Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MA3.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

979.24 Кб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Лекции по рядам и кратным интегралам ФН, II курс, 3 семестр

Пугачев О.В.

осень 2013

ÐßÄÛ

1.Сходимость числовых рядов

2.Признаки сходимости знакоположительных рядов

3.Признаки сходимости знакопеременных рядов

4.Функциональные ряды

5.Степенные ряды

6.Разложение функций в степенные ряды

7.Применение степенных рядов

8.Евклидовы пространства и ряды Фурье

9.Среднеквадратичная сходимость рядов Фурье

10.Поточечная сходимости рядов Фурье и свойства коэффициентов

КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ

11.Кратные интегралы

12.Способы вычисления кратных интегралов

13.Приложения двойных и тройных интегралов

14.Криволинейные интегралы I и II рода

15.Площадь поверхности

16.Поверхностные интегралы I и II рода

17.Циркуляция и формула Грина

18.Дивергенция. Теорема Остроградского Гаусса

19.Ротор и теорема Стокса

20.Теория поля (итоговая лекция)

21.Несобственные кратные интегралы

22.Свертка периодических функций (дополнительная лекция)

Запрещено печатать форматом мельче А5 или фотографировать.

1Сходимость числовых рядов

Рядом называется выражение	∞		R. (Eсли пишут	∞
Рядом называется выражение	an,	an	R. (Eсли пишут	n=m an, m > 0, òî
	X			P
	n=0

подразумевается, что aj = 0 ïðè 0 ≤ j < m). Частичными суммами ряда называ-

	N
	nP
ются суммы SN =	=0 an, N N.

Определение 1.1. Говорят, что ряд

имеют конечный предел S = lim SN

ряда и пишут

N→∞

∞

an сходится, если его частичные суммы

n=0

R; в этом случае число S называют суммой

∞

S = an.

n=0

Если же предел частичных сумм бесконечен или не существует, то говорят, что ряд расходится.

∞
n X	an N−→ 0.
Если ряд сходится, то остаток ряда rN = S − SN =	an N−→ 0.
=N+1	→∞

∞

Пример 1.1. Рассмотрим ряд Xqn, ãäå |q| < 1. Вычислим его частичные суммы:

			n=0
SN = 1 + q + . . . + qN =		1 + q + . . . + qN − q − q2 − . . . − qN+1		=	1 − qN+1		.
			1 − q
						1 − q
Ïðè N → ∞ имеем SN →	1			S =		1

	1 − q . Итак, ряд сходится, и его сумма					1 − q .

∞

Критерий Коши: ряд P an сходится в том и только том случае, когда ε > 0

n=0


	N

K N : ïðè N > M ≥ K имеем		P	an	< ε.
		P

n=M+1

Доказательство. Применим критерий Коши существования конечного предела к
последовательности частичных сумм {SN }N∞=0, поскольку	N
	M+1 an = SN − SM .
	n=P

Свойства сходящихся рядов

∞

Необходимый признак сходимости. Для того, чтобы ряд P an сходился, необ-

n=0

ходимо условие an → 0 ïðè n → ∞.

Доказательство. Пусть ряд сходится. При n → ∞ имеем Sn → S è Sn−1 → S, ãäå S R. Тогда an = Sn − Sn−1 n−→∞→ S − S = 0.

При помощи этого признака можно доказывать расходимость, но доказать через него сходимость нельзя!

Пример: ряд 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . расходится, так как ±1 9 0.

∞

Контрпример: ряд

√

удовлетворяет необходимому признаку, но расходится,

n=1

N √

поскольку

SN =

√

= N → ∞

n=1

сходимости ряда

∞

an.

∞

Независимость от первых K слагаемых. Сходимость ряда

an равносильна

Это следует из того, что при всех N ≥ K

n=0 an −

=K an = const.

