MAiu9

NAZYWA@T WYKOLOTOJ (PROKOLOTOJ) ε-OKRESTNOSTX@ TO^KI a.

eSLI [a1, b1] [a2, b2], TO OTREZOK [a2, b2] NAZYWA@T WLOVENNYM W OTREZOK

[a1, b1].

tEOREMA O WLOVENNYH OTREZKAH. dLQ WSQKOJ SISTEMY WLOVENNYH OTREZKOW

[a1, b1] [a2, b2] [a3, b3] . . . [an, bn] . . .

SU]ESTWUET HOTQ BY ODNA TO^KA, PRINADLEVA]AQ WSEM OTREZKAM DANNOJ SISTEMY .

dOK–WO SLEDUET IZ AKSIOMY POLNOTY. dEJSTWITELXNO, DLQ L@BYH DWUH OTREZ- KOW [am, bm], [an, bn] NA[EJ SISTEMY IMEET MESTO am 6 bn. w PROTIWNOM SLU^AE MY POLU^ILI BY an 6 bn < am 6 bm, T. E. OTREZKI [am, bm], [an, bn] NE IMELI BY OB]IH TO^EK, W TO WREMQ KAK ODIN IZ NIH (IME@]IJ BOLX[IJ NOMER) WLOVEN W DRUGOJ.

tAKIM OBRAZOM, DLQ ^ISLOWYH MNOVESTW A = {an : n N}, B = {bm : m N} WYPOLNENY USLOWIQ AKSIOMY POLNOTY, W SILU KOTOROJ NAJDETSQ TAKOE ^ISLO S R, ^TO an 6 c 6 bm DLQ L@BYH \LEMENTOW an A I bm B. w ^ASTNOSTI, an 6 c 6 bn DLQ L@BOGO n N. nO \TO I OZNA^AET, ^TO TO^KA S PRINADLEVIT WSEM OTREZKAM DANNOJ SISTEMY. .

3.2oGRANI^ENNYE ^ISLOWYE MNOVESTWA, IH TO^NYE GRANI

pUSTX B — PODMNOVESTWO R. tOGDA

a R — WERHNQQ GRANX MNOVESTWA B, A MNOVESTWO B NAZYWA@T OGRANI- ^ENNYM SWERHU x B x 6 a.

a R — NIVNQQ GRANX MNOVESTWA B, A MNOVESTWO B NAZYWA@T OGRANI- ^ENNYM SNIZU x B x > a.

mNOVESTWO B OGRANI^ENNOE SWERHU I SNIZU NAZYWA@T OGRANI^ENNYM.

\LEMENT MNOVESTWA WSEH WERHNIH GRANEJ MNOVESTWA B. oBOZNA^ENIE: a = sup B. a R — TO^NAQ NIVNQQ GRANX MNOVESTWA B a — MAKSIMALXNYJ

\LEMENT MNOVESTWA WSEH NIVNIH GRANEJ MNOVESTWA B. oBOZNA^ENIE: a = inf B.

pRIMER 1. B = (0, 1]. 1 = max B = sup B. 0 = inf B, min B NE SU]ESTWUET.

pRIMER 2. B = (0, +∞). sup B NE SU]ESTWUET.

zADA^A 1. dOKAVITE, ^TO MAKSIMALXNYJ (MINIMALXNYJ) \LEMENT MNOVESTWA, ESLI ON SU]ESTWUET, QWLQETSQ EDINSTWENNYM.

zADA^A 2. dOKAVITE, ^TO MAKSIMALXNYJ (MINIMALXNYJ) \LEMENT MNOVESTWA, ESLI ON SU]ESTWUET, QWLQETSQ TO^NOJ WERHNEJ (NIVNEJ) GRANX@ MNOVESTWA.

tEOREMA O TO^NYH GRANQH. oGRANI^ENNOE SWERHU (SNIZU) NEPUSTOE PODMNO- VESTWO R IMEET TO^NU@ WERHN@@ (NIVN@@) GRANX.

dOK–WO SLEDUET IZ AKSIOMY POLNOTY. a IMENNO, PUSTX X R — DANNOE PODMNOVESTWO, A Y — MNOVESTWO WERHNIH GRANEJ X. pO USLOWI@, X 6= I Y 6= .

11

tOGDA W SILU AKSIOM POLNOTY SU]ESTWUET ^ISLO c R TAKOE, ^TO x 6 c 6 y DLQ L@BYH \LEMENTOW x X I y Y . ~ISLO c, TAKIM OBRAZOM, QWLQETSQ WERHNEJ GRANX@ MNOVESTWA X I NIVNEJ GRANX@ MNOVESTWA Y . kAK WERHNQQ GRANX X, ^ISLO c QWLQETSQ \LEMENTOM Y , NO KAK NIVNQQ GRANX Y , ^ISLO S QWLQETSQ MINIMALXNYM \LEMENTOM MNOVESTWA Y . iTAK, c = min Y = sup X.

