уравнении (9.3) для упрощения обозначений)

det A

j;k=1

Можно заметить, что если x = (x01; : : : ; x0n)> удовлетворяет некоторому уравнению центральной гиперповерхности второго порядка, то и x = ( x01; : : : ; x0n)> удовлетворяет этому же уравнению. Это свойство симметрии и объясняет название элемента xe центром.

2. Как было установлено выше (см. Предложения 6.18, 6.16 и 6.17) для квадратичной формы A(x; x) существует ортонормированный базис e0 = fe01; : : : ; e0ng в котором

A(x; x) = Pn jx0j, где (x01; : : : ; x0n) = [x]e0 – координатный столбец вектора x относи-

j=1

тельно e0, а 1; : : : ; n – собственные числа (самосопряженного) оператора A, матрица которого в ортонормированном базисе совпадает с матрицей квадратичной формы A.

При переходе от ортонормированного базиса e = fe1; : : : ; eng к ортонормированному базису e0 (напомним, что такой переход осуществляется при помощи ортогонального преобразования) квадратичные и линейные члены уравнения (9.1) гиперповерхности второго порядка преобразуются в соответствии с формулой (9.2) независимо друг от друга. Следовательно, в базисе e0 уравнение (9.1) примет вид

nn

где (b01; : : : ; b0n)> = S 1b, а S – соответствующая ортогональная матрица перехода от базиса e к базису e0.

Определение. Преобразование уравнения гиперповерхности второго порядка от вида (9.1) к виду (9.5) традиционно называется стандартным упрощением уравнения (9.1) (более подробно – стандартным упрощением при помощи ортогонального преобразования).

9.4. Классификация уравнений центральных гиперповерхностей второго порядка

Если уравнение (9.1) является уравнением центральной гиперповерхности второго порядка, то для максимально возможного упрощения уравнения этой поверхности выполним последовательно два действия. Во-первых, найдем решение xe соответствующих уравнений центра и совершим параллельный перенос x = x0 + xe. При этом уравнение примет вид (9.4) (всюду в дальнейшем мы будем указывать применяемые преобразования и сразу опускать “штрихи” для упрощения обозначений). Далее, применяя стандартное упрощение при помощи ортогонального преобразования приводим уравнение вида (9.4) к виду

где все коэффициенты 1; : : : ; n отличны от нуля. В самом деле, матрица квадратичной части уравнения (9.1) в базисе, в котором уравнение гиперповерхности второго порядка имеет вид (9.6), имеет диагональный вид Diagf 1; : : : ; ng и, так как величина det A – инвариант уравнения (9.1), то det A = 1 n. Остается заметить, что так как рассматриваемое уравнение является уравнением центральной гиперповерхности второго порядка, то det A 6= 0.

Предположим, что j > 0 при j = 1; : : : ; p и j < 0 при j = p + 1; : : : ; n. При этом 1 p n – некоторое число, являющееся инвариантом квадратичной части уравнения (9.1). Выполнения этого предположения всегда можно добиться перестановкой векторов базиса, в котором уравнение (9.1) имеет вид (9.6).

Пусть теперь = sgn det B= det A , = det A= det B и пусть при k = 1; : : : ; n

>

p

:j kk

Используя эти обозначения можно переписать уравнение (9.6) в виде (мы снова сохраняем обозначение xk, k = 1; : : : ; n для преобразованных координат)

На основании уравнения (9.7) построим следующую классификацию уравнений центральных гиперповерхностей второго порядка. Пусть уравнение гиперповерхности второго порядка в некотором базисе имеет вид (9.7).

1:p = n, а = 1 или p = 0, а = 1. В этом случае уравнение (9.7) назы-

вается уравнением (n 1)-мерного эллипсоида. Если при этом 1 = = n = R, то соответствующее уравнением называется уравнением (n 1)-мерной сферы.

2:p = 0 и = 1 или p = n и = 1. В этом случае уравнение (9.7) называется

уравнением мнимой поверхности или уравнением мнимого эллипсоида..

3:0 < p < n и 6= 0. В этом случае соответствующее уравнение (9.7) называется

уравнением гиперболоида.

4:= 0. В этом случае уравнение (9.7) называется уравнением вырожденной поверхности. В частности, при p = 0 или p = n уравнение (9.7) называется уравнением вырожденного эллипсоида.

