MATHAN1

ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ"

ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

1. Действительные числа

Из школьного курса считается известным понятие рационального числа. Основываясь на нем, Р. Дедекинд построил строгую теорию действительных чисел. Мы не будем излагать ее здесь. Сформулируем только одно утверждение, которое в упомянутой выше теории доказывается, но мы его примем без доказательства.

Пусть E подмножество множества R. Число M называется множества E, åñëè äëÿ âñåõ x E имеет место неравенство x ≤ M. Множество E называется ограниченным

сверху, если у него существует верхняя граница. Число m называется точной верхней гранью множества E, åñëè îíî åñòü åãî

верхняя граница, и никакое число, его меньшее, верхней границей множества E не является. Аналогично определяются поня-

тия нижней границы и точной нижней грани. Точная верхняя грань и точная нижняя грань множества обозначаются через sup E è inf E соответственно.

ПРИМЕР 1.1. Пусть E = (−∞, 0). Это множество ограничено сверху, но не ограничено снизу. Имеем sup E = 0. Мы видим,

что точная верхняя грань может и не принадлежать множеству.

Все дальнейшее изложение основано на следующем утверждении, которое мы принимаем без доказательства.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Всякое непустое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань.

Введем некоторые понятия, которые будут использоваться в дальнейшем.

Назвем ε-окрестностью точки a R интервал (a − ε, a + ε). Будем его обозначать через Uε(a). Множество Uε(a) − {a}

называется проколотой ε-окрестностью точки a. Правосторонней ε-окрестностью называется полуинтервал [a, a + ε). Аналогично определяется левосторонняя ε-окрестность.

1

Пусть E R. Точка a называется предельной точкой множества E, если каждая окрестность точки a содержит точку из E, отличную от a. Åñëè a E и точка a не является предельной точкой множества E, òî a называется изолированной точкой этого множества. Множество E называется замкнутым, åñëè

оно содержит все свои предельные точки.

Точка a называется внутренней точкой множества E, если она имеет такую окрестность Uε(a), ÷òî Uε(a) E. Множество E называется открытым, если все его точки внутренние.

ПРИМЕР 1.2. Интервал есть открытое множество. Отрезок

есть замкнутое множество. Множество, состоящее из одной точки, замкнуто (проверьте!).

ПРИМЕР 1.3. Пусть E = (0, 1] {2}. Множество предельных точек множества E есть отрезок [0, 1]. Точка 2 изолированная точка множества E. Предельная точка 0 множеству E не принадлежит. Значит, E не замкнуто. Точки 1 и 2 не являются для

E внутренними. Значит, E не открыто. Внутренними точками для E служат точки интервала (0, 1).

Введем символы +∞, −∞, ∞ и назовем окрестностями точек +∞ è −∞ бесконечные интервалы (M, +∞) è (−∞, M) соответственно. Окрестностями точки ∞ будем называть множества вида (−∞, −M) (M, +∞). Полагаем также sup E = +∞ для неограниченного сверху множества E è inf E = −∞ для множества E, неограниченного снизу.

ПРИМЕР 1.4. Пусть a > 0. Как хорошо известно из школьного курса, для рационального числа r определено действительное число ar. Ïðè ýòîì

Для произвольного x R определим ax (ïðè a > 1) формулой

Из определения (1.3) нетрудно вывести, что формулы (1.1) и

(1.2) справедливы и в случае действительных показателей. Мы этого делать не будем.

2

2. Предел последовательности

2.1. Определение предела последовательности и его свойства

Через N обозначается множество натуральных чисел.

Из школьного курса известно понятие последовательности: последовательность это функция натурального аргумента. Последовательность xn

такое число M, ÷òî |xn| ≤ M äëÿ âñåõ n. Подпоследовательнос-

òüþ называется ограничение данной последовательности (т. е. функции натурального аргумента) на бесконечное подмножество K N. Таким образом, любая подпоследовательность сама

является последовательностью.

ПРИМЕР 2.1. Последовательность xn = n1 ограничена. Последовательность yn = n неограничена. Последовательность

zn = x2n = 21n есть подпоследовательность последовательности xn.

Число a называется пределом последовательности xn, åñëè для любого ε > 0 найдется такой номер N, ÷òî äëÿ âñåõ n ≥ N выполняется неравенство

Используя понятие окрестности, неравенство (2.1) можно записать в виде

xn Uε(a).

Если число a является пределом последовательности xn, òî ãîâî- рят также, что xn сходится к a. При этом используется запись

3

Решая его, находим n > 1ε. Итак, если взять

[ ]

N = 1ε + 1,

ãäå [x] означает целую часть числа x, òî äëÿ âñåõ n ≥ N будет выполнено неравенство (2.1), как и требовалось.

ПРИМЕР 2.3. Покажем, что последовательность xn = (−1)n не имеет предела. Допустим противное и пусть

lim xn = a.

n→∞

Возьмем произвольное положительное ε < 12. Тогда оба числа 1 и −1 не могут одновременно содержаться в окрестности Uε(a).