3.3nATURALXNYE ^ISLA

sWOJSTWO: n N = n + 1 N.

sWOJSTWO aRHIMEDA. kAKOWO BY NI BYLO ^ISLO a, SU]ESTWUET TAKOE CELOE ^ISLO n, ^TO n > a.

dOKAZATELXSTWO \TOGO SWOJSTWA BUDET PRIWEDENO W §4 (SM. PRIMER 5).

sLEDSTWIE. kAKOWY BY NI BYLI ^ISLA a I b, 0 < a < b, SU]ESTWUET TAKOE NATURALXNOE ^ISLO n, ^TO na > b.

dOK–WO. sOGLASNO SWOJSTWU aRHIMEDA DLQ ^ISLA b/a SU]ESTWUET TAKOE NATU- RALXNOE n, ^TO n > b/a. |TO ^ISLO n ISKOMOE, TAK KAK, UMNOVAQ NERAWENSTWO n > b/a NA POLOVITELXNOE ^ISLO a, POLU^AEM na > b.

|TO SLEDSTWIE IMEET PROSTOJ GEOMETRI^ESKIJ SMYSL: ESLI WZQTX DWA OTREZKA SOOTWETSTWENNO DLIN a I b, 0 < a < b, TO POSLEDOWATELXNO OTKLADYWAQ NA BOLX[EM OTREZKE OT ODNOGO IZ EGO KONCOW MENX[IJ OTREZOK , MY ^EREZ KONE^NOE ^ISLO [AGOW WYJDEM ZA PREDELY BOLX[EGO OTREZKA.

4|LEMENTY MATEMATI^ESKOJ LOGIKI

sM. [z, STR. 1–3, 29–30].

lOGIKA — NAUKA O ZAKONAH POSTROENIQ PRAWILXNYH RASSUVDENIJ .

4.1wYSKAZYWANIQ I OPERACII NAD NIMI

pONQTIE WYSKAZYWANIQ NE OPREDELQETSQ STROGO. uKAZYWAETSQ TOLXKO, ^TO WY- SKAZYWANIE — \TO PREDLOVENIE, KOTOROE MOVET BYTX ISTINNYM ILI LOVNYM.

pRIMERY: 1) 1 = sup(0, 1); 2) 2 = sup(0, 1); 3) a = sup(0, 1).

5 oPERACIJ NAD WYSKAZYWANIQMI: I, ILI, , , NE.

nEKOTORYE ZAKONY LOGIKI:

(1)zAKON OTRICANIQ PROTIWORE^IQ: (NE (NE A)) A.

(2)zAKON ISKL@^ENNOGO TRETXEGO: A ILI (NE A).

(3)pRAWILO CEPNOGO ZAKL@^ENIQ.

(4)zAKON KONTRAPOZICII.

(5)pRAWILO POSTROENIQ OTRICANIQ SLOVNYH LOGI^ESKIH WYSKAZYWANIJ , SODER- VA]IH KWANTORY:

ESLI W SIMWOLXNU@ ZAPISX UTWERVDENIQ A WHODQT KWANTORY , I USLOWIE P , TO PRI POSTROENII SIMWOLXNOJ ZAPISI PROTIWOPOLOVNOGO UTWERVDENIQ ”NE A” KWAN- TOR ZAMENQ@T NA KWANTOR — NA , A USLOWIE P ZAMENQ@T NA USLOWIE ”NE

P ”.

12

nAPRIMER, RASSMOTRIM UTWERVDENIE x E : P (x) (SU]ESTWUET \LEMENT x MNOVESTWA E, OBLADA@]IJ SWOJSTWOM P (x)) I POSTROIM EGO OTRICANIE. eSLI \TO UTWERVDENIE NEWERNO, TO UKAZANNOGO \LEMENTA NE SU]ESTWUET, T.E. DLQ KAVDOGO x E SWOJSTWO P (x) NE WYPOLNQETSQ, ILI

NE ( x E : P (x)) = x E : NE P (x).

tEPERX POSTROIM OTRICANIE UTWERVDENIQ x E : P (x) (DLQ KAVDOGO \LEMENTA x MNOVESTWA E IMEET MESTO SWOJSTWO P (x)). eSLI DANNOE UTWERVDENIE NEWERNO, TO SWOJSTWO P (x) IMEET MESTO NE DLQ KAVDOGO \LEMENTA UKAZANNOGO MNOVESTWA , T.E. SU]ESTWUET HOTQ BY ODIN \LEMENT x E, NE OBLADA@]IJ \TIM SWOJSTWOM, ILI

NE ( x E : P (x)) = x E : NE P (x).

eSLI KWANTOROW NESKOLXKO, TO DANNOE PRAWILO PRIMENQETSQ NESKOLXKO RAZ .

zADA^A 1. iSPOLXZUQ PRAWILO POSTROENIQ OTRICANIQ WYSKAZYWANIJ S KWANTO - RAMI, SFORMULIROWATX OPREDELENIE NEOGRANI^ENNOGO MNOVESTWA .