9.5.Классификация уравнений нецентральных гиперповерхностей второго

порядка

Пусть теперь уравнение (9.1) – это уравнение нецентральной гиперповерхности второго порядка. В этом случае det A = 0. Упрощение такого уравнения начнем со стандартного упрощения при помощи ортогонального преобразования. При этом уравнение (9.1) приведем к виду (9.5). Так как 1 n = det A = 0 (здесь k, k = 1; : : : ; n – коэффициенты при квадратах координат в уравнении (9.5)), то по крайней мере один коэффициент k равен нулю. Предположим (переставляя если надо базисные векторы), что 1 6= 0; : : : ; p 6= 0 и, что p+1 = = n = 0 при некотором p, 1 p < n. В этом случае перепишем уравнение (9.5) в виде

Выделяя полные квадраты по переменным преобразуем последнее уравнение следующим образом

Пусть теперь xk = x0k + b0k= k при k = 1 : : : p и xk = x0k при k = p + 1 : : : n (теперь символы xk без “штрихов” обозначают новые координаты, отличные от первоначальных,

это сделано для упрощения обозначений и, так как все описанные шаги упрощения

исходного уравнений нецентральной гиперповерхности второго порядка осуществляются строго последовательно, то путаницы в обозначениях не возникает) последнее уравнение можно записать в виде

pn

при котором первые p базисных векторов не меняются, а базисные векторы ep+1; : : : ; en

равны нулю, то ничего делать не нужно – достаточно просто положить = 0. Пусть

образом представлен в виде f(y) = hh; yi, где y 2 Y – произвольный, а h 2 Y – (однозначно определенный функционалом f) фиксированный вектор. Пусть базисный

вектор e0n := h=khk и пусть e0p+1; : : : ; e0n 1 – векторы, дополняющие e0n до ортонормированного базиса в пространстве Y. Тогда h = e0n, где = khk и, для любого y 2 Y

f(y) = hh; yi = he0n; yi = yn;

где yp+1; : : : ; yn – координаты вектора y в базисе fe0p+1; : : : ; e0ng.

При переходе от ортонормированного базиса fe1; : : : ; eng, в котором уравнение (9.1) имеет вид (9.8), к базису fe01; : : : ; e0ng, описанному выше, первые p квадратичных членов уравнения не изменятся (а других квадратичных членов в уравнении (9.8) нет), а (независимо меняющиеся) линейные члены преобразуются так, что для вектора y =

xp+1ep+1 + + xnen

n

X

b0kxk = f(y) = yn:

k=p+1

Таким образом, уравнение (9.8) может быть преобразовано к следующему виду (в котором мы опять меняем обозначения координат на x1; : : : ; xn для простоты записи):

p

X

k=1

где = c0 (из формулы (9.8)). На основании уравнения (9.9) построим следующую классификацию уравнений нецентральных гиперповерхностей второго порядка.

1: 6= 0 и p = n 1. Группу младших членов уравнения (9.9) можно преобразовать следующим образом

2 xn + = 2 xn + 2

и, переходя к новой координате xn := xn =(2 ) (этот переход осуществляется параллельным переносом), получаем окончательно упрощенный вид уравнения

1x2 + + n 1x2 + 2 xn = 0:

1 n 1

Уравнение такого вида называется уравнением параболоида.

2: = 0, а p < n. В этом случае уравнение (9.1) запишется в виде

1x21 + + px2p + = 0:

Это уравнение в подпространстве Spanfe1; : : : ; epg является каноническим уравнением центральной гиперповерхности второго порядка. Таким образом, исходное уравнение (9.1) можно назвать уравнением центрального цилиндра.

Используя геометрический язык, можно сказать, что в рассматриваемом случае уравнение (9.1) задает в подпространстве Spanfe1; : : : ; epg пространства X центральную гиперповерхность и, более того, является каноническим уравнением этой гиперповерхности. Таким образом, исходная поверхность является центральным цилиндром, основанием которого является поверхность , а образующими служат гиперплоскости, параллельные Spanfep+1; : : : ; eng.

3: 6= 0 и p < n 1. В этом случае уравнение (9.9) имеет вид

1x21 + + px2p + 2 xn = 0:

В подпространстве Spanfe1; : : : ; ep; eng пространства X это уравнение является уравнением параболоида. Соответственно, исходное уравнение можно назвать уравнением параболоидального цилиндра.

Пример 9.3. Рассмотрим уравнение

p p p p

12 x2 + 12 y2 + 12 z2 + 32 u2 + xz + 3yu 2x 2 3y + 2z + 2u 2v + 1 = 0 (9.10)

Найдем собственные числа матрицы A. Решая уравнение det(A E) = 0 получаем:

Далее находим ортонормированный базис, состоящий из соответствующих собственных векторов

Теперь мы готовы преобразовать (упростить) уравнение (9.10) при помощи ортогонального преобразования с матрицей S. Имеем

S 1AS = Diagf1; 2; 0; 0; 0g; S 1b = (0; 0; 1; 2; 1)>;