MAiu9

tO^KA RAZRYWA a R FUNKCII f : E → R NAZYWAETSQ TO^KOJ USTRANIMOGO RAZRYWA, ESLI SU]ESTWUET NEPRERYWNAQ FUNKCIQ f¯: E {a} → R TAKAQ, ^TO

oTMETIM, ^TO IMEETSQ ^ETYRE WARIANTA SU]ESTWOWANIQ I NESU]ESTWOWANIQ PREDELOW f(a − 0) I f(a + 0):

1)a — NE PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA E∩(−∞; a) ILI SOOTWETSTWENNO E∩(a; +∞); a — PREDELXNAQ TO^KA, PRI \TOM

2)PREDEL NE SU]ESTWUET,

3)PREDEL BESKONE^EN ILI

4)PREDEL KONE^EN.

tO^KU RAZRYWA a R FUNKCII f : E → R NAZYWA@T TO^KOJ RAZRYWA 1–GO RODA, ESLI PREDELY f(a − 0) I f(a + 0) SU]ESTWU@T I KONE^NY. oSTALXNYE TO^KI RAZRYWA NAZYWA@T TO^KAMI RAZRYWA 2–GO RODA. tAKIM OBRAZOM, TO^KA RAZRYWA a R FUNKCII f : E → R ESTX TO^KA RAZRYWA 2–GO RODA, ESLI PREDEL f(a − 0) ILI PREDEL f(a + 0), ILI ONI OBA NE SU]ESTWU@T ILI BESKONE^NY.

iZ OPREDELENIJ SLEDUET, ^TO TO^KA USTRANIMOGO RAZRYWA ESTX TO^KA RAZRYWA 1–GO RODA.

tO^KU RAZRYWA 2–GO RODA a R FUNKCII f : E → R NAZYWA@T TO^KOJ BESKO- NE^NOGO RAZRYWA, ESLI ODIN IZ PREDELOW f(a − 0), f(a + 0) BESKONE^EN, A WTOROJ KONE^EN ILI BESKONE^EN.

KOTORAQ NAZYWAETSQ FUNKCIEJ dIRIHLE, RAZRYWNA WO WSEH TO^KAH, PRI^EM WSE ONI TO^KI NEBESKONE^NOGO RAZRYWA 2–GO RODA. dEJSTWITELXNO, NA L@BOM INTERWALE ESTX KAK RACIONALXNYE, TAK I IRRACIONALXNYE ^ISLA. pO\TOMU W L@BOJ TO^KE a PREDELY D(a − 0) I D(a + 0) NE SU]ESTWU@T.

6. rASSMOTRIM FUNKCI@ rIMANA

tAKIM OBRAZOM, DLQ PROIZWOLXNOGO ε > 0, WYBIRAQ N N TAK, ^TOBY 1/N < ε,

rIMANA NEPRERYWNA W L@BOJ IRRACIONALXNOJ TO^KE I IMEET USTRANIMYJ RAZRYW W L@BOJ RACIONALXNOJ TO^KE.

zADA^A 1. dLQ KAVDOGO IZ 4 TIPOW RAZRYWOW PRIWEDITE PRIMER FUNKCII S TAKIM RAZRYWOM W WIDE RISUNKA EE GRAFIKA.

51

18 tEOREMY O NEPRERYWNOSTI

sM. [z: STR. 159–166].

18.1pONQTIE RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI

fUNKCIQ f : E → R RAWNOMERNO NEPRERYWNA, ESLI

ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : x1, x2 E |x1 −x2| < δ |f(x1) −f(x2)| < ε . (1)

oTLI^IE \TOGO PONQTIQ OT PONQTIQ NEPRERYWNOSTI NA E ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO δ W (1) NE ZAWISIT NI OT x1, NI OT x2. tOGDA KAK: f NEPRERYWNA NA E

x0 E ε > 0 δ = δ(ε, x0) > 0 : x E |x−x0| < δ |f(x)−f(x0)| < ε .