Значит, какое бы ни взять N, неравенство (2.1) невозможно при всех n ≥ N.

ТЕОРЕМА 2.1. 1) Пусть xn → a è a > b. Тогда начиная с некоторого номера и все xn > b.

2)Если последовательность имеет предел, то этот предел

единственный.

3)Если последовательность сходится, то любая ее подпосле-

довательность сходится к тому же пределу.

4) Любая сходящаяся последовательность ограничена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Зафиксируем ε < a − b. Тогда, начиная с некоторого номера, имеем −ε + a < xn < a + ε, откуда xn > b.

2)Пусть xn → a è xn → b, причем a < b. Возьмем такое c, ÷òî a < c < b. Ввиду 1) xn < c начиная с номера N1 è xn > c начиная с номера N2. Начиная с номера N = max(N1, N2) будут выполняться оба взаимоисключающих неравенства.

3)Пусть xn → a è xnk подпоследовательность. Для любого

ε> 0 существует такое N, ÷òî äëÿ âñåõ n ≥ N выполняется

(2.1). Но тогда выполняется и неравенство

|xnk − a| < ε

äëÿ âñåõ k ≥ K, ãäå nK ≥ N.

4) Пусть xn → a. Зафиксируем ε = 1. Тогда существует такое N, ÷òî ïðè âñåõ n ≥ N имеем xn (a − 1, a + 1). Расширив этот

4

интервал, можно добиться, чтобы все x1, ..., xN−1 вошли в него.

Последовательность xn называется бесконечно малой, åñëè xn → 0.

ТЕОРЕМА 2.2. xn → a тогда и только тогда, когда xn − a есть бесконечно малая.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть xn → a. Обозначим αn = xn −a. По определению предела для любого ε > 0 найдется такой номер N, ÷òî äëÿ âñåõ n ≥ N имет место неравенство

Но это и значит, что αn → 0.

Обратно, пусть αn = xn −a есть бесконечно малая. Тогда для любого ε > 0 найдется такой номер N, ÷òî äëÿ âñåõ n ≥ N будет

выполняться неравенство (2.2). Но это и означает, что xn → a.

ЛЕММА 2.1. Пусть αn è βn бесконечно малые. Тогда αn + βn также бесконечно малая.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как αn è βn бесконечно малые, то для любого ε > 0 найдутся такие номера N1 è N2, ÷òî

ïðè n ≥ N2. Если теперь взять N = max(N1, N2), òî

ε ε

|αn + βn| ≤ |αn| + |βn| < 2 + 2 = ε

ïðè n ≥ N. А это и значит, что αn + βn бесконечно малая. ЛЕММА 2.2. Пусть αn бесконечно малая, а xn ограни-

ченная величина. Тогда αnxn бесконечно малая.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть |xn| ≤ M. Зафиксируем ε > 0. Òàê êàê αn бесконечно малая, найдется такой номер N, ÷òî ïðè âñåõ n ≥ N имеет место неравенство

5

ò. å. αnxn бесконечно малая.

ТЕОРЕМА 2.3 (арифметические свойства предела). Пусть

(последнее верно при условии b ≠ 0).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем последнее утверждение, остальные доказываются аналогично. Имеем ввиду доказанного

xn = a + αn, yn = b + βn,

ãäå αn è βn бесконечно малые. Тогда

и 2.2 числитель дроби есть бесконечно малая, и сама дробь также бесконечно малая. Далее применяем теорему 2.2.

ТЕОРЕМА 2.4 (переход к пределу в неравенстве). 1) Пусть xn → a, yn → b è xn ≤ yn. Тогда a ≤ b.

2) Пусть xn ≤ zn ≤ yn è xn → a, yn → a. Тогда и zn → a.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Допустим противное и пусть b < c < a. На основании теоремы 2.1 начиная с некоторого номера будут выполняться неравенства

xn < c, yn > c.

Но это противоречит условию xn ≤ yn.

2) Для любого ε > 0 найдется такой номер N, ÷òî ïðè n ≥ N будут выполнены оба неравенства

a − ε < xn < a + ε, a − ε < yn < a + ε.

Тогда

a − ε < xn ≤ zn ≤ yn < a + ε,

откуда

|zn − a| < ε.

А это и означает, что zn → a.

6

Отметим, что в 1) из xn < yn не следует, вообще говоря, что a < b.

ПРИМЕР 2.4. xn = 1 > 0, íî lim xn = 0.

n n→∞

Нам понадобится в дальнейшем следующий пример. ПРИМЕР 2.5. Пусть a > 1. Тогда

√

lim n a = 1.

n→∞

√

В самом деле, положим x = n a−1. Используя формулу бинома,

получаем

a = (1 + x)n = 1 + nx + ...,

причем при n > 1 члены, обозначенные точками, положительны.

2.2. Принцип сходимости

Утверждение о полноте системы действительных чисел допускает различные следствия. В этом разделе мы приведем еще четыре таких утверждения (в действительности эквивалентных утверждению 1).