4.2tEOREMY I IH DOKAZATELXSTWA

l@BU@ MATEMATI^ESKU@ TEOREMU MOVNO PREDSTAWITX W WIDE ISTINNOGO WYSKAZY - WANIQ WIDA A B ILI A B. tAK KAK WYSKAZYWANIE A B OZNA^AET A B I A B, TO L@BAQ TEOREMA PREDSTAWLQET SOBOJ ODNU ILI NESKOLXKO IMPLIKACIJ.

dLQ TEOREMY A B WYSKAZYWANIE A NAZYWA@T USLOWIEM ILI POSYLKOJ,

A B — SLEDSTWIEM ILI ZAKL@^ENIEM TEOREMY. gOWORQT TAKVE: A — DOSTA- TO^NOE USLOWIE DLQ B, B — NEOBHODIMOE USLOWIE DLQ A.

l@BAQ SOWREMENNAQ MATEMATI^ESKAQ TEORIQ STROITSQ KAK POSLEDOWATELXNOSTX OPREDELENIJ, AKSIOM I TEOREM, KOTORYE PREDSTAWLQ@T SOBOJ FORMULIROWKI SWOJSTW

IZU^AEMYH OB_EKTOW. oPREDELENIQ I AKSIOMY NE TREBU@T DOKAZATELXSTWA , A KA- VDAQ POSLEDU@]AQ TEOREMA DOKAZYWAETSQ S ISPOLXZOWANIEM TOLXKO OPREDELENIJ , AKSIOM I UVE DOKAZANNYH TEOREM.

pRQMOE DOKAZATELXSTWO TEOREMY WIDA A B PREDSTAWLQET SOBOJ POSLE-

DOWATELXNOSTX IMPLIKACIJ A A1 . . . B , PRI^EM KAVDAQ IMPLIKACIQ ESTX OPREDELENIE, AKSIOMA, UVE DOKAZANNAQ TEOREMA ILI ZAKON LOGIKI .

pRIMER 4: DOKAZATELXSTWO TEOREMY O WLOVENNYH OTREZKAH c ISPOLXZOWANIEM AKSIOMY POLNOTY.

mETOD DOKAZATELXSTWO ”OT PROTIWNOGO”: DLQ DOKAZATELXSTWA TAKIM ME-

TODOM TEOREMY A B PREDPOLAGA@T, ^TO B NE WERNO (PROTIWNOE). eSLI RASSU- VDENIQ PRIWODQT K TOMU, ^TO PRI TAKOM PREDPOLOVENII USLOWIE A NEWYPOLNIMO, T.E. WOZNIKAET PROTIWORE^IE, TO TEOREMU S^ITA@T DOKAZANNOJ.

pRIMER 5. dOKAVEM METODOM ”OT PROTIWNOGO” SWOJSTWO aRHIMEDA. pRED- POLOVIM ”PROTIWNOE”: SWOJSTWO aRHIMEDA NE WYPOLNQETSQ. |TO OZNA^AET, ^TO SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO a, ^TO DLQ WSEH NATURALXNYH n WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO n 6 a. t.E. ^ISLO a OGRANI^IWAET SWERHU MNOVESTWO NATURALXNYH ^ISEL . pO\TOMU MNOVESTWO NATURALXNYH ^ISEL, KAK WSQKOE NEPUSTOE OGRANI^ENNOE SWERHU ^ISLOWOE

13

MNOVESTWO IMEET KONE^NU@ WERHN@@ GRANX (SM. TEOREMU O WERHNEJ GRANI). oBO- ZNA^IM EE ^EREZ p: p = sup N.

zAMETIM, ^TO ^ISLO p − 1 NE MOVET BYTX WERHNEJ GRANX@ MNOVESTWA N, TAK KAK p = sup N — MINIMALXNAQ WERHNQQ GRANX MNOVESTWA N, A p − 1 < p. pO\TOMU SU]ESTWUET TAKOE NATURALXNOE ^ISLO n, ^TO n > p − 1. nO TOGDA n + 1 > p, PRI^EM SOGLASNO OPREDELENI@ NATURALXNYH ^ISEL n + 1 N. nERAWENSTWO n + 1 > p PROTIWORE^IT TOMU, ^TO p = sup N, TAK KAK TO^NAQ WERHNQQ GRANX MNOVESTWA OGRANI^IWAET EGO SWERHU. pOLU^ENNOE PROTIWORE^IE POKAZYWAET, ^TO UKAZANNOGO ^ISLA a NE SU]ESTWUET, T.E. SWOJSTWO aRHIMEDA SPRAWEDLIWO. .

zADA^A 2. dOKAVITE, ^TO PROMEVUTKAMI QWLQ@TSQ TOLXKO KONE^NYE ILI BESKO - NE^NYE INTERWALY, KONE^NYE ILI BESKONE^NYE POLUINTERWALY I OTREZKI . iSPOLX- ZUJTE DLQ \TOGO TEOREMU O TO^NOJ GRANI I RASSMOTRITE SLU^AI , KOGDA PROMEVUTOK OGRANI^EN I NEOGRANI^EN SWERHU (SNIZU), TO^NAQ GRANX PRINADLEVIT I NE PRINAD- LEVIT PROMEVUTKU.

