MAiu9

zADA^A 4. pUSTX SEMEJSTWO B — \TO WSE INTERWALY, SODERVA]IE [a, b]. pOKA-

VITE, ^TO B — BAZA W R. dLQ KAKIH FUNKCIJ f : R → R IMEEM lim f(x) = d R?

B

zADA^A 5. pUSTX BAZA B W A SOSTOIT IZ ODNOGO NEPUSTOGO MNOVESTWA b A.

dLQ KAKIH FUNKCIJ f : A → R IMEEM lim f(x) = d R?

B

uSLOWIE (4) OPREDELQET KONE^NYJ PREDEL FUNKCII PO BAZE (d — ^ISLO). dLQ OPREDELENIQ BESKONE^NOGO PREDELA DOSTATO^NO ZAMENITX \TO USLOWIE NA SLEDU@ - ]EE:

lim f(x) = ∞ E > 0 b = b(E) B : x b |f(x)| > E.

B

11 oSNOWNYE SWOJSTWA PREDELA FUNKCII

sM. [z, STR. 108–114].

11.1oB]IE SWOJSTWA

tEOREMA 1 (O EDINSTWENNOSTI PREDELA FUNKCII). eSLI FUNKCIQ f(x) IMEET KONE^NYJ PREDEL PO BAZE B, TO \TOT PREDEL EDINSTWENNYJ.

dOK–WO. oT PROTIWNOGO: PUSTX d1, d2 — DWA PREDELA I d1 6= d2. tOGDA DLQ KAVDOGO ε > 0 SU]ESTWUET TAKIE DWA \LEMENTA b1(ε) I b2(ε) BAZY B, ^TO

x bi(ε) |f(x) − di| < ε PRI i = 1, 2.

pOLOVIM ε = |d1 − d2|/2. pO OPREDELENI@ BAZY SU]ESTWUET TAKOJ \LEMENT b3 BAZY B, ^TO b3 b1(ε) ∩ b2(ε). tAK KAK \LEMENT BAZY NEPUSTOE MNOVESTWO , SU]ESTWUET x b3. dLQ TAKOGO x, ISPOLXZUQ NERAWENSTWO TREUGOLXNIKA, POLU^AEM:

|d1 − d2| 6 |d1 − f(x)| + |f(x) − d2| < 2ε = |d1 − d2|.

pRI[LI K PROTIWORE^I@: |d1 − d2| < |d1 − d2|, KOTOROE DOKAZYWAET TEOREMU. tEOREMA 2 (O SOHRANENII ZNAKA).

lim f(x) = d 6= 0 = b B : x b f(x) > d/2, d > 0; f(x) < d/2, d < 0.

B

dOK–WO. dLQ ε = |d|/2 PO OPREDELENI@ PREDELA

b = b(ε) B : x b |f(x) − d| < |d|/2, T.E. d − |d|/2 < f(x) < d + |d|/2.

iMEEM f(x) > d − |d|/2 = d/2 PRI d > 0, I f(x) < d + |d|/2 = d/2 PRI d < 0. .

fUNKCI@ f : A → R NAZYWA@T OGRANI^ENNOJ NA MNOVESTWE D A, ESLI MNOVESTWO f(D) OGRANI^ENO, T.E. SU]ESTWUET KONSTANTA C > 0, TAKAQ, ^TO x D

|f(x)| 6 C.

31

tEOREMA 3 (O LOKALXNOJ OGRANI^ENNOSTI FUNKCII, IME@]EJ PREDEL). lim f(x) = d — ^ISLO SU]ESTWUET MNOVESTWO b B, NA KOTOROM f(x)

B

OGRANI^ENO.

dOK–WO. dLQ ε = 1 PO OPREDELENI@ PREDELA b = b(ε) B : x b |f(x)−d| < 1, T.E. d − 1 < f(x) < d + 1 I MNOVESTWO f(b) OGRANI^ENO.

tEOREMA 4 (O PREDELXNOM PEREHODE W NERAWENSTWE).

OPREDELENI@ BAZY SU]ESTWUET TAKOJ \LEMENT b3 BAZY B, ^TO b3 b1(ε) ∩ b2(ε) ∩ b. tAK KAK \LEMENT BAZY NEPUSTOE MNOVESTWO , SU]ESTWUET x b3. dLQ TAKOGO x POLU^AEM:

f1(x) > d1 − ε = d2 + ε > f2(x) > f1(x).

pRI[LI K PROTIWORE^I@: f1(x) > f1(x), KOTOROE DOKAZYWAET TEOREMU.

pRIMER 1. lim x2 = 0, HOTQ x2 > 0 PRI x 6= 0. tAKIM OBRAZOM, PREDELXNYJ

x→0

PEREHOD W STROGOM NERAWENSTWE MOVET DAWATX RAWENSTWO .