∞

Линейность. Если сходятся ряды n=0 an è n=0 bn, òî c, k R ðÿä

=0(c an + k bn)

∞∞

P	P
сходится, и его сумма равна c an + k	bn.
n=0	n=0

Утверждение вытекает из того, что при каждом N N выполнено соотношение

N	N	N
nP	P	P
(c an + k bn) = c	an + k bn.
=0	n=0	n=0
Определение 1.2. Ряд		∞ an абсолютно сходится, если сходится ряд
		nP
		=0

Теорема 1.1. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится, причем

∞

|an|.

n=0

∞	an ≤	∞	\|an\|;	rM	≤	∞	\|an\|.	(1)
X		X				X

	n=0	n=0	n=M+1
	∞
Доказательство. Если =0 \|an\| сходится, то по критерию Коши ε > 0 K N :
	N nP
	n=P
N > M ≥ K имеем	M+1 \|an\| < ε. Тогда N > M ≥ K получаем
		N	N

an ≤

|an| < ε,

n=M+1 n=M+1

откуда по критерию Коши вытекает сходимость ряда из an-ûõ. Второе утверждение

получается переходом к пределу при N → ∞ в неравенстве	n=0 an	≤ n=0 \|an\| èëè
	N	N
		P
	P	P

P an ≤ P |an|, выполненном при всех N N.

n=M+1 n=M+1

Ряд из неотрицательных слагаемых называют знакоположительным. 2

(конечному или бесконечному) ñóìì	∞
(конечному или бесконечному) ñóìì	nP
Лемма 1.1. Если ряд знакоположительный, то его сумма S = an равна супремуму
	=0
k
Xani , ãäå 0 ≤ n0 < n1 < n2 < . . . < nk,	k N.	(2)
i=0

Доказательство. Поскольку слагаемые ряда неотрицательны, его частичные суммы не убывают; если при этом они ограничены сверху, то имеют конечный предел S, а

если неограничены, то S = +∞. Супремум частичных сумм также равен S, à ïîñ-

	k		nk	k	k
	k		nk	k	iP
кольку частичные суммы входят во множество сумм (2) (взяв ni = i), òî S ≤ sup					=0 ani .
С другой стороны,	Xi	ani	≤	an ≤ S = sup ani ≤ S.
	Xi		X	X
	=0		n=0	i=0

Поскольку множество всех конечных сумм (2) не меняются при перестановках слагаемых, мы получаем такое важное следствие:

Теорема 1.2. Сумма знакоположительного ряда не меняется при перестановке
∞		∞
X		X
слагаемых. Т.e., если N0 = N {0}, è σ : N0 7→N0 биекция, то	aσ(n) =	an.
n=0		n=0

То же верно и для знакопеременного абсолютно сходящегося ряда, поскольку его можно представить как разность двух сходящихся знакоположительных рядов: an =

−

a−, ãäå a+ = max

; 0 , a− = max

; 0 .

{

}

{−

}

Определение 1.3. Ряд

∞ an условно сходится, если он сходится, но ряд из

∞

модулей

=0 |an| расходится.

Пример 1.2. Ряд 0 + 1 − 1 +

−

+ . . . сходится, и его сумма = 0,

n−→ 0. Но сходиться абсолютно он не будет: для его

поскольку S2n = 0, S2n−1

ряда из модулей имеем

→∞

S2n = 2

k + 1

= 2 ln(n + 1) n−→→∞ +∞.

1 + 2

+ . . . + n

= k=1 k

> 2 k=1 ln

Если ряд сходится условно, то при перестановке слагаемых его сумма может изме-

ниться. Более того, верна следующая удивительная теорема 1

Теорема 1.3. Если ряд сходится условно, то C [−∞; +∞] существует биекция

∞

N X

σ : N0 7→N0, такая, что

aσ(n) = C. Кроме того, существует биекция σ : íå

n=0

существует предел

lim

aσ(n).