4.3mETOD DOKAZATELXSTWA ”PO INDUKCII”

oPISANIE METODA: PUSTX NEOBHODIMO DOKAZATX UTWERVDENIE 0) n N A(n). dOKAZYWA@T:

1)A(1);

2)n N A(n) A(n + 1).

oBOSNOWANIE METODA: IZ 1) I 2) SLEDUET 0), TAK KAK: k N A(1)

A(2) . . . A(k).

pRIMER 6. dOKAVEM METODOM MATEMATI^ESKOJ INDUKCII FORMULU BINOMA nX@TONA. dLQ ZAPISI \TOJ FORMULY WWEDEM SLEDU@]IE OBOZNA^ENIQ . pROIZWE- DENIE WSEH NATURALXNYH ^ISEL OT 1 DO n WKL@^ITELXNO OBOZNA^A@T ^EREZ n! I NAZYWA@T ”n–FAKTORIAL”. pRI \TOM POLAGA@T PO OPREDELENI@ 0! = 1. ~ISLA

NAZYWA@T BINOMIALXNYMI KO\FFICIENTAMI. fORMULA BINOMA nX@TONA IME- ET WID

14

dOK–WO FORMULU BINOMA nX@TONA. pRI n = 1 FORMULA (1) IMEET WID

(a + b)1 = a + b I O^EWIDNA. w PREDPOLOVENII SPRAWEDLIWOSTI \TOJ FORMULY DLQ PORQDKA n POLU^AEM:

(a + b)n+1 = (a + b)(a + b)n =

=(a + b)(an + Cn1an−1b + Cn2an−2b2 + . . . + Cnkan−kbk + . . . + Cnnbn) =

=an+1 + Cn1anb + Cn2an−1b2 + . . . + Cnkan−k+1bk + . . . + Cnnabn =

=anb + Cn1an−1b2 + . . . + Cnk−1an−k+1bk + . . . + Cnn−1abn + Cnnbn+1 =

=an+1 + Cn1+1anb + Cn2+1an−1b2 + . . . + Cnk+1an+1−kbk + . . . + Cnn+1abn + Cnn+1+1bn+1.

mY RASKRYLI SKOBKI, OB_EDINILI SLAGAEMYE, SODERVA]IE ODINAKOWYE STEPENI a, b, I WOSPOLXZOWALISX LEMMOJ. tAKIM OBRAZOM, PO INDUKCII USTANOWLENA SPRA- WEDLIWOSTX FORMULY BINOMA nX@TONA. .

zADA^A 3. pRIMENIW METOD MATEMATI^ESKOJ INDUKCII, DOKAZATX, ^TO DLQ L@- BOGO NATURALXNOGO ^ISLA n SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO (1 + x)n > 1 + nx (NERAWEN-

STWO bERNULLI) DLQ WSEH x > −1, x 6= 0 I n N, n > 2.

5mO]NOSTX MNOVESTW

o KOLI^ESTWE \LEMENTOW MNOVESTWA MOVNO GOWORITX TOLXKO DLQ KONE^NYH MNO - VESTW, A DLQ BESKONE^NYH GOWORQT O MO]NOSTI MNOVESTWA . mNOVESTWO A RAWNO- MO]NO MNOVESTWU B, ESLI SU]ESTWUET BIEKCIQ f : A → B.

pRIMERY. 1. mNOVESTWA NATURALXNYH ^ISEL N I CELYH ^ISEL Z RAWNOMO]NY (DOK–WO).

2. mNOVESTWA NATURALXNYH ^ISEL N I RACIONALXNYH ^ISEL Q RAWNOMO]NY (DOK–WO POZVE).

iZ TOGO, ^TO SU]ESTWUET BIEKCIQ f : A → B, SLEDUET, ^TO SU]ESTWUET OTOBRA- VENIE f−1 : B → A, KOTOROE TAKVE ESTX BIEKCIQ. pO\TOMU ESLI A RAWNOMO]NO B, TO I B RAWNOMO]NO A, I MY MOVEM GOWORITX, ^TO MNOVESTWA A I B RAWNOMO]NY. fAKT RAWNOMO]NOSTI MNOVESTW A I B BUDEM ZAPISYWATX TAK: A B. iZ OPREDELE- NIQ RAWNOMO]NOSTI I SWOJSTW BIEKCII TAKVE SLEDUET , ^TO DLQ L@BOGO MNOVESTWA A IMEET MESTO A A (TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE ESTX BIEKCIQ MNOVESTWA A NA SEBQ); A DLQ L@BYH MNOVESTW A, B, C IZ A B I B C SLEDUET A C ( KOMPOZICIQ BIEKCIJ ESTX BIEKCIQ).

oBOZNA^IM ^EREZ |A| SEMEJSTWO MNOVESTW, RAWNOMO]NYH MNOVESTWU A. uTWER- VDENIE O RAWNOMO]NOSTI MNOVESTW A I B MOVNO ZAPISATX TAK: |A| = |B|. sEMEJ-

