MATHAN1

............................................

p(n)(x) = 1 · 2 · 3 · ... · nan.

Поэтому

p(k)(0) = k!ak, k = 0, 1, 2, ..., n,

откуда

p(x) = ∑n p(k)(0)xk. k!

k=0

Сделав замену x − x0 = t, P (t) = p(x0 + t) = p(x), мы получим, ввиду доказанного,

получаем разложение многочлена p(x) по степеням x − x0:

p(x) = ∑n p(k)(x0)(x − x0)k. k!

k=0

Рассмотрим теперь произвольную n раз дифференцируемую функцию f(x). Пусть

pn(x) = ∑n f(k)(x0)(x − x0)k, k!

k=0

тогда

f(k)(x0) = p(nk)(x0), k = 0, 1, 2, ..., n.

Мы видим, что многочлен pn(x) аппроксимирует функцию f(x). ТЕОРЕМА 2.7. Пусть функция f(x) дифференцируема n + 1

раз в окрестности точки x0, тогда

где точка x принадлежит указанной окрестности, а точка c лежит между точками x è x0.

41

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для упрощения обозначений считаем, что x0 = 0, x > 0. Пусть

rn(x) = f(x) − pn(x).

Положим

ãäå 0 < z < x. Имеем φ(0) = rn(x), φ(x) = 0 â (0, x) существует производная

Имеем ψ(0) = xn+1, ψ(x) = 0 è ψ′(z) ≠ 0 â (0, x). Применим к функциям φ(z) è ψ(z) теорему Коши. Мы получим, что существует такая точка c, 0 < c < x, ÷òî

как и требовалось.

Формула (2.3) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Она непосредственно обобщает формулу (2.1).

42

СЛЕДСТВИЕ. При условиях теоремы 2.7. имеем

Ýòî формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано .

Используя дифференциалы высших порядков, перепишем формулу (2.4) как

f(x) = f(x0) = df(x0) + 2!1 d2f(x0) + ... + n1!dnf(x0) + o(dxn).

В таком виде она допускает обобщение на функции многих пере-менных.

Åñëè x0 = 0, то формула Тейлора называется формулой Мак-

лорена.

ПРИМЕР 2.2. Пусть f(x) = ex è x0 = 0. Тогда все f(k)(0) = 1

43

Применим формулы

3. Исследование функций с помощью производных

Основная идея заключается в замене функции многочленом по формуле Тейлора. Далее исследуется поведение этого много- члена, что существенно проще. В некоторых случаях достаточно использовать теорему Лагранжа в виде формулы (2.1). Как мы

отмечали, она является частным случаем формулы Тейлора. ТЕОРЕМА 3.1.Пусть f′(x) = 0 во всех точках интервала

(a, b). Тогда f(x) = const.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть x0, x (a, b). Используя теорему Лагранжа, имеем

f(x) − f(x0) = f′(c)(x − x0) = 0.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть f(x) è g(x) дифференцируемы на (a, b) è f′(x) = g′(x) всюду на (a, b). Тогда f(x) = g(x) + C.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно применить теорему к функции f(x) − g(x).

Это следствие играет важную роль в интегральном исчислении. ТЕОРЕМА 3.2. Пусть f(x) непрерывна на [a, b], à f′(x) > 0

íà (a, b). Тогда f(x) возрастает (строго) íà [a, b].

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть a ≤ x1 < x2 ≤ b. Применим теорему Лагранжа к функции f(x) и отрезку [x1, x2]. Мы получим

f(x1) − f(x2) = f′(c)(x1 − x2) < 0,

ò. å. f(x1) < f(x2), как и требовалось.

Условие f′(x) > 0 является достаточным для строгого возрас-

тания функции. Однако оно не является необходимым. ПРИМЕР 3.1. Функция f(x) = x3 строго возрастает на любом

отрезке, но f′(0) = 0.

Говорят, что x0 есть точка строгого локального максимума

для функции f(x), если эта функция определена в некоторой

44

окрестности этой точки и для всех точек x из этой окрестности

имеем

f(x) < f(x0).

Аналогично определяются строгий локальный минимум, а также нестрогие локальные максимум и минимум. Для максимума и минимума употребляется собирательное название экстремум.

ТЕОРЕМА 3.3 (необходимое условие экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в окрестности точки x0 è èìå-

f′(x0) = 0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Данная теорема просто переформулировка теоремы Ферма.

