MATHAN1

Можно выбрать k настолько большим, чтобы было

ε

|xnk − a| < 2

и одновременно nk > N1. Значит, при n ≥ N1 имеем

ε

|xn − xnk | < 2.

Теперь при n ≥ N1 имеем

|xn − a| = |xn − xnk + xnk − a| ≤

εε

≤|xn − xnk | + |xnk − a| < 2 + 2 = ε,

àэто и значит, что xn → a.

3.Предел функции

3.1. Понятие предела функции

Мы рассматриваем функции вида f : R → R или, более общим образом, вида f : E → R, ãäå E R. Пусть a предельная точка множества E. Число A называется пределом функции f(x) ïðè x, стремящемся к a, если для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что из условия

Для упрощения изложения будем далее (если не оговорено противное) рассматривать только функции, определенные всюду на R. Тогда все точки являются предельными точками ее области

определения.

Используя понятие окрестности, можно так переформулировать данное определение: число A называется пределом функции

f(x) ïðè x, стремящемся к a, если для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что из условия

11

Теперь легко понять, как определить, что значит предел при x → a + 0, ïðè x → −∞ и т. д. Чтобы определить предел при x,

стремящемся к a справа, надо в (3.3) взять вместо Uδ(a) − {a} правостороннюю (проколотую) окрестность Uδ+(a) −{a}. Чтобы определить, что значит, что предел равен −∞, надо в (3.4) вместо

Uε(A) взять окрестность точки −∞ è ò. ä.

ЗАДАЧА 3.1. Написать упомнутые выше определения на языке окрестностей и с использованием формул типа (3.1) и (3.2).

ПРИМЕР 3.1. Пусть f(x) = x. Тогда lim f(x) = a. В самом

x→a

деле, достаточно положить δ = ε.

Можно дать и другое определение предела функции.

Число A называется пределом функции f(x) ïðè x, стремящемся к a, если для любой последовательности xn, такой, что xn → a è xn ≠ a, имеем f(xn) → A.

ТЕОРЕМА 3.1. Данные выше два определения предела функции эквивалентны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть A предел функции f(x) ïðè x → a в смысле первого определения, и пусть xn → a, xn ≠ 0. Зафиксируем ε > 0 и рассмотрим соответствующее δ. Тогда найдется такой номер N, ÷òî äëÿ âñåõ n ≥ N будем иметь

0 < |xn − a| < δ.

На основании первого определения имеем

|f(xn) − A| < ε.

Согласно определению предела последовательности это значит, что f(xn) → A.

Обратно, пусть A предел функции f(x) в смысле второго определения, но A не является пределом в смысле первого определения. Тогда для некоторого ε > 0 найдется такое xn, ÷òî

Ввиду (3.5) имеем xn → a, xn ≠ a. Согласно второму определению, f(xn) → A, но это противоречит (3.6).

12

3.2. Теоремы о пределах

Все теоремы о пределах последовательности переносятся и на случай предела функции. Доказываются они точно так же. Можно, однако, поступить еще проще: воспользовавшись определением предела функции на языке последовательностей, доказать упомянутые теоремы, используя известные факты о пределе последовательности. Мы приведем одну теорему аналог теоремы 2.3.

ТЕОРЕМА 3.2. Пусть

lim f(x) = A, lim g(x) = B.

x→a x→a

Тогда

(последнее верно, если B ≠ 0).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть xn → a è xn ≠ a. По определению предела имеем f(xn) → A, g(xn) → B. На основании теоремы 2.3 имеем

По второму определению предела (на языке последовательностей) это и значит, что

Остальные утверждения доказываются аналогично.

Доказанная теорема позволяет во многих случаях легко вычислять пределы функций.

ПРИМЕР 3.2. Вычислим предел

Мы воспользовались тем, что предел суммы равен сумме пределов, а предел частного частному пределов.

Теорема о пределе монотонно возрастающей последовательности также переносится на функции. У этой теоремы много вариантов. Мы сформулируем и докажем один из них.

13

ТЕОРЕМА 3.3 (о пределе монотонной функции). Пусть функция f(x) монотонно возрастает (строго или нестрого) íà âñåé

числовой прямой и ограничена сверху. Тогда существует конеч- ный предел

x→+∞

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим через A точную верхнюю грань множества значений функции f(x). Пусть ε > 0. По определению точной верхней грани найдется такое x′, ÷òî

f(x′) > A − ε.

Òàê êàê f(x) монотоно возрастает, то при всех x > x′ выполняется

неравенство

|f(x) − A| < ε,

а это и озачает (3.7).

3.3. Замечательные пределы

ТЕОРЕМА 3.4. Имеет место первый замечательный предел

lim sin x = 1.

x→0 x

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем сначала справедливость нера-

Рассмотрим в единичном круге острый угол AOB, хорду AB и касательную AC. Сравнивая площади треугольников и сектора,

получаем нужное неравенство.

Разделим теперь неравенство (3.8) почленно на положительное число sin x. Мы получим

1 < sinxx < cos1 x,

откуда

0 < 1 − sinxx < 1 − cos x = 2 sin2 x2 < 2 sin x2 < x.

Ïðè x → +0 получаем требуемое; то же верно и при x → −0.

14

ТЕОРЕМА 3.5. Имеет место второй замечательный предел

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно доказать, что

Воспользуемся определением предела на языке последовательностей. Пусть все члены последовательности xk

xk → 0. Тогда найдется такая последовательность nk натураль- ных чисел, что

Два крайних выражения могут быть преобразованы так:

15

Таким образом, оба рассматриваемых выражения стремятся к общему пределу e, а тогда и заключенное между ними выражение

также стремится к e:

1

lim (1 + x)x = e.

x→+0

Пусть теперь все члены последовательности xk отрицательны. Будем считать, что xk > −1. Если положить xk = −yk, òî

0 < yk < 1, yk → 0.

