MATHAN1

сложной функции функция cos x также непрерывна. Из теоремы 4.3 вытекает и непрерывность функций y = tg x è y = ctg x.

ПРИМЕР 4.4. Докажем непрерывность показательной функ-

для любого ε > 0 найдется такое N, ÷òî ïðè n ≥ N будет

Если теперь взять x − x0 < N1 , из (4.2) будет следовать

|ax − ax0 | < ε.

Аналогично рассматривается случай x < x0.

4.3. Односторонняя непрерывность и разрывы.

Как мы видели, функция непрерывна тогда и только тогда, когда выполнено условие (4.1). Оно нарушается, когда либо не существует предел в левой части, либо существует, но не равен f(a).

Назовем точку a устранимой точкой разрыва, если существует предел, не равный f(a). Изменив значение функции в этой

Аналогично, функция называется непрерывной справа в точке a, åñëè

x→a+0

21

≥

Функция f(x) в точке 0 непрерывна слева, функция g(x) справа.

Предположим, что оба предела (4.3) и (4.4) существуют (и конечны). Если они равны, то функция в этой точке либо непрерывна (если они равны f(a)), либо имеет устранимый разрыв.

Если же эти пределы не равны, то a называется точкой разрыва

первого рода. Если не существует хотя бы один из этих пределов (конечных), то a называется точкой разрыва второго рода.

ПРИМЕР 4.7. Точка 0 служит для функций f(x) è g(x) из примера 4.6 точкой разрыва 1-го ðîäà.

ПРИМЕР 4.8. Функция

Тогда найдется такая точка c [a1, b1], ÷òî f(c) = 0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Разделим отрезок [a1, b1] пополам. Если в середине функция f(x) равна 0, теорема доказана. Обозна- чим через [a2, b2] ту из половин, для которой

f(a2) < 0, f(b2) > 0.

22

Продолжая этот процесс, мы или найдем точку, в которой функция обращается в 0, или получим бесконечную последовательность вложенных отрезков [an, bn], длины которых стремятся к нулю и

По лемме о вложенных отрезках существует единственная точка c, принадлежащая всем этим отрезкам. При этом an → c, bn → c.

По теореме о переходе к пределу в неравенстве из (4.6) следует, что

f(c) ≤ 0 è f(c) ≥ 0,

откуда f(c) = 0, как и требовалось.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть в условии теоремы вместо (4.5) справедливы равенства

f(a1) = A, f(b1) = B

è A < C < B. Тогда найдется такая точка c [a1, b1], ÷òî f(c) = C.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно рассмотреть непрерывную функцию g(x) = f(x) − C и применить к ней теорему.

ТЕОРЕМА 4.6 (первая теорема Вейерштрасса). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нем.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Мы хотим доказать, что существуют такие константы m è M, ÷òî äëÿ âñåõ x [a, b] имеем

m ≤ f(x) ≤ M.

Докажем существование M, äëÿ m аналогично.

Предположим противное. Тогда для любого натурального n найдется такая точка xn [a, b], ÷òî f(xn) > n. Последователь- ность xn ограничена, поэтому, в силу леммы Больцано Вейер-

штрасса, она содержит сходящуюся подпоследовательность. Без потери общности можно считать, что сама последовательность xn сходится к числу c [a, b]. В силу непрерывности функции

f(x) имеем f(xn) → f(c). Но последовательность xn строилась òàê, ÷òî f(xn) → +∞. Противоречие.

ТЕОРЕМА 4.7 (вторая теорема Вейерштрасса). Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своих точной верхней и точной нижней граней.

23

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. По предыдущей теореме существует M = sup f(x).

x [a,b]

Предположим, что f(x) < M. Тогда функция

1

F (x) = M − f(x)

непрерывна на [a, b]. Значит, она ограничена на [a, b], т. е. существует такое µ > 0, ÷òî F (x) ≤ µ äëÿ âñåõ x [a, b]. Íî

тогда

f(x) ≤ M − µ1 ,

ò. å. M − µ1 < M также верхняя граница функции f(x) íà [a, b], что невозможно, так как M это точная верхняя грань.

Противоречие.

Аналогично доказывается утверждение о точной нижней грани.

ПРИМЕР 4.10. Рассмотрим функцию f(x) = x на полуинтер-

âàëå [0, 1). Эта функция непрерывна и ограничена на нем, но не достигает своей точной верхней грани, равной 1.

ЗАДАЧА 4.1. Доказать, что теоремы 4.6 и 4.7 справедливы, если функцию предполагать непрерывной на множестве, представляющем собой объединение двух непересекающихся отрезков.