11.2tEOREMY SU]ESTWOWANIQ PREDELOW FUNKCIJ

tEOREMA 5 (O PREDELE PROMEVUTO^NOJ FUNKCII).

dOK–WO. dLQ KAVDOGO ε > 0 SU]ESTWUET TAKIE DWA \LEMENTA b1(ε) I b2(ε) BAZY B, ^TO PRI i = 1, 2

x bi(ε) |fi(x) − d| < ε ILI d − ε < fi(x) < d + ε.

pO OPREDELENI@ BAZY SU]ESTWUET TAKOJ \LEMENT b3 BAZY B, ^TO b3 b1(ε)∩b2(ε)∩b. tOGDA

x b3 d − ε < f1(x) 6 g(x) 6 f2(x) < d + ε. t.E. ε > 0 b3 B : x b3 |g(x) − d| < ε.

tEOREMA 6 (O SWQZI ODNOSTORONNIH I DWUSTORONNEGO PREDELOW).

pUSTX a — PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTW A ∩ (a, +∞) I A ∩ (−∞, a), f : A → R. tOGDA

32

: TAK KAK a — PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA A ∩ (a, +∞) (I A ∩ (−∞, a)),

TO a — PREDELXNAQ TO^KA I MNOVESTWA A TOVE. s DRUGOJ STORONY, PO OPREDELENI@ ODNOSTORONNIH PREDELOW

tEOREMA 7 (KRITERIJ kO[I SU]ESTWOWANIQ PREDELA FUNKCII PO BAZE).

lim f(x) ε > 0 b = b(ε) B : x, z b |f(x) − f(z)| < ε.

B

bEZ DOK–WA.

11.3oPREDELENIE PREDELA PO gEJNE

oPR. PREDELA PO gEJNE. pUSTX A R, f : A → R, a — PREDELXNAQ TO^KA A. tO^KU d R NAZYWA@T PREDELOM FUNKCII f(x) W TO^KE a R, ESLI DLQ L@BOJ IME@]EJ PREDELOM TO^KU a POSLEDOWATELXNOSTI {xn} ZNA^ENIJ xn A ARGUMEN- TA FUNKCII, NE SOWPADA@]IH S a, SOOTWETSTWU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX {f(xn)} ZNA^ENIJ f(xn) FUNKCII IMEET PREDELOM TO^KU d. bUDEM ISPOLXZOWATX OBOZNA^E-

NIE: d = lim f(x) PO gEJNE. w OTLI^II OT \TOGO OPREDELENIQ OPREDELENIE PREDELA

x→a

FUNKCII, DANNOE RANEE, BUDEM NAZYWATX PO kO[I.

tEOREMA 8 (OB \KWIWALENTNOSTI DWUH OPREDELENIJ).

dOK–WO. : PUSTX FUNKCIQ f : A → R IMEET W TO^KE a PREDEL d PO kO[I. tOGDA DLQ PROIZWOLXNOGO ε > 0

rASSMOTRIM STREMQ]U@SQ K a POSLEDOWATELXNOSTX {xn},

W A I NE SOWPADA@T S a. pO OPREDELENI@ PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI

N = N(δ) N n > N xn U˙ δ(a).

sLEDOWATELXNO, DLQ PROIZWOLXNOGO ε > 0 SU]ESTWUET TAKOJ NOMER N, ^TO n > N |f(xn) − d| < ε. |TO OZNA^AET, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX {f(xn)} IMEET PREDEL d.

33

oT PROTIWNOGO: PUSTX d — PREDEL PO gEJNE, NO NE PREDEL PO kO[I FUNKCII f(x) W TO^KE a R. iSPOLXZUQ PRAWILO POSTROENIQ OTRICANIQ WYSKAZYWANIJ S KWANTORAMI, POSLEDNEE USLOWIE MOVNO PEREPISATX W WIDE

^TO |f(xn) − d| > ε. pOLU^ILI POSLEDOWATELXNOSTX {xn} W A \ {a}. |TA POSLEDOWA- TELXNOSTX SHODITSQ K a, TAK KAK xn U˙ δn (a), A δn → 0. pO OPREDELENI@ PREDELA

PO gEJNE POSLEDOWATELXNOSTX {f(xn)} DOLVNA SHODITXSQ K d, NO \TO PROTIWORE^IT USLOWI@ |f(xn) − d| > ε, ^TO DOKAZYWAET UTWERVDENIE . .