N→∞ n=0

1доказательство см. Е.А.Власова, ½Ряды

Пример 1.3. Переставим слагаемые ряда из примера (1.2) следующим образом:

1 − 1 +			1	+	1	−	1	−	1	+	1	+	1	+	1	+	1	−	1	−	1	−	1	−	1	+ . . . .	.	. + . . .

			2		3		2		3		4		5		6		7		4		5		6		7
																										\| {z }
\|2	{z }			4 слагаемых												8 слагаемых
	ñëàã.	\|				{z			}		\|							{z							}	16 ñëàã.

Если взять частичную сумму, остановившись в конце блока, то получим 0. Если

же остановиться в середине k-го блока, то получим частичную сумму =

+ . . . +

2k−1

> 2k−1

. Таким образом, частичные суммы ∞ раз принимают значения

è−значения

> 1/2 =

предел не существует, т.е. ряд расходится.

Теперь переставим тот же ряд по-другому:

1 − 1 +

−

+ . . . +

−

+ . . .

ñëàã.

21+1 ñëàã.

22+1 слагаемых

23+1 слагаемых

2 |+1{z }

}

Сумма слагаемых в k-ом блоке превышает 2k−1 ·

−

≥

4 ïðè

. Следовательно, и те частичные суммы, где

суммирование остановилось перед

k ≥

−

отрицательным слагаемым, и те, где остановилось сразу после такого, будут стремиться к +∞. Остальные частичные суммы оцениваются сверху и снизу через них. Итак,

ряд расходится к S = +∞.

В примере 1.3 мы сначала переставляли слагаемые в блоках растущей длины, а затем вне каких-либо блоков. Однако, если слагаемые сходящегося ряда переставлять внутри блоков ограниченной длины, то сумма ряда меняться не будет. Это вытекает

èç òîãî, ÷òî an → 0, и из следующей леммы.

Лемма 1.2. Пусть ряд		∞
Лемма 1.2. Пусть ряд		n=0 an сходится, его сумма равна S, и пусть 0 ≤ n0 < n1 <
		P0			n	k	∞
сходится, и его сумма		n		S	n		P
сходится, и его сумма		P		S	P		P
n2 < . . . Обозначим A0	=		ai;	Ak =		ai ïðè k N. Тогда ряд	Ak òîæå
		i=0		i=nk−1+1			k=0
	также равна .
Это следует из того, что			m	Ak = nm an → S ïðè m → ∞.
			kP	P
			=0	n=0

Z +∞

f(x)dx.

m слагаемых,

2Признаки сходимости знакоположительных рядов

∞

При исследовании знакопеременного ряда P an на сходимость всегда надо начинать

n=0

∞

с исследования ряда из модулей P |an| (на схеме зеленые блоки): если он сойдется,

n=0

то исходный ряд сходится абсолютно, и только если ряд из модулей разойдется, то потребуется проверять сходимость знакопеременного ряда (розовый блок). Поэтому знакоположительным рядам уделим особое внимание.

Выведем наиболее употребляемые признаки сходимости знакоположительных рядов.

1. Интегральный признак Коши.Пусть неотрицательная функция f íà [m; +∞)

непрерывна и не возастает, и пусть an = f(n) ïðè âñåõ n ≥ m. Тогда сходимость

∞

ðÿäà Xan равносильна сходимости несобственного интеграла I рода

n=0

Доказательство. Поскольку сходимость ряда не зависит от первых

∞

рассмотрим ряд P an. Сравним его частичные суммы с интегралом функции f(x) по соответствующимn=m отрезкам:

N	N−1	n+1		N−1	n+1		N−1
Z	f(x)dx = n=m	Z	f(x)dx ≤ n=m		Z	f(n)dx = n=m an,
m	X n			X n			X

откуда видно при N → ∞, что если сходится ряд, то сходится и интеграл;

N	N	n	N	n	N
Z		Z		Z
	f(x)dx = n=m+1		f(x)dx ≥ n=m+1		f(n)dx = n=m+1 an,
m	X n−1		X n−1		X

откуда видно, что если сходится интеграл, то сходится и ряд. Если в неравенствах

N	N	N−1

n=m+1 an ≤ Z		f(x)dx ≤ n=m an
X	m	X

f(x) = x−p.