Так как, по доказанному, первый множитель последнего выражения стремится к e, второй же имеет пределом 1, то и выражение

слева также стремится к e. Формула (3.9) доказана полностью.

3.4. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших

Пусть x → a à α(x) è β(x) бесконечно малые. Тогда

их сумма, разность и произведение также бесконечно малые. Рассмотрим частное и его предел

lim α(x).

x→a β(x)

Этот предел может быть равен нулю, может быть конечен и отличен от нуля, бесконечен, а также может не существовать. В первом случае говорят, что α(x) есть бесконечно малая более

высокого порядка, чем β(x). Это обозначается так: α(x) = o(β(x)) (читается "о малое"). Во втором случае говорят, что α è β бесконечно малые одного порядка. В третьем случае ясно,

lim β(x) = 0

x→a α(x)

16

и тогда β = o(α). Наконец, в последнем случае бесконечно

малые называются несравнимыми.

ПРИМЕР 3.2. Пусть x → 0. Из теоремы 3.4 следует, что x

è sin x бесконечно малые одного порядка. Ясно также, что

x2 = o(sin x), а бесконечно малые x è x sin x1 несравнимы. Отметим особо важный случай бесконечно малых одного по-

рядка.

Пусть при x → a êàê α(x) → 0, òàê è β(x) → 0. Бесконечно малые α(x) è β(x) называются эквивалентными, α β åñëè

Ясно, что введеное отношение обладает свойствами

1)α α,

2)α β β α,

3)α β, β γ α γ.

ПРИМЕР 3.3. Теорема 3.4 показывает, что sin x x ïðè x → 0.

Пусть требуется вычислить предел

Используя (3.10) и и терему о пределе произведения, имеем

Таким образом, при вычислени пределов выражений вида (3.11) можно заменять бесконечно малую эквивалентной ей бесконечно малой.

ПРИМЕР 3.4. Вычислим предел

Удобно наши сведения об эквивалентных бесконечно малых свести в таблицу. Часть утверждений, содержащихся в ней, уже доказана, остальные мы установим позже.

17

ТАБЛИЦА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

ПРИМЕР 3.5. Вычислим предел

Используя эквивалентности 1 и 8, заменим числитель и знаменатель в этом выражении эквивалентными бесконечно малыми. Нам остается вычислить предел

Аналогичным образом можно сравнивать и бесконечно большие величины. Впрочем, если A(x) бесконечно большая, то

1

A(x) бесконечно малая. Значит, классификацию бесконечно больших можно свести к классифиикации бесконечно малых.

4. Непрерывные функции 4.1. Понятие непрерывности функции

Пусть f : E → R. Эта функция называется непрерывной в точке a E, если для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, ÷òî

из условия

|x − a| < δ, x E

следует, что

|f(x) − f(a)| < ε.

Функция называется непрерывной на множестве E, åñëè îíà

непрерывна во всех точках этого множества. Это будем обозна- чать так: f C(E).

18

Подчеркнем, что понятие непрерывности функции определено только для точек из области определения этой функции.

Если обозначить через ∆x = x − a приращение аргумента, а через ∆y = ∆f(a) = f(x) − f(a) приращение функции, то можно сказать, что функция непрерывна в точке a тогда и

только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Для упрощения изложения будем далее (если не оговорено противное) считать все функции определенными на R.

Определение непрерывности можно сформулировать с использованием понятия окрестности. А именно, функция f(x) называ-

ется непрерывной в точке a, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что из условия

x Uδ(a)

следует, что

f(x) Uε(f(a)).

ПРИМЕР 4.1. Функция f(x) = x непрерывна на всей число-

вой прямой. В самом деле, достаточно в определении непрерывности взять δ = ε.

Заметим, что f(x) непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда

ТЕОРЕМА 4.1. Функция f(x) непрерывна в точке a тогда и

только тогда, когда из xn → a следует f(xn) → f(a).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно воспользоваться определением предела функции на языке последовательностей.

4.2 Свойства непрерывных функций

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть функция f(x) непрерывна в точке a è f(a) > 0. Тогда существует окрестность точки a, в которой f(x) > 0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть f(a) = A > 0. Возьмем ε = A2 . По определению непрерывности существует такое δ > 0, ÷òî äëÿ

âñåõ x Uδ(a) имеем

|f(x) − A| < A2 ,

19

По теореме 2.3 имеем

f(xn) + g(xn) → f(a) + g(a), f(xn)g(xn) → f(a)g(a),

f(xn) → f(a), g(xn) g(a)

а это и означает непрерывность функций, о которых идет речь.

ПРИМЕР 4.2. Полиномиальные фукции

y = Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0

непрерывны на всей числовой прямой. Рациональные функции

y = Pn(x) Qm(x)

непрерывны всюду, где они определены. Это вытекает из примера 4.1 и теоремы 4.3.

ТЕОРЕМА 4.4 (о непрерывности сложной функции). Пусть функция f(x) непрерывна в точке a, а функция g(x) непрерывна

в точке f(a). Тогда функция h(x) = g(f(x)) непрерывна в точ- ке a.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть xn → a. Òàê êàê f(x) непрерыв-

на в точке a, òî f(xn) → f(a). Òàê êàê g(x) непрерывна в точке f(a), òî g(f(xn)) → g(f(a)), как и требовалось.

ПРИМЕР 4.3. Докажем непрерывность функции y = sin x. Имеем

(см. (3.8)). Значит, при x → a получаем sin x → sin a, как и требовалось.

20