ТЕОРЕМА 2.5. Ограниченная сверху монотонно возрастающая последовательность имеет предел.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно утверждению 1, для множества значений {xn} последовательности xn

верхняя грань

a = sup{xn}.

Докажем, что это число и будет пределом последовательности xn.

В самом деле, так как a верхняя граница, то xn ≤ a äëÿ âñåõ n. Òàê êàê a точная верхняя грань, то a − ε для любого ε > 0 уже не является верхней гранью. Значит, найдется такой номер N, ÷òî a−ε < xN . Ввиду монотонности xn тогда xn > a−ε ïðè âñåõ n ≥ N è 0 ≤ a − xn < ε, откуда

|xn − a| < ε,

7

что и означает xn → a.

ПРИМЕР 2.6. Рассмотрим последовательность

Покажем, что она монотонно возрастает. Применим формулу бинома:

Åñëè îò xn перейти теперь к xn+1, то добавится новый положите-

льный член, а каждый из написанных членов увеличится. Отсюда следует, что

xn+1 > xn,

ò. å. xn возрастающая последовательность.

Покажем, что эта последовательность ограничена сверху. Опустив в (2.3) все множители в скобках, мы найдем, что

На основании теоремы 2.5 последовательность xn имеет предел. Он обозначается через e:

Мы видели, что 2 < e < 3. На самом деле,

e = 2, 71828182845904536...

Вычисления мы проведем позже.

8

ТЕОРЕМА 2.6 (лемма о вложенных отрезках). Пусть имется последовательность отрезков

[a1, b1], [a2, b2], ..., [an, bn], ...,

таких, что каждый последующий содержится в предыдущем ,

причем длины этих отрезков стремятся к нулю. Тогда у этих отрезков существует общая точка, причем ровно одна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Последовательность an монотонно воз- растает и ограничена сверху любым из чисел bn. По теореме 2.5 она имеет предел, который мы обозначим через c. На основании

теоремы 2.4 имеем c ≤ bn ïðè âñåõ n. Аналогично, последовательность bn стремится к некоторому пределу c′, причем an ≤ c′ äëÿ

âñåõ n è

c′ − c = lim (bn − an) = 0.

n→∞

Таким образом, c единственная общая точка рассматриваемых отрезков.

ТЕОРЕМА 2.7 (лемма Больцано Вейерштрасса). Всякая ограниченная последоваетельность содержит сходящуюся подпоследовательность.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть xn ограниченная последовательность. Тогда существуют такие числа a è b, ÷òî a ≤ xn ≤ b äëÿ âñåõ n. Разделим отрезок [a, b] пополам. Тогда в одну из половин [a1, b1] попадет бесконечное число членов последовательности. Разделим отрезок [a1, b1] пополам и пусть [a2, b2] òà

его половина, в которой содержится бесконечно много членов последовательности. Продолжая точно так же, мы получим систему вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю. По теореме 2.6 эти отрезки имеют ровно одну общую точку c.

Покажем, что из последовательности xn можно выделить под-

последовательность xnk , сходящуюся к c. Возьмем в отрезке [a1, b1] точку xn1 c наименьшим омером, в отрезке [a2, b2] точку xn2 с наименьшим номером, отличную от xn1 и т. д. Поскольку

ak ≤ xnk ≤ bk

è

lim ak = lim bk = c,

9

как и требовалось.

Назовем последовательность xn последовательностью Коши, если для любого ε > 0 найдется такой номер N, ÷òî äëÿ âñåõ m, n ≥ N выполняется неравенство

ТЕОРЕМА 2.8 (критерий Коши сходимости последовательности). Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она есть последовательность Коши.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть xn → a. Это значит, что для любого ε > 0 найдется такое n, ÷òî äëÿ âñåõ m, n ≥ N справедливы неравенства

Значит,

|xn − xm| = |(xn − a) − (xm − a)| ≤

εε

≤|xn − a| + |xm − a| < 2 + 2 = ε

èxn есть последовательность Коши.

Обратно, пусть xn есть последовательность Коши. Тогда она ограничена. В самом деле, зафиксируем ε > 0. Найдется такие N, ÷òî ïðè âñåõ n, m ≥ N выполняется (2.5). Значит,

|xn − xN | < ε

ïðè âñåõ n ≥ N. Поэтому все члены последовательности, начиная

ñ xN , принадлежат отрезку [xN − ε, xN + ε]. Расширив этот отрезок, можно получить отрезок, содержащий уже и члены x1, x2, ..., xN−1, так как их конечное число.

По лемме Больцано Вейерштрасса последовательность xn ñî-

держит сходящуюся подпоследовательность xnk . Пусть a ее предел. Утверждается, что число a есть предел исходной после-

довательности xn.

Напомним, что ε > 0 фиксировано. Выберем такое N1, ÷òî äëÿ âñåõ n, m ≥ N1 выполняется неравенство

ε

|xn − xm| < 2.

10