ТЕОРЕМА 3.4. Пусть f′′ (x) непрерывна в окрестности точ-

êè x0,

f′(x0) = 0, f′′(x0) > 0.

Тогда x0 точка строгого локального минимума для функции f(x).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме 4.2 гл. I f′′(x) > 0 в некото-

рой окрестности точки x0. Пусть x точка из этой окрестности. Применим формулу Тейлора:

f(x) = f(x0) + f′(x0)(x − x0) + f′′(c)(x − x0)2, 2!

ãäå c лежит между x0 è x. Òàê êàê f′(x0) = 0, имеем

f(x) − f(x0) = f′′(c)(x − x0)2 > 0.

2!

Так как точка x выбиралась произвольно, x0 точка строгого локального минимума.

Разумеется, для максимума аналогично.

Предположим теперь, что f′(x0) = f′′(x0) = 0. Легко привести примеры (сделайте это самостоятельно), что тогда в точке x0

может быть максимум, может быть минимум, а может быть и отсутствие экстремума. Для исследования поведения функции в этой ситуации приходится привлекать производные более высоких порядков. Мы этим заниматься не будем.

До сих пор мы расматривали только локальные экстремумы. Как могут себя вести глобальные экстремумы, показывает следующий пример.

45

ПРИМЕР 3.2. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y = x3 − 3x на отрезке [−2, 3]. Имеем y′ = 3x2 − 3.

Производная обращается в 0 в точках x = 1 è x = −1. Как легко

видеть, в первой из них имеет место локальный минимум, во второй локальный максимум. Далее, y(−2) = −2, y(−1) = 2,

y(1) = −2, y(3) = 18. Таким образом, ymax = 18 и максимум

достигается на конце отрезка. В то же время ymin = −2 и этот минимум достигается в двух точках.

Пусть функция f(x) определена на интервале (a, b). Îíà

называется выпуклой вниз на этом интервале, если для любых a < x1 < x2 < b имеем

Геометрически условие (3.1) означает, что график функции f(x)

лежит ниже хорды.

Аналогично определется условие выпуклости вверх, а также нестрогой выпуклости.

Условие (3.1) можно переписать в эквивалентной форме

ТЕОРЕМА 3.5. Пусть f′′(x) > 0 на интервале (a, b). Тогда f(x) выпукла вниз на этом интервале.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть a < x1 < x2 < b. По теореме Лагранжа

ãäå x1 < c1 < x < c2 < x2. Òàê êàê f′′(x) > 0, то функция f′(x)

возрастает и f′(c1) < f′(c2). Значит, имеет место неравенство (3.2), а из него следует выпуклость вниз функции f(x).

Пусть функция f(x) определена на интервале (a, b), причем на (a, c) она выпукла в одну сторону, а на (c, b) в другую. Точка c называется точкой перегиба.

Предположим, что f(x) дважды непрерывно дифференцируема на (a, b) è c точка перегиба. Тогда f′′(c) = 0. В самом деле, если f′′(c) > 0, то по непрерывности f′′(x) > 0 и в некоторой

окрестности точки c, а тогда по теореме 3.4 она выпукла вниз в

46

этой окрестности. Но это неверно. Аналогично, невозможно и неравенство f′′(c) < 0. Значит, f′′(c) = 0.

Заметим, что условие равенства нулю второй производной в точке условие необходимое, но не достаточное для того, чтобы

эта точка была точкой перегиба.

ПРИМЕР 3.3. Пусть f(x) = x4, c = 0. Имеем f′′(0) = 0, но точка 0 не является точкой перегиба.

В заключение приведем пример исследования функции. ПРИМЕР 3.4. Исследовать функцию и построить ее график:

y = x2 + x2 .

РЕШЕНИЕ.

1.Область определения

Функция определена при x ≠ 0.

2.Свойства четности

Функция не является ни четной, ни нечетной.

3.Свойства перидичности

Функция непериодическая.

4.Поведение на бесконечности

5. Асимптоты

Вертикальная асимптота x = 0; горизонтальных и наклонных

íåò.

6. Возрастание и убывание; экстремумы

y′(x) = 2x − x22 .

Ïðè x < 0 имеем y′(x) < 0; функция убывает. При 0 < x < 1 имеем y(x) < 0; функция убывает. При x > 1 имеем y′(x) > 0; функция возрастает. x = 1 точка минимума.