T.E. δ ZAWISIT OT x0.

tEOREMA 1. fUNKCIQ f : E → R, RAWNOMERNO NEPRERYWNAQ NA E, NEPRERYWNA NA E.

dLQ DOK–WA TOGO, ^TO DLQ DANNYH FUNKCIJ USLOWIE (1) NE WYPOLNQETSQ, ZAPI[EM EGO OTRICANIE:

ε > 0 δ = δ(ε) > 0 x1, x2 E : |x1 − x2| < δ, |f(x1) − f(x2)| > ε. (2)

dLQ KAVDOJ IZ TREH FUNKCIJ f NAJDEM DWE TAKIE POSLEDOWATELXNOSTI {xn} I {zn}

tOGDA USLOWIE (2) BUDET WYPOLNQTXSQ PRI ε = 1, A ZNA^IT, UKAZANNYE FUNKCII NE RAWNOMERNO NEPRERYWNY NA E.

w KA^ESTWE POSLEDOWATELXNOSTEJ {xn} I {zn} DLQ FUNKCIJ 1)—3) MOVNO WY- BRATX:

tEOREMA 2 (kANTORA O RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI). fUNKCIQ, NEPRERYWNAQ NA KOMPAKTE, RAWNOMERNO NEPRERYWNA NA NEM.

dOK–WO. pUSTX K R — KOMPAKT, f : K → R — NEPRERYWNAQ NA K FUNKCIQ. wYBEREM PROIZWOLXNOE ε > 0. w SILU NEPRERYWNOSTI f NA K

52

18.2kRITERIJ NEPRERYWNOSTI MONOTONNOJ FUNKCII

tEOREMA 3 (O TO^KAH RAZRYWA MONOTONNOJ FUNKCII). mONOTONNAQ FUNKCIQ MOVET IMETX RAZRYWY TOLXKO 1–GO RODA.

dOK–WO. pUSTX c — TO^KA RAZRYWA NEUBYWA@]EJ FUNKCII f : E → R. pO OPREDELENI@ TO^KI RAZRYWA c — PREDELXNAQ TO^KA I LEWOJ E ∩ (−∞; c), I PRA- WOJ E ∩ (c; +∞) ^ASTI OBLASTI E OPREDELENIQ f. w ^ASTNOSTI, E ∩ (c; +∞) —

TEOREME O TO^NOJ

GRANI SU]ESTWUET b = sup f E ∩ (−∞; c) . pO OPREDELENI@ TO^NOJ WERHNEJ GRA-

I b, POLU^AEM b1 = f(c − δ) 6 f(x) 6 b DLQ L@BOGO x E ∩ (c − δ, c], A ZNA^IT, 0 6 b − f(x) 6 b − b1 < ε. pO OPREDELENI@ LEWOGO PREDELA b = f(c − 0).

aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ SU]ESTWOWANIE KONE^NOGO PREDELA f(c + 0) I RASSMATRIWAETSQ SLU^AJ NEWOZRASTA@]EJ FUNKCII. tAKIM OBRAZOM, c — TO^KA RAZRYWA 1–GO RODA W SLU^AE I NEUBYWA@]EJ, I NEWOZRASTA@]EJ FUNKCII f.

tEOREMA 4 (KRITERIJ NEPRERYWNOSTI MONOTONNOJ FUNKCII). pUSTX f : [a, b] → R — MONOTONNAQ FUNKCIQ. fUNKCIQ f NEPRERYWNA NA OTREZKE [a, b] OBRAZ f([a, b]) OTREZKA SAM QWLQETSQ OTREZKOM S KONCAMI f(a) I f(b).

dOK–WO. ” ”: WWIDU MONOTONNOSTI f WSE ZNA^ENIQ, KOTORYE FUNKCIQ PRINIMAET NA OTREZKE [a, b], LEVAT MEVDU ZNA^ENIQMI f(a) I f(b), KOTORYE ONA PRINIMAET W KONCAH OTREZKA. sOGLASNO TEOREME O PROMEVUTO^NOM ZNA^ENII ONA OBQZANA PRI - NIMATX I WSE ZNA^ENIQ MEVDU f(a) I f(b). tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWO ZNA^ENIJ FUNKCII QWLQETSQ OTREZKOM S KONCAMI f(a) I f(b).

” ”: IZ OPREDELENIQ SLEDUET: FUNKCIQ f NEPRERYWNA NA OTREZKE [a, b]

f(c) = f(c + 0) PRI c [a, b) I f(c) = f(c − 0) PRI c (a, b].