iZ TEOREMY 8 SLEDUET, ^TO W RASSUVDENIQH MY MOVEM ISPOLXZOWATX KAK OPRE - DELENIE PREDELA FUNKCII PO kO[I, TAK I PO gEJNE. oPREDELENIE PO gEJNE UDOBNO ISPOLXZOWATX DLQ DOKAZATELXSTWA TOGO , ^TO PREDEL FUNKCII W DANNOJ TO^KE NE SU- ]ESTWUET. a IMENNO, ESLI DLQ DWUH RAZLI^NYH POSLEDOWATELXNOSTEJ {xn} I {zn}, IME@]IH ODINAKOWYJ PREDEL a, POSLEDOWATELXNOSTI {f(xn)} I {f(zn)} IME@T RAZ-

LI^NYE PREDELY, TO W \TOM SLU^AE lim f(x) NE SU]ESTWUET.

x→a

pRIMER 2. pUSTX f(x) = sin(1/x). gRAFIK \TOJ FUNKCII POKAZAN NA RIS. 12, NO POLU^ITX IZ NEGO PREDSTAWLENIE O EE POWEDENII W OKRESTNOSTI TO^KI x = 0 TRUDNO. dOKAVEM, ^TO DANNAQ FUNKCIQ NE IMEET PREDELA W TO^KE 0.

rIS. 12

wYBEREM SHODQ]U@SQ K \TOJ TO^KE POSLEDOWATELXNOSTX {xn} = nπ1 . qSNO, ^TO A = R \ {0} — OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII, xn 6= 0 n N I lim xn = 0. tOGDA

f(xn) = sin(nπ) ≡ 0 I lim f(xn) = 0.

n o

wOZXMEM TEPERX SHODQ]U@SQ K TOJ VE TO^KE POSLEDOWATELXNOSTX {zn} = 2 ,

(4n+1)π

DLQ KOTOROJ f(zn) = sin (4n + 1)π/2 ≡ 1 I lim f(zn) = 1.

dWE POSLEDOWATELXNOSTI DALI RAZNYE REZULXTATY , ^TO PROTIWORE^IT USLOWI@ OPREDELENIQ PREDELA FUNKCII PO gEJNE, T.E. DANNAQ FUNKCIQ NE IMEET PREDELA W TO^KE x = 0.

12 bESKONE^NO MALYE FUNKCII

12.1bESKONE^NO MALYE, BESKONE^NO BOLX[IE FUNKCII I IH

SWOJSTWA

fUNKCI@ α(x) NAZYWA@T BESKONE^NO MALOJ (B.M.) PO BAZE B lim α(x) = 0.

B

34

pRIMER 1. fUNKCIQ f(x) = x — B.M. PRI x → 0 ILI PRI x → 0±, NO NE QWLQETSQ B.M. PRI DRUGIH STREMLENIQH x.

tEOREMA 1 (O SWQZI FUNKCII, EE PREDELA I BESKONE^NO MALOJ).

lim f(x) = d R f(x) = d + α(x), GDE α(x)— B.M. PO BAZE B.

B

dOK–WO. : PUSTX FUNKCIQ f(x) IMEET KONE^NYJ PREDEL d PO BAZE B. sO- GLASNO OPREDELENI@ PREDELA IMEEM:

ε > 0 b = b(ε) B : x b |f(x) − d| < ε.

nO \TO W SILU OPREDELENIQ B.M. OZNA^AET, ^TO FUNKCIQ α(x) = f(x) − d ESTX B.M. PO BAZE B.

: PUSTX TEPERX f(x) = d + α(x), GDE α(x) — B.M. PO BAZE B. tOGDA, SOGLASNO OPREDELENI@ B.M., IMEEM

ε > 0 b = b(ε) B : x b |α(x)| = |f(x) − d| < ε,

A \TO OZNA^AET, ^TO SU]ESTWUET PREDEL PO BAZE B FUNKCII f(x) I ON RAWEN d. .

fUNKCI@ f(x) NAZYWA@T BESKONE^NO BOLX[OJ (B.B.) PO BAZE B

lim f(x) = ∞.

B

pRIMER 2. f(x) = x PRI x → ∞.

tEOREMA 2 (O SWQZI B.B. I B.M.).

dOK–WO. : PUSTX FUNKCIQ f(x) — B.B. PO BAZE B. wYBEREM PROIZWOLXNOE ε > 0. dLQ E = 1/ε, SOGLASNO OPREDELENI@, IMEEM

b = b(E) B : x b |f(x)| > E.

pO\TOMU x b f(x) 6= 0, TAK KAK E > 0, I |1/f(x)| = 1/|f(x)| < ε. pOSKOLXKU ε — PROIZWOLXNOE POLOVITELXNOE, TO \TO OZNA^AET, ^TO FUNKCIQ 1/f(x) ESTX B.M. PO BAZE B.