ПРИМЕР 4.11. Рассмотрим функцию

определенную на объединении двух непересекающихся отрезков [1, 2] и [3, 4]. Эта функция на указанном множестве непрерывна,

принимает в двух его точках значения противоположного знака, но не принимает значения, равного 0.

Мы видим, что теоремы Вейерштрасса обобщаются на случай объединения отрезков, а теорема Больцано Коши нет. Точно так же теорема Больцано Коши верна для функций, непрерывных на интервале или полуинтервале, а теоремы Вейерштрассанет. Значит, в этих теоремах используются разные свойства отрезка. А именно, в теоремах Вейерштрасса используется так

24

называемая компактность, а в теореме Больцано Коши так называемая связность. Обсуждение этих понятий мы отложим на будущее.

4.5. Непрерывность элементарных функций. Вычисление пределов

ТЕОРЕМА 4.8 (о непрерывности обратной функции). Пусть функция y = f(x) строго возрастает и непрерывна на отрезке

[a, b], f(a) = A, f(b) = B. Тогда на отрезке [A, B] существует функция, обратная к f(x), и эта функция непрерывна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме Больцано Коши множество значений функции f(x) есть отрезок [A, B]. Существование

обратной функции g(y) следует из монотонности функции f(x).

Остается доказать ее непрерывность.

Пусть y0 произвольная точка отрезка [A, B], отличная от A. Докажем, что g(y) непрерывна слева в точке y0. Зафиксируем такое ε > 0, ÷òî y0 − ε ≥ A и пусть f(x0) = y0, f(x1) = y0 − ε. Положим δ = x0 −x1. Ввиду монотонности функции f(x) имеем

f(y0) − f(y) < ε,

åñëè x0 −x < δ. А это и означает непрерывность слева функции g(y) в точке y0. Òàê êàê y0

g(y) непрерывна слева всюду. Аналогично доказывается, что

она непрерывна справа. Значит, эта функция непрерывна на [A, B], как и требовалось.

Разумеется, вместо возрастающей можно взять убывающую

Вернемся теперь к таблице эквивалентных бесконечно малых. Используя второй замечательный предел, имеем, ввиду непрерывности логарифмической функции,

Тем самым доказано утверждение 6 таблицы. Положим в 6 x = ey − 1. Тогда y → 0 è

25

откуда получается эквивалентность 6 таблицы. ПРИМЕР 4.14. Имеем при x → 0:

(1 + x)α − 1 = eα ln (1+x) − 1 αln (1 + x) αx,

и мы получили эквивалентность 8 таблицы ЗАДАЧА 4.1. Доказать эквивалентности 4 и 10 таблицы.

ЗАДАЧА 4.2. Доказать эквивалентности 5 и 7 таблицы. ТЕОРЕМА 4.9. Все элементарные функции непрерывны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Класс элементарных функций состоит из функций, которые можно получить применением конечного

числа арифметических операций, взятия суперпозиции и обратной функции из непрерывных функций y = x, y = ex è y = sin x.

Рассмотрим функцию вида

y(x) = u(x)v(x).

Пусть существуют конечные пределы

причем A > 0. Найдем предел функции y(x) ïðè x → a. Имеем

u(x)v(x) = ev(x) ln u(x).

Ввиду непрерывности логарифмической функции имеем

lim ln u(x) = ln A

x→a

откуда

lim v(x) ln u(x) = B ln A.

x→a

Отсюда по непрерывности показательной функции оконча-

тельно

lim u(x)v(x) = eBln A = AB.

x→a

26

Предел функции u(x)v(x)

когда известен предел функции u(x) ln v(x) конечный или бесконечный. При конечном c предел будет, очевидно, равен ec; åñëè æå c = −∞ èëè +∞, этот предел будет равен 0 или +∞

соответственно.

ПРИМЕР 4.16. Вычислим предел

lim(1 + sin x)ctg x.

x→0

Имеем

lim ctg x ln (1 + sin x) = lim ctg x sin x = 1.

x→0 x→0

Значит, искомый предел равен e1 = e.

Асимптоты. Пусть дана функция y = f(x), определеная в некоторой окрестности точки +∞. Прямая

называется асимптотой графика этой функции при x → +∞, если расстояние от точки (x, f(x)) до прямой y = kx+b стремится к 0 при x → +∞. Это расстояние только конечным множителем отличается от разности f(x) − kx − b. Таким образом, условие, что прямая (4.7) есть асимптота графика функции y = f(x), можно записать в виде

Значит, в этом случае

Как легко видеть, и обратно, если (4.9) следует (4.8). Аналогично определяются асимптоты и при x → −∞.