53

pUSTX f — NEUBYWA@]AQ FUNKCIQ S OBLASTX@ OPREDELENIQ [a, b]. pRI c (a, b]

OGRANI^EN SWERHU ZNA^ENIEM

sLEDOWATELXNO, PRI f(c−0) < f(c) INTERWAL (f(c−0), f(c)) NE LEVIT W OBRAZE f([a, b]), A \TO PROTIWORE^IT USLOWI@. pO\TOMU f(c − 0) = f(c).

aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ RAWENSTWO f(c) = f(c+ 0) PRI c [a, b) I RAZBIRAETSQ SLU^AJ NEWOZRASTA@]EJ FUNKCII. .

18.3o NEPRERYWNOSTI OBRATNOJ FUNKCII

tEOREMA 5 (O SU]ESTWOWANII I NEPRERYWNOSTI OBRATNOJ FUNKCII).

1) eSLI FUNKCIQ f : E → R — STROGO MONOTONNA NA MNOVESTWE E R, TO f IMEET OBRATNU@ FUNKCI@ f−1 : Y → E, OPREDELENNU@ NA MNOVESTWE Y = f(E) ZNA^ENIJ FUNKCII f. fUNKCIQ f−1 MONOTONNA I IMEET NA Y TOT VE WID MONOTONNOSTI, KAKOJ IMEET FUNKCIQ f NA MNOVESTWE E.

2) eSLI, KROME TOGO, E ESTX PROMEVUTOK, A FUNKCIQ f NEPRERYWNA NA NEM, TO MNOVESTWO Y ESTX PROMEVUTOK, I FUNKCIQ f−1 NEPRERYWNA NA Y .

tAKIM OBRAZOM, OTOBRAVENIE f W RAZLI^NYH TO^KAH PRINIMAET RAZLI^NYE ZNA^E - NIQ, T.E. ONO IN_EKTIWNO. sLEDOWATELXNO, f BIEKTIWNO, A ZNA^IT, OPREDELENO OBRAT- NOE OTOBRAVENIE f−1 : Y → E, ZADAWAEMOE FORMULOJ x = f−1(y), ESLI y = f(x).

sOPOSTOWLQQ OPREDELENIE f−1 S SOOTNO[ENIEM (4), POLU^AEM SOOTNO[ENIE

y1 Y y2 Y f−1(y1) < f−1(y2) y1 < y2 ,

OZNA^A@]EE, ^TO FUNKCIQ f−1 WOZRASTAET NA OBLASTI SWOEGO OPREDELENIQ .

NOSTX@ LEVIT W Y , A f−1 — MONOTONNAQ NA \TOM OTREZKE FUNKCIQ, OBRAZ KOTOROJ

QWLQETSQ OTREZOK [x1, x2], PRI^EM x1, x2 — OBRAZY KONCOW OTREZKA [y1, y2]. pO KRI- TERI@ NEPRERYWNOSTI MONOTONNOJ FUNKCII FUNKCIQ f−1 NEPRERYWNA NA OTREZKE

[y1, y2].

pOSKOLXKU y1, y2 — PROIZWOLXNYE TO^KI IZ Y , TO Y — PROMEVUTOK, A FUNKCIQ f−1 NEPRERYWNA W KAVDOJ TO^KE y IZ Y . dEJSTWITELXNO, TAK KAK PROMEVUTKAMI

QWLQ@TSQ TOLXKO INTERWALY, POLUINTERWALY I OTREZKI (SM. ZADA^U 2 IZ §4), TO LIBO y — WNUTRENNQQ TO^KA PROMEVUTKA Y , LIBO Y ESTX POLUINTERWAL ILI OTREZOK,

54

A y — EGO KONCEWAQ TO^KA. w PERWOM SLU^AE SU]ESTWU@T TO^KI y1 I y2 IZ Y SLEWA I SPRAWA OT y: y1 < y < y2. tOGDA IZ NEPRERYWNOSTI FUNKCII f−1 NA OTREZKE [y1, y2]

(SM. PREDYDU]IJ ABZAC) SLEDUET NEPRERYWNOSTX \TOJ FUNKCII W TO^KE y. eSLI y — KONCEWAQ TO^KA PROMEVUTKA Y , TO RASSMATRIWAQ KAKU@–LIBO DRUGU@ TO^KU

pRIMER 5. aNALOGI^NO, OGRANI^ENIE FUNKCII y = cos x NA OTREZOK [0, π] ESTX UBYWA@]AQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ, KOTORAQ IMEET OBRATNU@ FUNKCI@ x = arccos y, OPREDELENNU@, NEPRERYWNU@ I UBYWA@]U@ NA OTREZKE [−1, 1].