перейти к пределу при N → ∞, то получим оценки

∞	+∞		∞
	Z
rm = n=m+1 an ≤		f(x)dx ≤ n=m an = rm−1,
X	m		X

благодаря которым можно оценивать остаток ряда через интеграл.

∞ 1

Ряд Дирихле. Исследуем на сходимость ряд X np .

n=1

Необходимый признак выполнен только при p > 0. Теперь применим интегральный

признак. Данному ряду соответствует невозрастающая функция Рассмотрим несобственный интеграл

= lim

p =

N→+∞

1−p

ïðè p < 1;

N→+∞ Z

lim

ln N = +

∞ïðè p = 1.

+∞dx

N dx

lim

N1−p−1 =

p−1

ïðè p > 1;

∞

N→+∞

Итак, ряд Дирихле сходится при p >

. Этот факт нужно помнить, так как ряд

Дирихле часто применяется в признаках сравнения.

Пример 2.1. Сколько слагаемых ряда

∞ 1

n3 надо взять, чтобы вычислить его

сумму с погрешностью < 0,001 ?

n=1

Поскольку an = n−3, возьмем функцию f(x) = x−3. Оценим остаток:

+∞ dx

−1

+∞ =

m ≤ m

2x2

2m2

Получаем |rm| < 0,001 ïðè m = 23. Ответ: S ≈

=1 n−3 ≈ 1,201.

2. Простой признак сравнения. Пусть bn ≥ an ≥ 0 ïðè âñåõ n ≥ no. Тогда:

∞

(a) åñëè ðÿä bn сходится, то ряд

an сходится;

n=0

∞

(á) åñëè ðÿä

an расходится, то ряд

bn расходится.

n=0

Доказательство. На самом деле оба пункта утверждают одно и то же. Докажем
	∞
	nP
напрямую (a), и тем самым докажем от противного (á). Пусть ряд	bn сходится.
	=0

Тогда его частичные суммы ограничены сверху некоторой величиной M (0; +∞). Из этого следует, что

N	N	N
Xo	nXo	Xo
N N	an ≤	bn ≤ M = Nlim an ≤ M < +∞,
n=n	=n	→∞ n=n

следовательно, ряд	∞ an, а значит, и ряд	∞ an сходится.
	Po	nP
	n=n	=0
Пример 2.2. Исследовать на сходимость ряд			∞	1
Пример 2.2. Исследовать на сходимость ряд			X	√n(ln n)5 .
			X

n=2

Сравним данный ряд с √рядом Дирихле. Как известно, логарифм растет медленнее любой степени, поэтому n(ln n)5 << n. Чтобы доказательство было строгим, применим правило Лопиталя Бернулли:

√

(ln n)5

ln n

5 =

n−1

lim

= 0.

x→+∞

√n

x→+∞

0,1 n−0,9

Поэтому N такое, что

√

(ln n)5

ïðè âñåõ

n > N. По простому признаку

∞

сравнения ряд расходится, так как расходится ряд

n=2

3. Предельный признак сравнения. Пусть bn > 0, an > 0 ïðè âñåõ n ≥ no, è

существует предел

0 < C < +∞.

C = nlim

→∞

Тогда ряды ∞ an è

∞ bn или оба сходятся, или оба расходятся.

n=0

Доказательство. Существует такое m ≥ no, ÷òî

n ≥ m

an − C

< 2

= 2 an < bn

2 an.

Применим линейность и простой признак сравнения:							∞
1)	если сходится	∞		∞	3C
		=0 an, то сходится				an = сходится	n=0 bn;
				n=0	2
2)		nP	∞	P	∞ C		P
	если paсходится		=0 an, то paсходится n=0 2 an = paсходится
		nP			P

4. Радикальный2 признак Коши. Пусть an ≥ 0; обозначим

	n		k
C = lim √an = lim sup∞			√ak.
n→∞		n→∞ k=n

∞

bn.

n=0

Тогда, если C < 1, то ряд сходится; если C > 1, то ряд paсходится.