STWO |A| NAZYWA@T MO]NOSTX@ MNOVESTWA A.

tEOREMA 1. A = {a1; . . . ; an} B = {b1; . . . ; bm} n = m.

zADA^A 1. dOKAVITE \TU TEOREMU.

mO]NOSTX@ KONE^NOGO MNOVESTWA A = {a1; . . . ; an} MOVNO S^ITATX NATURALXNOE ^ISLO n, TAK KAK, ZADAWAQ TAKOE ^ISLO, MY ZADAEM I KLASS WSEH (POPARNO RAWNO- MO]NYH) MNOVESTW WIDA {a1; . . . ; an}. oBRATNO, KAVDYJ TAKOJ KLASS ODNOZNA^NO OPREDELQET NATURALXNOE ^ISLO n KAK ^ISLO \LEMENTOW W KAVDOM MNOVESTWE DANNO - GO KLASSA. bUDEM PISATX: |A| = n. eSTESTWENNO S^ITAETSQ, ^TO MO]NOSTX PUSTOGO MNOVESTWA RAWNA NUL@: | | = 0.

15

zADA^A 2. dOKAVITE, ^TO ESLI A — KONE^NOE MNOVESTWO, TO |2A| = 2|A|. zADA^A 3. dOKAVITE, ^TO ESLI A, B — KONE^NOE MNOVESTWO, TO |BA| = |B||A|.

pEREJDEM TEPERX K ISSLEDOWANI@ MO]NOSTI BESKONE^NYH MNOVESTW . tAKOWY HORO[O IZWESTNYE NAM ^ISLOWYE MNOVESTWA N, Z, Q I R. l@BOE MNOVESTWO, RAW- NOMO]NOE MNOVESTWU WSEH NATURALXNYH ^ISEL , NAZYWA@T S^ETNYM. l@BU@ BIEK- CI@ ν : N → M NAZYWA@T NUMERACIEJ S^ETNOGO MNOVESTWA M; ESLI \LEMENT M ESTX ν(n) DLQ NEKOTOROGO n N, TO \TOT \LEMENT M OBOZNA^AEM ^EREZ an, NAZYWAQ NATURALXNOE ^ISLO n NOMEROM \LEMENTA an OTNOSITELXNO DANNOJ NUMERACII ν.

tEOREMA 2. l@BOE PODMNOVESTWO S^ETNOGO MNOVESTWA KONE^NO ILI S^ETNO .

dOK–WO. pUSTOE PODMNOVESTWO KONE^NO PO OPREDELENI@ . pUSTX M — S^ETNOE MNOVESTWO, A B — EGO NEKOTOROE NEPUSTOE PODMNOVESTWO. pOSKOLXKU MNOVESTWO M S^ETNO, MOVNO S^ITATX, ^TO ZADANA NEKOTORAQ EGO NUMERACIQ. sLEDOWATELXNO, KAVDYJ \LEMENT PODMNOVESTWA B IMEET SWOJ NOMER. zAPI[EM NOMERA \LEMENTOW MNOVESTWA B W PORQDKE WOZRASTANIQ: i1, . . . , in, . . . eSLI SREDI NIH ESTX NAI- BOLX[IJ NOMER ip, TO PODMNOVESTWO B KONE^NO. w PROTIWNOM SLU^AE POLU^IM S^ETNOE PODMNOVESTWO {ai1 ; ai2 ; . . . ; ain ; . . . }, NUMERACIQ KOTOROGO USTANOWLENA TAK:

ν(n) = ain . .

tEOREMA 3. oB_EDINENIE KONE^NOGO ILI S^ETNOGO SEMEJSTWA S^ETNYH MNOVESTW S^ETNO.

dOK–WO. pUSTX {Ai}i I — KONE^NOE ILI S^ETNOE SEMEJSTWO S^ETNYH MNOVESTW .

rASSMOTRIM SNA^ALA SLU^AJ, KOGDA MNOVESTWA Ai POPARNO NE PERESEKA@TSQ.

w \TOM SLU^AE NUMERACIQ OB_EDINENIQ KONE^NOGO SEMEJSTWA S^ETNYH MNOVESTW MOVET BYTX PROWEDENA PO SHEME, IZOBRAVENNOJ NA RIS. 4, A NUMERACIQ OB_EDINENIQ

S^ETNOGO SEMEJSTWA S^ETNYH MNOVESTW — PO SHEME, PRIWEDENNOJ NA RIS. 5.

pUSTX TEPERX {Ai}i I — PROIZWOLXNOE KONE^NOE ILI S^ETNOE SEMEJSTWO S^ET - NYH MNOVESTW, T.E. MNOVESTWA Ai MOGUT PERESEKATXSQ. w \TOM SLU^AE, PRIMENQQ UKAZANNYE NA RIS. 4 I RIS. 5 SHEMY NUMERACII K KONE^NOMU ILI S^ETNOMU OB_EDI - NENI@ S^ETNYH MNOVESTW, SLEDUET PROPUSKATX KAVDYJ RAZ \LEMENTY, KOTORYE UVE POLU^ILI NOMERA. .