OBRATNU@ FUNKCI@ x = arctg y, OPREDELENNU@, NEPRERYWNU@ I WOZRASTA@]U@ NA WSEJ PRQMOJ.

zADA^A 1. pRIWEDITE PRIMER NEPRERYWNOJ NEMONOTONNOJ FUNKCII, IME@]EJ OBRATNU@.

19 pROIZWODNAQ FUNKCII

sM. [z: STR. 170–187].

19.1pROIZWODNAQ I EE MEHANI^ESKIJ SMYSL

pRIMER 1 (cKOROSTX DWIVENIQ). rASSMOTRIM PRQMOLINEJNOE DWIVENIE TO^E^- NOJ MASSY. pUSTX FUNKCIQ s = f(t) OPISYWAET ZAWISIMOSTX OT WREMENI t RASSTOQ- NIQ s, PROJDENNOGO TO^KOJ (RIS. 18), PRI^EM W MOMENT WREMENI t0 TO^KA ZANIMAET POLOVENIE M0 I RASPOLAGAETSQ NA RASSTOQNII s0 = f(t0) OT O. ~EREZ PROMEVUTOK WREMENI t = t1 − t0 TO^KA OKAVETSQ W POLOVENII M1, A PROJDENNOE RASSTOQNIE BUDET s = s1 − s0, GDE s1 = f(t1). w DANNOM SLU^AE RAZNOSTNOE OTNO[ENIE

rIS. 18

55

RAWNO SREDNEJ SKOROSTI vSR, S KOTOROJ DOLVNA BYLA BY RAWNOMERNO DWIGATXSQ TO^KA

BUDET ODINAKOWO DLQ L@BYH ZAWISIMOSTEJ , GRAFIKI KOTORYH PROHODQT ^EREZ TO^KI (t0; s0) I (t1; s1) (SM. RIS. 18, SPLO[NAQ, [TRIHOWAQ I [TRIHPUNKTIRNYE KRIWYE).

~TOBY POLU^ITX BOLEE TO^NOE PREDSTAWLENIE O SKOROSTI TO^KI W MOMENT WRE -

MENI t0, SLEDUET UMENX[ATX PROMEVUTOK WREMENI t I W PREDELE USTREMITX EGO K NUL@ (Δt → 0). tOGDA PREDEL (ESLI, KONE^NO, ON SU]ESTWUET)

ESTESTWENNO NAZWATX MGNOWENNOJ SKOROSTX@ TO^KI W MOMENT WREMENI t0. .

oBOZNA^ENIQ: f0(a), y0(a), yx0 , dy/dx ILI PROSTO y0.

pRIMER 2. y = xs, GDE s — L@BOE OTLI^NOE OT NULQ DEJSTWITELXNOE ^ISLO . oBLASTX E OPREDELENIQ \TOJ FUNKCII ZAWISIT OT ZNA^ENIQ s:

1)E = R PRI s = nk > 0 I NE^ETNOM n (nk — NESOKRATIMAQ DROBX);

2)E = {x 6= 0} PRI s = nk < 0 I NE^ETNOM n;

3)E = {x > 0} PRI s = nk > 0 I ^ETNOM n;

4)E = {x > 0} W OSTALXNYH SLU^AQH.

pRI x 6= 0 W OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII IMEEM

mEHANI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ FUNKCII s = f(t), OPISYWA@]EJ DWI-

VENIE TO^KI W ZAWISIMOSTI OT WREMENI t, SOSTOIT W TOM, ^TO ZNA^ENIE PROIZWODNOJ f0(t0) RAWNO MGNOWENNOJ SKOROSTI W MOMENT WREMENI t0.