2radical корень.

Доказательство. 1) Пусть 0 ≤ C < 1. Найдется такое m, ÷òî

∞

sup∞ √k

q =

1 + C

= k m

qm =

a сходится

k=m

k ≤

≥

k ≤

по признаку сравнения (с геометрической прогрессией ñì. пример 1.1).

2) Пусть 1 < C

≤

∞

. При всяком n

имеем sup∞ √k a

k ≥

C > 1, следовательно,

k=n

> 1 = akj > 1, è

существует бесконечно много слагаемых akj , òàêèx, ÷òî k√j akj

необходимое условие сходимости нарушено.

5. Признак Даламбера. Пусть an ≥ 0; предположим, что существует предел

C = lim an+1 .

n→∞ an

Тогда, если C < 1, то ряд сходится; если C > 1, то ряд paсходится.

Покажем, что признак Даламбера является частным случаем радикального прèçíàêà

Коши: если существует указанный предел C, то существует и предел

lim

√an = C.

n→∞

Для этого нам достаточно применить к последовательности

xn = ln an следующую

лемму:

Лемма 2.1. Если nlim (xn − xn−1) = A, −∞ ≤ A ≤ +∞, òî nlim

= A.

→∞

Доказательство. Зададим произвольные A , A , такие, что

A > A, åñëè A < +∞,

A < A, åñëè A > −∞,

A = A, åñëè A = +∞;

A = A, åñëè A = −∞.

Найдется m: n ≥ m A ≤ xn − xn−1 ≤ A . Тогда при n > m

xn = xm + 1

−

(xk

xk−1)

≤

n m

→

o(1) +

− m

−

n k=m

o(1) +

→

≥

≤

A . В силу произвольности

è A

Следовательно,

lim

n→∞ n

≤

получаем lim

lim

= A.

n→∞ n

Хотя признак Даламбера не дает новых результатов по сравнению с радикальным признаком Коши, его применяют чаще из-за меньшей трудоемкости вычислений.

Если ряд сходится по признаку Даламбера, то его остаток можно оценить, используя сравнение с геометрической прогрессией.

Лемма 2.2. Пусть для ряда

∞

=0 an при некотором N N выполнено

|an+1|

≥

≤

q < 1. Тогда

N |

|an|

N | ≤ |

1 − q

Доказательство. Рассмотрим геометрическую прогрессию bn = aN qn−N . Тогда при всех n ≥ N выполнено |an| ≤ bn. Следовательно, по (1)

∞		∞		∞
r	a	X	b = a qk =			\|aN \| · q			,
X		X	n	Xk	\| N \|	1	−	q
\| N \| ≤	\| n\| ≤		n	=1	\| N \|	1		q
n=N+1		n=N+1		=1

здесь мы взяли новый индекс суммирования k = n − N.

∞

Пример 2.3. Рассмотрим ряд

4n . Для него получаем отношение

n=0

an+1

(n + 1)n+1

n! 4n

(n + 1)n

· ·

1 +

n−→→∞

< 1,

(n + 1)! · 4n+1 · nn

4 · nn

следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

Теперь вычислим его сумму с погрешностью < 0,01. При всяком n N имеем

an+1

1 +

< 0,7.

По лемме 2.2 получаем |rN | ≤ |aN |

0,7

7 NN

< 0,01 ïðè N = 9.

−

0,7

3 N!

≈ 1,55.

Ответ: S ≈

n=0

3Признаки сходимости знакопеременных рядов

∞

При исследовании знакопеременного ряда P an на сходимость всегда надо начинать

n=0

∞

с исследования ряда из модулей P |an| : если он сойдется, то исходный ряд схо-

n=0

дится абсолютно, и только если ряд из модулей разойдется, то придется применять признаки сходимости знакопеременных рядов, о которых и пойдет речь.

