MATHAN1

Пусть функция y = f(x) непрерывна и строго монотонна в окрестности точки x0 и имеет в этой точке производную f′(x0) ≠ 0. Тогда существует обратная непрерывная функция x = g(y) â

некоторой окрестности точки y0 = f(x0); эта функция имеет в точке y0 производную и

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обратная непрерывная функция существует по теореме об обратной функции. Имеем

Мы перешли от предела при ∆y → 0 к пределу при ∆x → 0, что законно ввиду непрерывности обратной функции.

Доказанная теорема имеет прозрачный геометрический смысл. Возьмем касательную к графику функции y = f(x) в точке x0

и пусть α тангенс угла между этой касательной и осью Ox.

Имеем f′(x0) = tg α. Если ту же кривую рассматривать как график обратной функции x = g(y), то будем иметь g′(y0) = tg β,

ãäå β угол между той же касательной и осью Oy. Òàê êàê

β + α = π2 , òî

tg β = tg (π2 − α) = ctg α = tg1α.

ПРИМЕР 1.8. Вычислим производную функции y = arcsin x.

31

Ввиду теоремы получаем

ПРИМЕР 1.9. Вычислим производную функции y = ln x.

Имеем

x = g(y) = ey, x′ = ey,

y′ = (ln x)′ = x1′ = e1y = x1 .

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть функция y = f(x) имеет производную

âточке x0. Тогда ее приращение можно можно представить

ââèäå

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из определения производной следует,

÷òî

∆f(x0) − f′(x0) = α → 0. ∆x

Отсюда

∆f(x0) = f′(x0)∆x + α∆x,

как и требовалось.

СЛЕДСТВИЕ. Функция, имеющая в данной точке производную, непрерывна в этой точке.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если ∆x → 0, òî è ∆y → 0, а это и означает непрерывность функции в данной точке.

ТЕОРЕМА 1.3 (правила дифференцирования). Пусть функции u(x) è v(x) имеют производные в точке x0. Тогда

1)(cu)′ = cu′;

2)(u + v)′ = u′ + v′;

3)(uv)′ = u′v + uv′;

4)(u)′ = u′v − uv′

v v2 .

Все производные берутся в точке x0. В последней формуле предполагается, что v(x0) ≠ 0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем свойство 3), остальные проверяются аналогично. Имеем

32

= u′(x0)v(x0) + u(x0)v′(x0).

ПРИМЕР 1.10. Вычислим производную функции y = tg x. Имеем

ТЕОРЕМА 1.4 (о производной сложной функции). Пусть функция f(x) определена в окрестности точки x0 и имеет в

ней производную. Пусть функция g(x) определена в окрестности точки f(x0) и имеет в ней производную. Тогда функция h(x) = g(f(x)) имеет производную в точке x0 è

h′(x0) = g′(f(x0))f′(x0).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. На основании теоремы 1.2 имеем

∆f(x0) = f′(x0)∆x + o(∆x),

Разделив на ∆x и перейдя к пределу, получаем требуемое. ПРИМЕР 1.11. Вычислим производную функции

y = xα = eαln x.

Дифференцируя это выражение как сложную функцию, получа-

åì

y′ = eαln x · x1 = αxα−1.

Сведем полученные результаты в таблицу.

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

33

ЗАДАЧА 1.1. Проверьте утверждения 7, 9 и 10 таблицы.

1.3. Дифференциал

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности

точки x0. Если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде

ãäå A константа, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x0. Бесконечно малая A∆x называется дифференциалом функции. Дифференциал обозначается через dy èëè df(x0). Он представляет собой линейную функцию от аргумента dx = ∆x.

ТЕОРЕМА 1.5. Функция f(x) дифференцируема в точке x0 тогда и только тогда, когда у нее в этой точке существует производная.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если функция имеет производную, то ее приращение выражается по формуле (1.2). Значит, она диффе- ренцируема в точке x0. Обратно, если функция дифференцируе-

ма в точке x0, то, разделив обе части равенства (1.3) на ∆x, и перейдя к пределу при ∆x → 0, получим, что f′(x0) = A.

Пусть функции y = g(x) è x = f(t) таковы, что из них может быть составлена сложная функция y = g(f(t)). Åñëè

существуют производные yx′ è x′t, то существует и производная yt′ = yx′ x′t. Здесь индекс показывает, по какой переменной берется

производная. Имеем

dy = yt′dt = yx′ x′tdt = yx′ dx.

Таким, образом, имеем

dy = yx′ dx,

34

вне зависимости от того, является ли x зависимой или независи-

мой переменой. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала.

1.4. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точ-

êè x0 и дифференцируема во всех точках этой окрестности. Если функция f′(x) дифференцируема в точке x0, то ее производная

в этой точке называется второй производной функции f(x) в точке x0 и обозначается через f′′(x0). Аналогично определяется третья производная и т. д.

Вторым дифференциалом функции f(x) в точке x0 называется квадратичная функция

d2y = d2f(x0) = f′′(x0)dx2

от приращения dx независимой переменной. Аналогично опреде-

ляется третий дифференциал и т. д.

Предположим, что функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого открытого множества D. Тогда функция f(x)

называется дифференцируемой на этом множестве. Если она имеет производную k-го порядка в каждой точке множества D,

то она называется k íà D. Если эта производная еще и непрерывна, то функция называется k раз непрерывно дифференцируемой на множестве D. При этом используется обозначение f Ck(D).