56

19.2gEOMETRI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ

pUSTX GRAFIK FUNKCII y = f(x) W OKRESTNOSTI TO^KI a IMEET WID, POKAZANNYJ

SEKU]EJ.

rIS. 19

eSLI SU]ESTWUET PREDELXNOE POLOVENIE SEKU]EJ MM1, KOGDA TO^KA M1, PERE- ME]AQSX WDOLX KRIWOJ, STREMITSQ K TO^KE M, TO PRQMU@, K KOTOROJ STREMITSQ SEKU]AQ, NAZYWA@T KASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII y = f(x) W TO^KE M.

nAJDEM UGLOWOJ KO\FFICIENT KASATELXNOJ K GRAFIKU y = f(x) W TO^KE

M a; f(a) . iZ RIS. 19 SLEDUET, ^TO UGLOWOJ KO\FFICIENT SEKU]EJ MM1 SOWPADAET

S RAZNOSTNYM OTNO[ENIEM, T.E. tg β = y/ x. dLQ POLU^ENIQ UGLOWOGO KO\FFICIENTA KASATELXNOJ NUVNO PEREJTI K PREDELU W \TOM RAZNOSTNOM OTNO[ENII PRI x → 0. tAK KAK PRI \TOM β → α, TO W SILU NEPRERYWNOSTI FUNKCII tg x UGLOWOJ

KO\FFICIENT KASATELXNOJ RAWEN

gEOMETRI^ESKIJ SMYSL: PROIZWODNAQ f0(a) RAWNA UGLOWOMU KO\FFICIENTU KA-

SATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII y = f(x) W TO^KE M a; f(a) .

uRAWNENIE KASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII: y − f(a) = f0(a)(x − a).

pRQMU@, PROHODQ]U@ ^EREZ TO^KU M PERPENDIKULQRNO KASATELXNOJ, NAZYWA@T

NORMALX@ K GRAFIKU FUNKCII y = f(x) W TO^KE M (NA RIS. 19 \TO PRQMAQ NN0). uRAWENIE NORMALI IMEET WID y −f(a) = −(x−a)/f0(a), ESLI f0(a) 6= 0, I WID x = a,

ESLI f0(a) = 0.

pUSTX FUNKCIQ y = f(x) NE OPREDELENA NA (a − δ, a) DLQ NEKOTOROGO δ. tOGDA PRI WY^ISLENII PREDELA RAZNOSTNOGO OTNO[ENIQ y/ x PRIHODITSQ OGRANI^ITXSQ PRIBLIVENIEM x K NUL@ TOLXKO SPRAWA. pRI SU]ESTWOWANII TAKOGO ODNOSTORONNEGO PREDELA EGO NAZYWA@T ODNOSTORONNEJ PROIZWODNOJ W TO^KE a SPRAWA

I OBOZNA^A@T f+0 (a). aNALOGI^NO OPREDELQETSQ ODNOSTORONNQQ PROIZWODNAQ W TO^KE a SLEWA f−0 (a). w TAKIH SITUACIQH (RIS. 20 I RIS. 21) W TO^KE a GRAFIK FUNK-

CII IMEET ODNOSTORONN@@ KASATELXNU@, T.E. PREDELXNOE POLOVENIE SEKU]EJ SU]ESTWUET TOLXKO, KOGDA TO^KA M1 NAHODITSQ SPRAWA (SLEWA) OT TO^KI M.

57

rIS. 20 rIS. 21 rIS. 22

mOVET OKAZATXSQ, ^TO W NEKOTOROJ WNUTRENNEJ TO^KE x = a TOGO PROMEVUTKA, W KOTOROM OPREDELENA I NEPRERYWNA FUNKCIQ y = f(x), SU]ESTWU@T NE RAWNYE MEVDU SOBOJ ODNOSTORONNIE PREDELY RAZNOSTNOGO OTNO[ENIQ y/ x. iH TOVE NAZYWA@T ODNOSTORONNIMI PROIZWODNYMI FUNKCII W TO^KE a. w \TOM SLU^AE W SOOTWETSTWU- @]EJ TO^KE GRAFIKA FUNKCII BUDUT SU]ESTWOWATX ODNOSTORONNIE KASATELXNYE ,

PRI \TOM OBRAZU@]IE, WOOB]E GOWORQ, NEKOTORYJ UGOL (RIS. 22). tO^KU M a, f(a)

NAZYWA@T UGLOWOJ TO^KOJ (ILI TO^KOJ IZLOMA) GRAFIKA FUNKCII.

zADA^A 1. pRIWEDITE PRIMER \LEMENTARNOJ FUNKCII S TO^KOJ IZLOMA .

oDIN ILI OBA ODNOSTORONNIH PREDELA RAZNOSTNOGO OTNO[ENIQ y/ x W TO^- KE a MOGUT BYTX BESKONE^NYMI. tOGDA GOWORQT O BESKONE^NOJ ODNOSTORONNEJ PROIZWODNOJ FUNKCII y = f(x) SLEWA ILI SPRAWA W TO^KE a (W OTLI^IE OT RAS-