tEOREMA 4. mNOVESTWO RACIONALXNYH ^ISEL Q S^ETNO.

dOK–WO. kAVDOMU RACIONALXNOMU ^ISLU, PREDSTAWLENNOMU NESOKRATIMOJ DRO- BX@ ab , ODNOZNA^NO SOOTWETSTWUET UPORQDO^ENNAQ PARA (a; b), I, NAPROTIW, L@BAQ

16

UPORQDO^ENNAQ PARA (a; b) WZAIMNO PROSTYH CELYH ^ISEL a I b > 0, ODNOZNA^NO

i N

oTKUDA, SOGLASNO TEOREME 3, WYTEKAET S^ETNOSTX MNOVESTWA Z × N KAK S^ETNOGO OB_EDINENIQ S^ETNYH MNOVESTW. iZ TEOREMY 2 WYTEKAET, ^TO L@BOE EGO BESKONE^- NOE PODMNOVESTWO S^ETNO. tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWO Q S^ETNO. .

sLEDU@]AQ TEOREMA OBOB]AET TEOREMU 4. pRIWEDEM EE BEZ DOKAZATELXSTWA.

tEOREMA O KWADRATE. dLQ L@BOGO BESKONE^NOGO MNOVESTWA M EGO DEKARTOW KWADRAT M × M RAWNOMO]EN SAMOMU MNOVESTWU M.

tEOREMA 5. (tEOREMA kANTORA). mNOVESTWO DEJSTWITELXNYH ^ISEL OTREZKA [0, 1] NE ESTX S^ETNOE MNOVESTWO.

dOK–WO. pUSTX MNOVESTWO [0, 1] S^ETNOE. tOGDA SU]ESTWUET BIEKCIQ ϕ: N → [0, 1]. pREDSTAWIM DEJSTWITELXNYE ^ISLA OTREZKA [0, 1] W DWOI^NOJ SISTEME S^I- SLENIQ, S^ITAQ 1 = 0.111 . . . . wYPI[EM WSE ^ISLA ϕ(n):

ϕ(1) = 0.α11α12 . . . α1n . . . , ϕ(2) = 0.α21α22 . . . α2n . . . ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ϕ(n) = 0.αn1αn2 . . . αnn . . . ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

pOSTROIM ^ISLO β = 0.β1 . . . βn . . . IZ [0, 1]: POLOVIM βi = 1, ESLI αii = 0, I βi = 0, ESLI αii = 1. qSNO, ^TO \TO ^ISLO NE SOWPADAET NI S ODNIM ^ISLOM WIDA ϕ(n), A \TO PROTIWORE^IT DOPU]ENI@, ^TO L@BOE ^ISLO IZ [0, 1] ESTX ϕ(k) DLQ NEKOTOROGO k. pO\TOMU OTREZOK [0, 1] NE QWLQETSQ S^ETNYM. .

iTAK, N NE RAWNOMO]NO [0, 1]. w TO VE WREMQ [0, 1] SODERVIT PODMNOVESTWO ^ISEL, W DWOI^NOJ ZAPISI KOTORYH TOLXKO ODIN ^LEN OTLI^EN OT NULQ . |TO POD- MNOVESTWO RAWNOMO]NO SAMOMU N. sLEDOWATELXNO, MNOVESTWO [0, 1] BESKONE^NO, NO NE RAWNOMO]NO S^ETNOMU MNOVESTWU. mO]NOSTX OTREZKA [0, 1] NAZYWA@T MO]NO- STX@ KONTINUUMA, A L@BOE MNOVESTWO, RAWNOMO]NOE OTREZKU [0, 1], NAZYWA@T

MNOVESTWOM MO]NOSTI KONTINUUMA ILI KONTINUALXNYM MNOVESTWOM.

zADA^A 4. dOKAVITE, ^TO ESLI A — BESKONE^NOE MNOVESTWO, A B — EGO KONE^NOE PODMNOVESTWO, TO A A \ B.

zADA^A 5. dOKAVITE, ^TO SLEDU@]IE MNOVESTWA RAWNOMO]NY:

[0, 1] (0, 1) [a, b] R 2N a, b R (a < b).

mO]NOSTX MNOVESTW MOVNO W OPREDELENNOM SMYSLE SRAWNIWATX , GOWORQ O BOLX- [EJ ILI MENX[EJ MO]NOSTI. s^ITA@T, ^TO MO]NOSTX MNOVESTWA A NE PREWY[AET

17

MO]NOSTX MNOVESTWA MNOVESTWA B.

mO]NOSTX MNOVESTWA A S^ITAETSQ STROGO MENX[EJ MO]NOSTI MNOVESTWA B (|A| < |B|), ESLI MNOVESTWA A I B NERAWNOMO]NY I SU]ESTWUET SOBSTWENNOE POD - MNOVESTWO C MNOVESTWA B, RAWNOMO]NOE MNOVESTWU A, T.E. (A 6 B) I ( C

B)(A C).

pRIWEDEM SLEDU@]U@ TEOREMU BEZ DOKAZATELXSTWA .

