в подпространстве V? \Vk

(проверка первого равенства оставляется в качестве упражнения). Далее, так как ek, k = 1; : : : ; n – собственные векторы для A, соответствующие собственным значениям

1; : : : ; n, то

Спектральное разложение самосопряженных операторов. Пусть A – самосопряженный оператор, действующий в евклидовом пространстве X и имеющий собственные значения 1 n. Пусть e1; : : : ; en – ортонормированный базис в X, состоящий из собственных векторов оператора A, соответствующих собственным значениям 1; : : : ; n. Пусть x 2 X. Тогда, как было показано выше,

n

X

x = hx; ekiek

k=1

и, так как A ek = kek при k = 1; : : : ; n, то

n

X

A x = khx; ekiek:

k=1

Определение. Оператор Pk, k = 1; : : : ; n, определенный соотношением

Pk x = hx; ekiek;

назовем проектором на одномерное подпространство, порожденное вектором ek.

Упражнение. Проверить, что оператор Pk, k = 1; : : : ; n, является самосопряженным линейным оператором.

Таким образом, проекторы обладают следующими свойствами

(1)P2k = Pk и, следовательно, P`k = P для любого ` 2 N;

(2)Pj Pk = O при k 6= j.

(3)Каждый проектор Pk, k = 1; : : : ; n, коммутирует с любым оператором, с которым коммутирует A.

Далее, для элементов x 2 X и A x по определению проектора получаем

Из этих равенств, во-первых, следует, что

n

X

Pk = E :

k=1

Во-вторых, из равенств (6.5) мы получаем так называемое спектрально разложение са-

мосопряженного оператора

n

X

A = k Pk :

k=1

Заметим, что из свойств (1) и (2) проекторов вытекает, что для любого натурального

` имеет место

n

X

A` = `k Pk :

k=1

Рассмотрим теперь произвольный полином P (x) = arxr + +a1x+a0 и, по определению положим P (A) = ar Ar + + a1 A +a0 E. Используя спектральное разложение для оператора A и приводя подобные слагаемые получаем, что P (A) = Pnk=1 P ( k) Pk.

Имеет место следующее утверждение, доказательство которого непосредственно вытекает из определения спектрального разложения и из утверждения Теоремы 4.13 о том, что собственные числа линейного оператора являются корнями его характеристического многочлена.