1.Необходимый признак. Если ряд из модулей разошелся по необходимому признаку, то an 9 0, и знакопеременный ряд также разойдется.

2.Признак Лейбница.

∞

Определение 3.1. Ряд P an называется рядом Лейбница, если:

n=m

1)an → 0 ïðè n → ∞;

2)n ≥ m |an| ≥ |an+1|;

3) знаки слагаемых чередуются, т.е. an ·an+1 < 0 n ≥ m.

Теорема 3.1. Ряд Лейбница сходится. При этом его остаток не превышает по модулю первое отброшенное слагаемое, т.е. |rN | ≤ |aN+1|.

Доказательство. Пусть, например, am > 0. Тогда k N имеем am+2k > 0, am+2k−1 < 0. Поскольку модули слагаемых не возрастают, выполнено n ≥ m ëèáî sign(an +

an+1) = sign an, ëèáî an +an+1 = 0. Получаем монотонные последовательности части- чных сумм:

Sm ≥ Sm+2	≥ Sm+4	≥ Sm+6	≥ . . .
			≤ . . .
Sm+1 ≤ Sm+3	≤ Sm+5	≤ Sm+7	≤ . . .

Таким образом, суммы Sm+2k образуют невозрастающую последовательность, ограни-

ченную снизу, а суммы Sm+2k−1 неубывающую последовательность, ограниченную сверху. Отсюда следует, что обе последовательности имеют конечные пределы. Эти пределы равны, поскольку

|Sm+2k − Sm+2k−1| = |a2k| → 0 ïðè k → ∞,

а значит, все частичные суммы стремятся к одному пределу S R, и ряд сходится. Поскольку при каждом k N верны неравенства

Sm+2k−1 ≤ S ≤ Sm+2k è Sm+2k ≥ S ≥ Sm+2k+1,

мы получаем, соответственно,

|rm+2k−1| = |S − Sm+2k−1| ≤ |am+2k|; |rm+2k| = |S − Sm+2k| ≤ |am+2k+1|.

Пример 3.1. Ряд

∞

∞ (−1)n

√n не сходится абсолютно (его ряд из модулей

∞

n=1

|an| = n=1

√

n=1

расходящийся ряд Дирихле). Но он является рядом Лейбница, и

потому сходится. Ответ: ряд сходится условно.

∞

(

1)n

Рассмотрим другой ряд: n=1 bn = n=1

−√n

+ n

. Имеем an → 1 ïðè n → ∞. Однако,

ðÿä ∞ bn расходится, ведь если бы он сходился, то по свойству линейности сходился

=1	∞	∞ 1
nP
áû è ðÿä	n=1(bn − an) =
		n=1 n, а это не так. Вывод: к знакопеременным рядам
	сравнения неприменимы.
признакиP		P

∞ (−1)n(2n)!

Пример 3.2. Проверим на сходимость ряд X 4n(n!)2 .

n=0

Применив формулу Стирлинга

√

n → ∞,

2πn

ïðè

n! en

получаем эквивалентность

22nn2n√

· e2n

4πn

4n · e2n · n2n(√2πn)2

√πn

→

По предельному признаку сравнения видим, что абсолютной сходимости нет. Но

необходимый признак сходимости, он же условие 1) признака Лейбница, выполнен.

Условие 3), очевидно, тоже выполнено. Но мы не можем на основании эквивалент-

ности утверждать, что выполняется 2): к знакопеременным рядам признаки сравне-

ния неприменимы. Поэтому придется проверять условие 2) для самог ряда

∞ an :

|an+1|

(2n + 2)!

4n(n!)2

(2n + 1)(2n + 2)

(2n + 1)

< 1,

4n+1((n + 1)!)2 ·

4(n + 1)2

|an|

(2n)!

2(n + 1)

следовательно, |an| > |an+1|. Это ряд Лейбница = он сходится (условно).