SMOTRENNYH WY[E SLU^AEW KONE^NOJ ODNOSTORONNEJ PROIZWODNOJ). dLQ NE-

PRERYWNOJ FUNKCII BESKONE^NAQ ODNOSTORONNQQ PROIZWODNAQ MOVET BYTX TOLXKO OPREDELENNOGO ZNAKA (LIBO +∞, LIBO −∞). eSLI ZNAKI BESKONE^NYH ODNOSTORON-

NIH PROIZWODNYH FUNKCII I SLEWA I SPRAWA W NEKOTOROJ TO^KE a SOWPADA@T, TO W \TOJ TO^KE DANNAQ FUNKCIQ IMEET BESKONE^NU@ PROIZWODNU@ OPREDELENNOGO ZNAKA (POLOVITELXNU@ NA RIS. 23 I OTRICATELXNU@ NA RIS. 24). w \TOM SLU^AE KASATELXNAQ K GRAFIKU FUNKCII W SOOTWETSTWU@]EJ TO^KE SU]ESTWUET I QWLQETSQ WERTIKALXNOJ. eSLI VE ZNAKI BESKONE^NYH ODNOSTORONNIH PROIZWODNYH RAZLI^ -

NY, TO SOOTWETSTWU@]U@ TO^KU GRAFIKA FUNKCII NAZYWA@T TO^KOJ ZAOSTRENIQ

(TO^KOJ WOZWRATA) (RIS. 25 I RIS. 26).

zADA^A 2. pRIWEDITE PRIMERY \LEMENTARNYH FUNKCIJ A) S BESKONE^NOJ PRO- IZWODNOJ I B) S TO^KOJ WOZWRATA.

pRIMER 3. rASSMOTRIM FUNKCI@

58

oNA NEPRERYWNA W L@BOJ TO^KE x R, NO NE IMEET W TO^KE x = 0 DAVE ODNOSTORON- NIH PROIZWODNYH. dEJSTWITELXNO, RAZNOSTNOE OTNO[ENIE W \TOJ TO^KE

NE STREMITSQ NI K KAKOMU PREDELU PRI x → 0. sEKU]AQ OM1 (RIS. 27), ISHODQ]AQ IZ NA^ALA KOORDINAT, NE IMEET PREDELXNOGO POLOVENIQ PRI STREMLENII TO^KI M1 K TO^KE O, TAK ^TO W NA^ALE KOORDINAT NE SU]ESTWUET K KRIWOJ KASATELXNOJ (HOTQ BY ODNOSTORONNEJ).

rIS. 27

19.3dIFFERENCIRUEMOSTX FUNKCIJ

pUSTX a E — PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA E R. fUNKCI@ f : E → R NA- ZYWA@T DIFFERENCIRUEMOJ W TO^KE a, ESLI PRIRA]ENIE \TOJ FUNKCII W \TOJ TO^KE MOVNO PREDSTAWITX W WIDE SUMMY DWUH SLAGAEMYH , PERWOE — LINEJNOE OT-

GDE L — ^ISLO, NE ZAWISQ]EE OT x, a + x E, A FUNKCIQ α(Δx) QWLQETSQ

f NAZYWA@T DIFFERENCIALOM FUNKCII f I OBOZNA^A@T ^EREZ df ILI df(a),

dy(a, x) I T.P.

zAME^ANIE. eSLI f(x) = x, TO dx = x. pO\TOMU DIFFERENCIAL ARGUMENTA x OTOVDESTWLQ@T S EGO PRIRA]ENIEM x, T.E. POLAGA@T dx = x.

rAWNOSILXNOSTX DIFFERENCIRUEMOSTI FUNKCII W TO^KE I SU]ESTWOWANIQ W \TOJ TO^KE KONE^NOJ PROIZWODNOJ DANNOJ FUNKCII USTANAWLIWAET SLEDU@]AQ TEOREMA .

tEOREMA 1. 1) dLQ DIFFERENCIRUEMOSTI FUNKCII y = f(x) W TO^KE a NEOBHODI- MO I DOSTATO^NO, ^TOBY ONA IMELA W \TOJ TO^KE KONE^NU@ PROIZWODNU@ (USLOWIE DIFFERENCIRUEMOSTI FUNKCII).