tEOREMA kANTORA — bERN[TEJNA. dLQ L@BYH DWUH MNOVESTW A I B IMEET MESTO W TO^NOSTI ODNO IZ SLEDU@]IH TREH USLOWIJ : LIBO |A| < |B|, LIBO |B| < |A|, LIBO |B| = |A|.

iZ \TOJ TEOREMY SLEDUET, ^TO L@BYE DWA MNOVESTWA SRAWNIMY PO MO]NOSTI . a IZ TEOREMY 2 I OPREDELENIJ SLEDUET, ^TO MO]NOSTX S^ETNOGO MNOVESTWA QWLQ- ETSQ NAIMENX[EJ SREDI MO]NOSTEJ BESKONE^NYH MNOVESTW . mOVNO SKAZATX, ^TO WSQKOE BESKONE^NOE MNOVESTWO NE MENEE ^EM S^ETNO . nAKONEC, IZ TEOREMY kANTORA WYTEKAET, ^TO |N| < |[0, 1]|.

tEOREMA 5 OBOB]AETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM.

tEOREMA 6. dLQ L@BOGO MNOVESTWA A WERNO NERAWENSTWO |2A| > |A|.

dOKAZATELXSTWO SM. [z, STR. 26].

w SILU \TOJ TEOREMY NET NAIBOLX[EJ MO]NOSTI, TAK KAK DLQ L@BOGO MNOVESTWA A SU]ESTWUET MNOVESTWO BOLX[EJ MO]NOSTI — EGO BULEAN.

6pREDEL ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTI

sM. [z, STR. 77–80].

6.1oPREDELENIE I PRIMERY

eSLI KAVDOMU NOMERU n N SOPOSTAWLENO EDINSTWENNOE ^ISLO xn R, TO GOWORQT, ^TO ZADANA ^ISLOWAQ POSLEDOWATELXNOSTX, KOTORAQ OBOZNA^AETSQ ^EREZ

pRI \TOM ^ISLO xn NAZYWA@T n–YM \LEMENTOM POSLEDOWATELXNOSTI, xn+1 — SLEDU@]IM ZA xn, A xn−1 — PRED[ESTWU@]IM xn.

w WY^ISLITELXNYH ALGORITMAH POSLEDOWATELXNOSTX OTRAVAET HOD PROCESSA PO - SLEDOWATELXNYH PRIBLIVENIJ K ISKOMOMU RE[ENI@ , A PRI IZMERENII KAKOJ-LIBO

FIZI^ESKOJ WELI^INY ILI PARAMETRA TEHNI^ESKOGO OB_EKTA RAZLI^NYMI SPOSOBA - MI I S RAZLI^NOJ TO^NOSTX@ POSLEDOWATELXNOSTX REZULXTATOW HARAKTERIZUET IH BLIZOSTX K ISTINNOMU ZNA^ENI@.

pOSLEDOWATELXNOSTX MOVNO RASSMATRIWATX KAK OTOBRAVENIE n 7→xn IZ N W R. oBRAZ \TOGO OTOBRAVENIQ NAZYWA@T MNOVESTWOM POSLEDOWATELXNOSTI. oTLI- ^IE PONQTIQ POSLEDOWATELXNOSTI OT MNOVESTWA W TOM , ^TO W MNOVESTWE PORQDOK \LEMENTOW NE OPREDELEN, A W POSLEDOWATELXNOSTI OPREDELEN.

pOSLEDOWATELXNOSTX NAZYWA@T OGRANI^ENNOJ (SWERHU, SNIZU), ESLI EE MNO- VESTWO OGRANI^ENO (SWERHU, SNIZU). pOSLEDOWATELXNOSTX NAZYWA@T POSTOQNNOJ, ESLI EE MNOVESTWO SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA .

18

tO^KU b R ^ISLOWOJ PRQMOJ NAZYWA@T PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI {xn}

I OBOZNA^A@T b = lim xn (ILI b = lim xn, ILI ”xn → b PRI

n→∞

BY NI BYLO POLOVITELXNOE ^ISLO ε, MOVNO NAJTI TAKOE NATURALXNOE ^ISLO N, ^TO NA^INAQ S NOMERA n = N + 1 WSE \LEMENTY POSLEDOWATELXNOSTI POPADA@T W ε–OKRESTNOSTX TO^KI b, T.E.

b = lim{xn} ε > 0 N = N(ε) N : (n > N |xn − b| < ε). (1)

w OB]EM SLU^AE N ZAWISIT OT ε, NA ^TO UKAZYWAET W (1) OBOZNA^ENIE N(ε). kAK PRAWILO, ^EM MENX[E ^ISLO ε, TEM BOLX[E N.

pOSLEDOWATELXNOSTX, DLQ KOTOROJ SU]ESTWUET KAKOJ LIBO PREDEL , NAZYWA@T

SHODQ]EJSQ (SHODQ]EJSQ K TO^KE b), A ESLI NIKAKOGO PREDELA NET, TO — RAS- HODQ]EJSQ.