: PUSTX FUNKCIQ f(1x) — B.M. PO BAZE B. wYBEREM PROIZWOLXNOE E > 0. dLQ

ε= 1/E, SOGLASNO OPREDELENI@, IMEEM

pRIMER 3. sRAWNITE x I 1/x PRI x → 0 I PRI x → ∞.

35

tEOREMA 3 (ARIFMETI^ESKIE SWOJSTWA BESKONE^NO MALYH).

dOK–WO 1) pO OPREDELENI@ B.M.

pO OPREDELENI@ BAZY SU]ESTWUET TAKOJ \LEMENT b3 BAZY B, ^TO b3 b1 ∩b2. tOGDA, ISPOLXZUQ NERAWENSTWO TREUGOLXNIKA, POLU^AEM

a\TO OZNA^AET, ^TO FUNKCIQ α(x) + β(x) — B.M. PO BAZE B.

2)dLQ OGRANI^ENNOJ W b B FUNKCII f(x) MOVNO UKAZATX TAKOE ^ISLO C > 0, ^TO x b |f(x)| 6 C. pO OPREDELENI@ B.M. IMEEM

pO OPREDELENI@ BAZY SU]ESTWUET TAKOJ \LEMENT b2 BAZY B, ^TO b2 b1 ∩ b. tOGDA

aZNA^IT, FUNKCIQ α(x)f(x) — B.M. PO BAZE B.

3)pO TEOREME O LOKALXNOJ OGRANI^ENNOSTI FUNKCII , IME@]EJ PREDEL, B.M. β(x) OGRANI^ENA NA NEKOTOROM b B. oTS@DA I IZ PUNKTA 2) SLEDUET, ^TO α(x)β(x) — B.M. PO BAZE B.

4)iZ TEOREMY O SOHRANENII ZNAKA

M. PO BAZE B. .

12.2oSNOWNYE TEOREMY O PREDELAH FUNKCIJ (OKON^ANIE)

tEOREMA 4 (ARIFMETI^ESKIE SWOJSTWA PREDELOW).

36

dOK–WO SLEDUET IZ TEOREM 1 I 3. dOKAVEM UTWERVDENIE 2. tAK KAK lim f(x) = a

B

I lim g(x) = d, TO PO TEOREME 1 f(x) = a + α(x) I g(x) = d + β(x), GDE α(x) I β(x) —

B

B.M. PO BAZE B. pO\TOMU

f(x)g(x) = (a + α(x))(d + β(x)) = ad + aβ(x) + α(x)d + α(x)β(x) = ad + γ(x),

GDE γ(x) = aβ(x) + α(x)d + α(x)β(x) — B.M. PO BAZE B SOGLASNO TEOREME 3 (^ASTI 2,

3, 1). oTS@DA, ISPOLXZUQ TEOREMU 1, POLU^AEM lim f(x)g(x) = ad.

B

uTWERVDENIQ 1, 3, 4 DOKAZYWA@TSQ ANALOGI^NO. .

w P. 10.2 BYLO OTME^ENO, ^TO PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI — \TO ^ASTNYJ SLU^AJ PREDELA PO BAZE. sLEDOWATELXNO, DANNAQ TEOREMA PRIMENIMA I K POSLEDOWATELXNO - STQM (SM. TEOREMU 3 IZ §6).

tEOREMA 4 IMEET ANALOGI DLQ SLU^AEW, KOGDA a ILI (I) d — BESKONE^NOSTI. dLQ IH DOKAZATELXSTWA MOVNO ISPOLXZOWATX TEOREMY 4 I 2.

zADA^A 1. dOKAVITE, ^TO

tEOREMA 5 (PREDEL SLOVNOJ FUNKCII ILI ZAMENA PEREMENNOJ W PREDELE).

sLU^AJ BESKONE^NOGO PREDELA DOKAZYWAETSQ ANALOGI^NO . .

pRI WY^ISLENII PREDELOW PRIMENQETSQ, KAK PRAWILO, SLEDU@]IJ WARIANT PRAWILA ZAMENY PEREMENNOJ.

sLEDSTWIE 1.