Пример 3.3. Сколько слагаемых ряда

∞

(−1)n · n3

надо взять, чтобы получить

n=1

его сумму с погрешностью < 0,01?

Ряд абсолютно сходится по признаку Даламбера

lim

|an+1|

= 1/3

. Однако,

n→∞

|an|

признак Лейбница пригодится нам для более точной

оценки остатка. Äàííûé ðÿä

является рядом Лейбница начиная с

-го слагаемого. Имеем

|a10| =

1000

> 0,01;

1331

59049

|a11| = 177147 < 0,01. Следовательно, |r10| ≤ |a11| < 0,01. Ответ: 10 слагаемых.

∞. Воспользуемся критерием Коши. Пусть

3. Признак Дирихле. Пусть um ≥ um+1 ≥ um+2 ≥ . . . ; un → 0. Пусть vn таковы,

n	∞
P	X

что множество сумм Wn = k=0 vk, n N, ограничено. Тогда ряд	unvn сходится.
	n=0
Признак Лейбница является частным случаем признака Дирихле:
возьмем un = \|an\|, vn = (−1)n èëè vn = (−1)n+1.

4. Признак Абеля. Пусть последовательность {un}n∞=m монотонна и ограничена.
Пусть ряд ∞ vn сходится (ò.å. nlim Wn R). Тогда ряд		∞
Пусть ряд ∞ vn сходится (ò.å. nlim Wn R). Тогда ряд		unvn сходится.
n=0	→∞	n=0
P		X

Признаки Дирихле и Абеля очень похожи, только признак Дирихле накладывает

более жесткие условия на un и менее жесткие на vn, а признак Абеля наоборот. Оба признака доказываются по одной схеме.

Доказательство. В обоих случаях имеем C = sup |Wn| < ∞, а также U = sup |un| <

N > M ≥ m.

n X

unWn −

unWn−1 =

unvn =

un(Wn − Wn−1) =

n=M+1

=M+1

n=M+1

[в первой сумме положим k = n, a во второй k = n − 1]

N−1

ukWk −

(uk − uk+1)Wk.

uk+1Wk = uN WN − uM+1WM +

k=M+1

}

k=M+1

}

В случае признака Дирихле получаем

| ≤

−→

uM+1 )

→∞

N>M

а в признакe Абеля сходится не только последовательность

un, íî è Wn, òàê ÷òî

| ≤ |

uN (WN

−

(uN

−

uM+1)WM

| ≤

−

+ C

−

uM+1

| −→

WM )

N>M

→∞

Сумма B в обоих случаях, в силу монотонности {un}, оценивается так:

N−1

| ≤

k=X+1

−

| −→

uk+1

= C

N>M

→∞

∞

sin nα

Пример 3.4. Пусть 0 < α < π; p > 0. Тогда ряд

n=1

сходится по признаку

Дирихле. Действительно, сомножители un = 1/n

è vn = sin nα удовлетворяют усло-

виям теоремы: un & 0; суммы vn-ых не превышают константу:

cos α2 − cos(Nα +

α2 )

sin nα =

cos(nα

−

)

−

cos(nα +

) =

2 sin

α2 n=1

n=1

2 sin α2

≤ sin α2

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.11.20191.07 Mб14L_r_4_9s_M1.doc
#
10.02.20156.04 Mб21m07.pdf
#
10.02.2015291.36 Кб61m1.pdf
#
21.04.2015312.58 Кб16m101.pdf
#
12.03.2015615.2 Кб29m107.pdf
#
09.02.2015979.24 Кб10MA3.pdf
#
09.02.2015862.2 Кб16MAall.pdf
#
10.02.2015906.34 Кб10MAall.pdf
#
10.02.2015909.4 Кб5MAiu9.pdf
#
09.02.2015160.26 Кб9maket ОФОРМЛЕНИЕ ДОКЛАДОВ.doc
#
21.12.2018553.47 Кб2Management.doc