7. Выпуклость и точки перегиба

47

Ïðè x > 0 имеем y′′(x) > 0; функция выпукла вниз.

√

x = − 3 2 точка перегиба. 8. Характерные точки

Теперь уже несложно построить график данной функции (сделайте это самостоятельно).

4. Плоские кривые 4.1. Основные понятия и примеры

Плоской кривой называется непрерывное отображение

γ : [a, b] → R2

отрезка в плоскость. Такое отображение задается функциями

Непрерывность отображения означает, по определению, что функции x(t) è y(t) непрерывны. Отрезок [a, b] может быть заменен

интервалом или полуинтервалом, в том числе и бесконечным. Часто кривой называют образ γ([a, b]), а (4.1) называют параме-

тризацией этой кривой. ПРИМЕР 4.1. Окружность

(x − a)2 + y2 = a2

допускает, например, параметризацию

x = a + a cos t, y = a sin t (0 ≤ t ≤ 2π)

Рассмотрим некоторые кривые механического происхождения. ПРИМЕР 4.2. Пусть по прямой OX катится без скольжения

окружность радиуса a. Кривая, описываемая при этом произво-

льной точкой окружности, называется циклоидой.

Пусть в начальный момент времени точка находилась на оси OX. Примем эту точку за начало координат. Рассмотрим катя-

щуюся окружность в новом положении. Точкой касания служит новая точка N, M точка, в которую переместилась точка O.

Так как качение происходит без скольжения, то длина дуги MN

48

равна длине отрезка ON. Обозначим через D положение центра окружности, через F проекцию точки M íà îñü OX и пусть tóãîë MDN. Тогда координаты x(t) è y(t) точки M выразятся следующим образом:

x(t) = OF = ON − F N = at − a sin t,

y(t) = F M = NG = DN − DG = a − a cos t.

Здесь G проекция точки M íà DN.

Итак, параметрические уравнения ветви циклоиды имеют вид

x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) (0 ≤ t ≤ 2π).

При изменении t îò −∞ äî +∞ получится кривая, состоящая из

бесчисленного множества таких ветвей. Отметим, что каждому значению x отвечает ровно одно значение y, поэтому данная

кривая представляет собой график функции y = y(x). Вычислим производные:

Отсюда видно, что в точках вида 2πk, k Z кривая имеет верти-

кальные касательные.

Вычислим вторые производные:

ПРИМЕР 4.3. Пусть на окружности радиуса a с центром в

начале координат навернута по часовой стрелке нерастяжимая нить, конец которой находится в точке A(a, 0). Станем разверты-

вать (против часовой стрелки) нить, сматывая ее с окружности и все время натягивая ее конец. Кривая, описываемая при этом концом нити, называется эвольвентой окружности.

Выведем уравнения этой кривой. В момент, когда будет смотана часть нити, она займет положение BM, ãäå M конец нити,

49

B точка касания отрезка BM и окружности. В качестве параметра t возьмем угол AOB. Тогда координаты x(t), y(t) точки M можно вычислить:

x(t) = a(t sin(π−t)−cos(π−t)), y(t) = a(sin(π−t)−t cos(π−t)),

так как длина BM равна длине дуги AB окружности. Итак, наша кривая представлется уравнениями

x(t) = a(t sin t + cos t), y(t) = a(sin t − t cos t) (0 ≤ t < +∞).

4.2. Дифференциал длины дуги

Рассмотрим кривую (4.1) и значения параметра

Положим Mi = γ(ti) и пусть p периметр ломаной M0M1...Mn. Назовем длиной кривой γ точную верхнюю грань S = sup p, берущуюся по всем разбиениям (4.2) отрезка [a, b]. Åñëè ýòà

точная верхняя грань существует, то кривая называется

ляемой.

Пусть в качестве параметра выбрана переменная x, à γ([a, b]) представляет собой график функции y = y(x). Допустим, что функция y(x) имеет непрерывную производную. Положим yi = y(xi), i = 0, 1, ..., n. Тогда периметр p ломаной запишется в виде

∑n−1 √

p = (xi+1 − xi)2 + (yi+1 − yi)2.

i=0

По теореме Лагранжа

yi+1 − yi = y′(ci)(xi+1 − xi),

откуда

Обозначим через L наибольшее значение функции |y′(x)| на отрезке [a, b], тогда из (4.3) получим оценку

50