37

dOK–WO. oBOZNA^IM Bx = B, Bz — BAZA z → a W Z. tOGDA USLOWIQ 1 I 2 TEOREMY 5 WYPOLNQ@TSQ. dOKAVEM USLOWIE 3. l@BOJ \LEMENT BAZY Bz ESTX MNOVESTWO WIDA

U˙ ε(a) DLQ NEKOTOROGO ε > 0. iZ OPREDELENIQ PREDELA lim f(x) SLEDUET, ^TO

B

bx = bx(ε) B : x bx |f(x) − d| < ε.

pO OPREDELENI@ BAZY SU]ESTWUET TAKOJ \LEMENT b1 BAZY B, ^TO b1 bx ∩ b. tOGDAx b1 f(x) U˙ ε(d), T.E. f(b1) U˙ ε(d). tAK KAK W \TIH RASSUVDENIQH ε —

PROIZWOLXNOE POLOVITELXNOE ^ISLO, TO USLOWIE 3 TEOREMY 5 WYPOLNQETSQ, A ZNA^IT, PREDEL KOMPOZICII g ◦ f PO BAZE Bx = B SU]ESTWUET I RAWEN c. .

dANNOE SLEDSTWIE IMEET SLEDU@]IJ ANALOG DLQ SLU^AEW , KOGDA d — \TO +∞, −∞ ILI ∞ (OTMETIM, ^TO DLQ \TIH SLU^AEW USLOWIE 3 WYPOLNQETSQ WSEGDA).

TO IZ SLEDSTWIQ 2 POLU^AEM UTWERVDENIQ

zADA^A 3. dOKAVITE, ^TO ESLI W (1) PRAWYJ PREDEL NE SU]ESTWUET, TO NE SU]E- STWUET I LEWYJ, I NAOBOROT: ESLI NE SU]ESTWUET LEWYJ PREDEL, TO NE SU]ESTWUET I PRAWYJ.

13 dWA ZAME^ATELXNYH PREDELA

sM. [z, STR. 114–116, 131–133].

pERWYJ ZAME^ATELXNYJ PREDEL: lim sin x = 1.

x→0 x

wYWOD RAZOBXEM NA 4 \TAPA: 1) PUSTX x — CENTRALXNYJ UGOL ILI DLINA DUGI OKRUVNOSTI EDINI^NOGO RADIUSA PRI^EM 0 < x < π/2 (RIS. 13). sRAWNENIE PLO]ADEJ TREUGOLXNIKA OAB, SEKTORA AOB I TREUGOLXNIKA OAD DAET

0 < S4OAB < SSEK.AOB < S4OAD

38

rIS. 13

nO PRI OA = 1 S4OAB = (sin x)/2, SSEK.AOB = x/2, S4OAD = (tg x)/2 I PO\TOMU

2) iZ 1) I IZ NE^ETNOSTI FUNKCIJ POLU^AEM 0 > sin x > x > tg x PRI 0 > x > −π2

~TOBY PERENESTI NA SLU^AJ FUNKCIJ UKAZANNYE PREDELY POSLEDOWATELXNOSTEJ , PRIMENIM TEOREMU O PREDELE SLOVNOJ FUNKCII. dLQ \TOGO POLOVIM:

Z = N, Bz — BAZA n → ∞, X = (1, +∞), Bx — BAZA x → +∞, f : x 7→[x],

GDE [x] — CELAQ ^ASTX ^ISLA x. tOGDA USLOWIQ 2 I 3 TEOREMY 5 WYPOLNQ@TSQ, TAK KAK DLQ L@BOGO bz = {s, s + 1, s + 2, . . .} Bz, POLAGAQ bx = (s, +∞) Bx, POLU^AEM

f(bx) bz.

39

pREDEL PO BAZE n → ∞ FUNKCIJ (POSLEDOWATELXNOSTEJ)

wSE ^ASTI \TOGO NERAWENSTWA BOLX[E EDINICY . pO\TOMU POSLE IH WOZWEDENIQ W POLOVITELXNYE STEPENI, POKAZATELQMI KOTORYH SLUVAT SOOTWETSTWU@]IE ^ASTI NERAWENSTWA (1), POLU^IM

iSPOLXZUQ TEOREMY O PREDELE SLOVNOJ FUNKCII I OB ARIFMETI^ESKIH SWOJSTWAH PREDELOW, NAHODIM

w ITOGE PRI L@BOM SPOSOBE STREMLENIQ x K BESKONE^NOSTI SPRAWEDLIW WTOROJ ZAME^ATELXNYJ PREDEL. .

wYWOD SLEDUET IZ TEOREMY O PREDELE SLOVNOJ FUNKCII, POSKOLXKU ZAMENA PEREMENNOJ z = 1/x SWODIT DANNYJ PREDEL KO WTOROMU ZAME^ATELXNOMU PREDELU .

40