matan_rk
.docxОпределения
-
Окрестностью U(x) точки x называют любой интервал, содержащий эту точку.
-
ε-окрестностью точки x (при положительном ε) называют интервал (x−ε, x+ε).
-
Окрестностью точки +∞ называют интервал вида (а, +∞), где а - произвольное действительное число.
-
Окрестностью точки -∞ называют интервал вида (-∞, -а), где а - произвольное действительное число.
-
Окрестностью точки ∞ называют объединение двух бесконечных интервалов вида (-∞, -а) U (а, +∞), где а - произвольное действительное число.
-
Число a называется пределом последовательности {}, если для любого положительного ε существует номер N=N(ε) такой, что для всех номеров n≽N выполняется неравенство |-a|≺ ε.
-
Если предел числовой последовательности существует и конечен, то он называется сходящейся.
-
Числовая последовательность {} называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу. (Существуют M ϵ R и m ϵ R такие, что для любого x выполняется неравенство m≼≼M.
-
Числовая последовательность {} называется монотонной, если ≽≽...≽≽... или ≼≼...≼≼...
-
Числовая последовательность {} называется возрастающей, если ≺≺...≺≺...
-
Числовая последовательность {} называется убывающей, если ≻≻...≻≻...
-
Числовая последовательность {} называется невозрастающей, если ≽≽...≽≽...
-
Числовая последовательность {} называется неубывающей, если ≼≼...≼≼...
-
Последовательность {} называется фундаментальной, если для любого ε≻0 существует номер N=N(ε) такой, что при любых m≽N и n≽N выполняется неравенство | - |≺ ε.
-
Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
-
Пусть функция определена в проколотой окрестности U˚() точки . Число а называется пределом функции при →, если для любой последовательности {} точек из U˚(), для которой =, выполняется равенство =a.
-
Функция называется бесконечно малой при →, если =0.
-
Функция называется бесконечно большой при →, если =∞.
-
Две бесконечно малые при → функции и называются бесконечно малыми одного порядка, если =c, где с-const, c≠0, c≠∞.
-
Две бесконечно малые при → функции и называются несравнимыми, если при → не существует ни конечного, ни бесконечного предела отношения .
-
Две бесконечно малые при → функции и называются эквивалентными бесконечно малыми, если .
-
Функцию называют бесконечно малой функцией k-го порядка малости относительно функции , а число k-порядком малости, если функции и являются бесконечно малыми функциями при →.
-
Приращением функции называют
-
Функция называется непрерывной в точке , если: определена в точке и в U(), существует .
-
Функция называется непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
-
Функция называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна в интервале (a, b) и непрерывна в точке x=a справа и в точке x=b слева.
-
Точка называется точкой разрыва функции , если данная функция не является непрерывной в точке
-
Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если предел существует, но функция не определена в этой точке или предел не совпадает со значением функции в данной точке .
-
Точка называется точкой разрыва I рода, если - точка разрыва функции , и существуют конечные пределы .
-
Точка называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует (в частности равен ∞).
Определение предела по Коши
Основные определения:
Тип стремления x |
Окрестности |
→ |
|
→ |
|
→ |
|
→∞ |
|
→-∞ |
|
→+∞ |
Формулировки теорем
-
Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
-
Если существует и конечен , то , где - бесконечно малая при → и наоборот.
-
Если , ,..., - бесконечно малые при → функции, то ++...+ - бесконечно малая при →.
-
Если - бесконечно малая при → функция, - ограниченная функция, то* - бесконечно малая при →.
-
Если - бесконечно малая при → функция, , то - бесконечно большая при →.
Если - бесконечно большая при → функция, , то - бесконечно малая при →.
-
Бесконечно малые при → функции и эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность имеет более высокий порядок малости при → по сравнению с каждой из них.
-
Сумма бесконечно малых при→ функций различных порядков эквивалентна бесконечно малой низшего порядка.