oPREDELENIE PO GEOMETRI^ESKOMU SMYSLU OZNA^AET , ^TO KAKOJ BY MALYJ IN- TERWAL DLINY 2ε S CENTROM W TO^KE b NI WZQTX NA ^ISLOWOJ PRQMOJ, WSE \LEMENTY POSLEDOWATELXNOSTI {xn}, NA^INAQ S NEKOTOROGO NOMERA N + 1, DOLVNY POPADATX W \TOT INTERWAL (RIS. 6). wNE EGO BUDET TOLXKO KONE^NOE ^ISLO \LEMENTOW POSLEDO - WATELXNOSTI.

rIS. 6

oTS@DA SLEDUET, ^TO DOBAWLENIE K POSLEDOWATELXNOSTI KONE^NOGO ^ISLA \LEMEN - TOW ILI ISKL@^ENIE IZ NEE KONE^NOGO ^ISLA \LEMENTOW NE WLIQET NA EE SHODIMOSTX I ZNA^ENIE EE PREDELA, IZMENQETSQ LI[X NOMER, NA^INAQ S KOTOROGO WSE \LEMENTY

POSLEDOWATELXNOSTI POPADA@T W WYBRANNU@ ε–OKRESTNOSTX TO^KI b.

DOSTATO^NO WYBRATX N = [loga(ε)].

6.2sWOJSTWA SHODQ]IHSQ POSLEDOWATELXNOSTEJ

tEOREMA 1. wSQKAQ SHODQ]AQSQ POSLEDOWATELXNOSTX IMEET TOLXKO ODIN PREDEL .

dOK–WO. pUSTX U SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI {xn} PO MENX[EJ MERE DWA PREDELA b1 I b2, PRI^EM b1 6= b2. tOGDA, PO OPREDELENI@ PREDELA,

19

pRIMEM ε = |b2 − b1|/3 I PRI n > max{N1; N2} IZ NERAWENSTWA TREUGOLXNIKA SLE- DUET, ^TO

2

|b2 − b1| = |xn − b1 + b2 − xn| 6 |xn − b1| + |xn − b2| < ε + ε = 3 |b2 − b1|.

w ITOGE PRIHODIM K PROTIWORE^I@: |b2 − b1| < 2 |b2 − b1|/3. pO\TOMU b1 = b2, ^TO OZNA^AET EDINSTWENNOSTX PREDELA SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI (\TO O^EWIDNO, ESLI WSPOMNITX GEOMETRI^ESKIJ SMYSL PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI ; W SAMOM DELE, NELXZQ, NA^INAQ S NEKOTOROGO NOMERA, ULOVITX WSE POSLEDU@]IE \LEMENTY POSLE- DOWATELXNOSTI W DWE NEPERESEKA@]IESQ OKRESTNOSTI DWUH TO^EK ).

tEOREMA 2. wSQKAQ SHODQ]AQSQ POSLEDOWATELXNOSTX OGRANI^ENA , T.E.

lim{xn} R = M > 0 : n N |xn| 6 M.

dOK–WO. iZ OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO DLQ SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI S PREDELOM b R W EGO ε–OKRESTNOSTX (b−ε, b+ε) POPADA@T WSE \LEMENTY xn NA^INAQ S OPREDELENNOGO NOMERA N + 1. wYBEREM

M = max{|x1|; |x2|; . . . ; |xN |; |b − ε|; |b + ε|}.

tOGDA |xn| 6 M n N, ^TO OTWE^AET USLOWI@ OPREDELENIQ OGRANI^ENNOJ POSLE - DOWATELXNOSTI. .

pRIMER 4: POSLEDOWATELXNOSTX {qn} PRI |q| > 1 NEOGRANI^ENA, I PO\TOMU NE IMEET PREDELA.

tEOREMA 3 (ARIFMETI^ESKIE SWOJSTWA PREDELOW POSLEDOWATELXNOSTEJ).

eSLI POSLEDOWATELXNOSTI {xn} I {yn} SHODQTSQ SOOTWETSTWENNO K PREDELAM a I b, TO

1)lim(xn + yn) = a + b,

2)lim(xnyn) = ab,

3)lim(cxn) = ca,

4) lim(xn/yn) = a/b, ESLI b 6= 0.

dOK–WO POZVE.

7tEOREMY SU]ESTWOWANIQ PREDELOW POSLEDOWA - TELXNOSTEJ

7.1kRITERIJ kO[I SHODIMOSTI POSLEDOWATELXNOSTI

pOSLEDOWATELXNOSTX {xn} NAZYWA@T FUNDAMENTALXNOJ, ESLI DLQ L@BOGO POLO- VITELXNOGO ^ISLA ε MOVNO UKAZATX TAKOE NATURALXNOE ^ISLO N, ^TO ABSOL@TNOE ZNA^ENIE RAZNOSTI L@BYH DWUH EE \LEMENTOW S NOMERAMI , BOLX[IMI N, MENX[E ε, T.E. ESLI

ε > 0 N = N(ε) N : m, n > N |xn − xm| < ε.

20