Пусть теперь функция f(x) определена в правосторонней проколотой окрестности точки a и монотонно убывает в ней, причем

lim f(x) = +∞.

x→a+0

Тогда прямая x = a называется вертикальной асимптотой.

Возможны еще три формы этого определения. Приведите их самостоятельно.

27

ПРИМЕР 4.17. Найдем асимптоты графика функции

òî ïðè x → +∞ есть наклонная асимптота y = x. Эта же прямая будет асимптотой и при x → −∞.

4.6. Равномерная непрерывность

Функция f(x), определенная на множестве E, называется равномерно непрерывной на этом множестве, если для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что для любых двух точек x, x′ E, таких, что |x − x′| < δ, выполняется неравенство

|f(x) − f(x′)| < ε.

ПРИМЕР 4.18. Функция f(x) = x равномерно непрерывна

на R. В самом деле, достаточно в предыдущем определении

положить δ = ε.

ПРИМЕР 4.19. Функция f(x) = x1 не является равномерно непрерывной на множестве (0, 1]. В самом деле, существует

такое ε > 0 (например, ε = 1), что для любого δ > 0 найдутся такие x, x′, ÷òî |x − x′| < δ, íî |f(x) − f(x′)| ≥ ε. Достаточно

ТЕОРЕМА 4.10 (Кантора). Функция, непрерывная на отрезке,

равномерно непрерывна на этом отрезке.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть f(x) функция, непрерывная на отрезке [a, b]. Предположим, что она не является равномерно

непрерывной на этом отрезке. Тогда для любого натурального n найдутся такие числа xn, x′n [a, b], ÷òî

По лемме Больцано Вейерштрасса существует подпоследовательность {xnk }, сходящаяся к некоторому числу c [a, b]. Áåç

28

потери общности можно считать, что уже сама последовательность xn сходится к c. Далее, (4.10) показывает, что x′n также

сходится к c. Ввиду непрерывности функции f(x) имеем

f(xn) → f(c), f(x′n) → f(c).

Значит, f(xn) − f(x′n) → 0, что противоречит (4.11).

ГЛАВА II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Производная и дифференциал 1.1. Основные определения

ПРИМЕР 1.1, Пусть материальная точка движется по прямой и закон движения задан формулой x = x(t). Мгновенной скорос-

тью называется предел

v(t) = lim x(t + ∆t) − x(t).

∆t→0 ∆t

ПРИМЕР 1.2. Рассмотрим график функции y = f(x) и точку M(x0, y0), ãäå y0 = f(x0), принадлежащую этому графику. Возьмем точку P (x0+∆x, f(x0+∆x)), также принадлежащую графику функции f(x), и проведем через M è P секущую. Тангенс угла наклона этой секущей выражается формулой

tg β = f(x0 + ∆x) − f(x0). ∆x

По определению, касательной к графику функции f(x) в точке M называется предельное положение секущей, когда точка P стремится к M. Поэтому тангенс угла наклона касательной выражается формулой

Теперь дадим основное определение. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Производной ôóí- êöèè f(x) в точке x0 называется предел

29

если он существует.

Таким образом, в примере 1.1 имеем v(t) = x′(t).

В примере 1.2. имеем tg α = f′(x0) и уравнение касательной

åñòü

y = f(x0) + f′(x0)(x − x0).

ПРИМЕР 1.3. Вычислим производную функции f(x) = x2. Имеем, согласно определению

ПРИМЕР 1.4. Вычислим производную функции f(x) = |x| в точке 0. Имеем

Этот предел не существует. Поэтому функция f(x) = |x| не имеет производной в точке 0.

Пусть функция f(x) определена в правосторонней окрестности

[x,x0 + δ) точки x0. Правосторонней производной функции f(x)

в точке x0 называется

Аналогично определяется левосторонняя производная. Очевидным образом определяются и односторонние касатель-

íûå.

ПРИМЕР 1.5. Пусть f(x) = |x|, x0 = 0. Тогда

f+′ (0) = 1, f−′ (0) = −1.

Отметим еще, что если предел (1.1) равен +∞ èëè −∞, òî

геометрически это означает, что касательная вертикальна, т. е. параллельна оси ординат.

1.2. Вычисление производных

ПРИМЕР 1.6. Вычислим производную функции y = sin x.

Имеем

y′(x) = lim sin(x + ∆x) − sin x =

∆x→0 ∆x

30