2) df(a) = f0(a)dx.

dOK–WO. 1) n E O B H O D I M O S T X. eSLI FUNKCIQ DIFFERENCIRUEMA W TO^KE a, T.E. SPRAWEDLIWO (1), TO PRI x 6= 0 POLU^IM f(a)/ x = L + α(Δx). oTS@DA

59

SLEDUET, ^TO SU]ESTWUET KONE^NYJ PREDEL

T.E. SU]ESTWUET KONE^NAQ PROIZWODNAQ f0(a) I L = f0(a).

d O S T A T O ^ N O S T X. pUSTX FUNKCIQ y = f(x) IMEET W TO^KE a KONE^NU@ PRO- IZWODU@ f0(a), T.E. SU]ESTWUET KONE^NYJ PREDEL

pO TEOREME O SWQZI FUNKCII, EE PREDELA I B.M. MOVNO NAPISATX f(a)/ x = f0(a)+

GDE α(Δx) — B.M. PRI oTS@DA f(a) = f0(a)Δx+ α(Δx)Δx, ^TO

W SILU OPREDELENIQ OZNA^AET DIFFERENCIRUEMOSTX FUNKCII y = f(x) W TO^KE a. 2) w HODE DOKAZATELXSTWA 1) USTANOWLENO, ^TO DLQ DIFFERENCIRUEMOJ W TO^KE a

FUNKCII y = f(x) WYPOLNENO RAWENSTWO L = f0(a). pO\TOMU df(a) = f0(a)dx. .

zAME^ANIE. fOMULA dy = y0dx OB_QSNQET, PO^EMU DLQ PROIZWODNOJ ISPOLXZU- ETSQ OBOZNA^ENIE y0 = dxdy .

uTWERVDENIE 1) TEOREMY 1 NAZYWA@T NEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM USLOWIEM DIFFERENCIRUEMOSTI FUNKCII ODNOGO PEREMENNOGO. nEOBHODIMOE USLOWIE DIFFE- RENCIRUEMOSTI FUNKCII W TO^KE USTANAWLIWAET SLEDU@]AQ TEOREMA .

tEOREMA 2 (O SWQZI DIFFERENCIRUEMOSTI I NEPRERYWNOSTI FUNKCII). eSLI FUNKCIQ y = f(x) DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x = a, TO ONA NEPRERYWNA W \TOJ TO^KE.

dOK–WO. tAK KAK FUNKCIQ y = f(x) DIFFERENCIRUEMA W TO^KE a, EE PRIRA]ENIE PREDSTAWIMO W WIDE f(a) = L x + o(Δx). oTS@DA SRAZU SLEDUET f(a) → 0 PRI

x → 0, ^TO RAWNOSILXNO NEPRERYWNOSTI FUNKCII y = f(x) W TO^KE a. .

pRIMER 4. fUNKCIQ y = |x| NEPRERYWNA, NO NEDIFFERENCIRUEMA W TO^KE x = 0. a ZNA^IT, UTWERVDENIE, OBRATNOE UTWERVDENI@ TEOREMY 2, NEWERNO, T.E. IZ NEPRERYWNOSTI FUNKCII W TO^KE NE SLEDUET EE DIFFERENCIRUEMOSTX W \TOJ TO^KE .

fUNKCI@, DIFFERENCIRUEMU@ W KAVDOJ TO^KE MNOVESTWA X R, NAZYWA- @T DIFFERENCIRUEMOJ NA MNOVESTWE X. eSLI FUNKCIQ DIFFERENCIRUEMA W KAVDOJ TO^KE SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ , TO EE NAZYWA@T PROSTO DIFFERENCI-

RUEMOJ.

gEOMETRI^ESKIJ SMYSL DIFFERENCIALA FUNKCII (SM. RIS. 19): DIFFE-

RENCIAL FUNKCII f W TO^KE a RAWEN PRIRA]ENI@ W TO^KE M a; f(a) SOOTWETSTWU@]EMU PRIRA]ENI@

ARGUMENTA.

20 pRAWILA DIFFERENCIROWANIQ

sM. [z, S. 189–197] ILI [iW. §2.1–2.3, STR. 36–51].

dIFFERENCIROWANIE — OPERACIQ NAHOVDENIQ PROIZWODNOJ.

60