В заключение рассмотрим вопрос о дифференцировании функций, заданных параметрически. Пусть

x = x(t), y = y(t)

дифференцируемые функции. Тогда при ∆t → 0 также ∆x →

0 è ∆y → 0 è

∆t

где точка означает производную по t. Для второй производной

35

ПРИМЕР 1.12. Пусть

т. е. точка (x, y) принадлежит окружности с таким уравнением.

Окружность не является графиком никакой функции. Но в окрестности любой точки, кроме точек (1, 0) è (−1, 0) она служит

графиком функции

Производные этих функций (заданных неявно уравнением (1.8)) и вычисляются по формулам (1.7). Возвращаясь к переменной x, получаем для первых производных формулы

Обсуждение неявных функций мы отложим на дальнейшее. Пока же просто поясним, как можно вычислять производные таких функций, считая, что они существуют и дифференцируемы. Пусть уравнение

задает в окрестности точки (x0, y0) функцию y = y(x). Продиф-

36

Предполагается, что Fy′(x0, y0) ≠ 0. Далее можно из (1.11) полу- чить и производные высших порядков.

ПРИМЕР 1.13. Вычислим производную функции, заданной неявно уравнением (1.8). Имеем

2x + 2yy′ = 0,

Как уже отмечалось, существуют (в окрестностях разных точек) две функции, заданные уравнене (1.8). Для этих функций, определенных формулами (1.9) имеем соответственно

ПРИМЕР 1.14. Вычислим производную функции, заданной неявно уравнением

Дифференцируя это равенство по x и подставляя вместо y′ найден- ное выражение (1.12), получаем

y′′ = 2(x2 + y2) (x − y)3

2. Основные теоремы дифференциального исчисления 2.1. Теоремы о среднем

ТЕОРЕМА 2.1 (Ферма). Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b] и принимает наибольшее (наименьшее) значение в точке c (a, b). Åñëè f′(c) существует, то f′(c) = 0.

37

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть c точка максимума. Тогда f(x) ≤ f(c) äëÿ âñåõ x [a, b]. Имеем

Åñëè x > c, òî f′(c) ≤ 0, åñëè x < c, òî f′(c) ≥ 0. Значит,

f′(c) = 0, как и требовалось.

Åñëè c точка минимума, доказательство аналогично. ТЕОРЕМА 2.2 (Ролля). Пусть f(x) непрерывна на [a, b],

(a, b) è f(a) = f(b). Тогда найдется такая точка c (a, b), ÷òî f′(c) = 0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме Вейерштрасса функция f(x) принимает на отрезке [a, b] максимальное M и минимальное m значения. Пусть M = m. Тогда f(x) константа и ее производная равна нулю всюду. Пусть M > m. Òàê êàê f(a) = f(b), òî èëè

максимум, или минимум функции f(x) достигаются во внутренней точке c отрезка. По теореме Ферма f′(c) = 0.

ТЕОРЕМА 2.3 (Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b). Тогда найдется такая точка c (a, b), ÷òî

f′(c) = f(b) − f(a). b − a

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим функцию

F (x) = f(x) − f(a) − f(b) − f(a)(x − a). b − a

Она непрерывна на [a, b], F (a) = F (b) è

f(b) − f(a). b − a

Применяя к функции F (x) теорему Ролля, получаем утверждение теоремы.

Из теоремы Лагранжа вытекает формула

ãäå cx лежит между x è x+∆x. Позже мы получим ее обобщение.

38

Заметим, что g(b) − g(a) ≠ 0, так как в противном случае из теоремы Ролля следовало бы, что g′(x) равна нулю в некоторой точке интервала (a, b). Поэтому F (x) определена и непрерывна на [a, b]. Кроме того, F (a) = F (b) è F ′(x) существует на (a, b):

F ′(x) = f′(x) − f(b) − f(a)g′(x). g(b) − g(a)

По теореме Ролля найдется точка c (a, b), в которой F ′(c) = 0 и тогда верно (2.2).

2.2. Правило Лопиталя

ТЕОРЕМА 2.5. Пусть функции f(x) è g(x) непрерывно дифференцируемы на (a, b), причем g′(x) ≠ 0 è

lim f(x) = lim g(x) = 0.

x→a x→a

Если существует конечный или бесконечный предел

lim f′(x) = K,

x→a g′(x)

òî

lim f(x) = K.

x→a g(x)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доопределим функции f(x) è g(x), полагая f(a) = g(a) = 0. Тогда функции f(x) è g(x) будут удовлет-

ворять условиям теоремы Коши. Значит, найдется такая точка c, a < c < x, ÷òî

f(x) = f(x) − f(a) = f′(c). g(x) g(x) − g(a)

39

водные f′(x) è g′(x), причем g′(x) ≠ 0, è

lim f(x) = lim g(x) = +∞.

x→+∞ x→+∞

Предположим, что существует конечный или бесконечный пре-

äåë lim f′(x) = K.

x→+∞ g′(x)

Тогда и

lim f(x) = K.

x→+∞ g(x)

ПРИМЕР 2.1. Имеем

чем степенная функция, а логарифм медленнее .

Как нетрудно догадаться, существуют и другие варианты правила Лопиталя, но мы их не приводим.

2.3. Формула Тейлора

Пусть

p(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

многочлен. Имеем

p′(x) = a1 + 2a2x + ... + nanxn−1, p′′(x) = 2a2 + 2 · 3a3x + ... + (n − 1)nanxn−2,

40