MATHAN1

Можество {p} ограничено сверху, а это и значит, что кривая спрямляема. Для ее длины S из (4.4) получаем оценку

Аналогично, если l наименьшее значение функции y′(x) íà [a, b], то имеет место оценка

Пусть x0 произвольная точка интервала (a, b). Расмотрим отрезок [x0, x0+∆x], принадлежащий интервалу (a, b). Применим к соответствующему участку дуги, длина которого ∆s, оценки

(4.5) è (4.6): √ √

1 + l2∆x ≤ ∆s ≤ 1 + L2∆x,

ãäå l è L соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y′(x) на отрезке [x0, x0 + ∆x]. Отсюда

√1 + l2 ≤ ∆∆xs ≤ √1 + L2.

Переходя к пределу при ∆x → 0, получаем, ввиду непрерывности функции y′(x), ÷òî

s′(x0) = lim ∆s = √1 + (y′(x0))2,

∆x→0 ∆x

или, короче, √

s′x = 1 + yx′ 2.

Наиболее простой вид эта формула приобретает, если перейти к записи через дифференциалы:

Это своеобразная "теорема Пифагора" для дифференциалов. Заметим еще, что если кривая задана в параметрической фор-

ìå

x = x(t), y = y(t),

ãäå x(t) è y(t) непрерывно диференцируемые функции, то ввиду инвариантности формы первого дифференциала (см. п.

51

1.3), формула (4.7) остается верной и в этом случае. Если еще учесть, что y′ = xy˙˙ , то мы получаем

Предполагается, что s(t) возрастающая функция от t. ПРИМЕР 4.4. Пусть кривая задана в полярных координатах

r = r(φ).

Тогда она допускает параметрзацию

x = r(φ) cos φ, y = r(φ) sin φ,

и формула (4.8) дает

√

s′φ = r′2(φ) + r2(φ).

4.3. Естественная параметризация кривой

Так как переменная дуга s = s(t) является непрерывной монотонно возрастающей функцией от t, òî è t можно рассматривать как функцию от s : t = ω(s), ãä s изменяется от 0 до длины S всей кривой. Подставляя это выражение t в (4.1), мы получим

Заметим, что начальная точка отсчета может быть взята и не на одном из концов кривой, так что s может принимать и отрицате-

льные значения.

Пусть кривая регулярна, т. е. x˙ 2 + y˙2 ≠ 0. Это значит, что

вектор скорости (x,˙ y˙) кривой всюду отличен от 0. Тогда s′t ≠ 0 и по теореме о производной обратной функции

Следовательно, существуют и непрерывные производные

x′s = φ′(s), ys′ = ψ′(s).

Параметр s называется нормальным параметром, а параметризация (4.9) нормальной, или естественной параметри-зацией.

52

Из (4.8) теперь получаем

(dx)2 + (dy )2 = 1. ds ds

Таким образом, если на кривой выбран нормальный параметр, то вектор скорости имеет единичную длину.

4.4. Кривизна кривой

Рассмотрим график функции y = y(x), которую предположм дважды дифференцируемой, и пусть M произвольная точка на графике этой функции. Проведем через точку M касательную к кривой и пусть α угол, который образует касательная с положительным направлением оси OX. Назовем кривизной кривой (графика функции y = y(x)) предел

53

ПРИМЕР 4.5. Найдем кривизну окружности x2 + y2 = R2. Взяв параметризацию

касательную в этой точке);

2) направлен выпуклостью вблизи точки M в ту же сторону,

что и кривая;

3) имеет ту же кривизну, что и кривая в точке M.

Найдем координаты центра круга кривизны. Считаем, что кривая есть график функции y = y(x), которая предполагается дважды дифференцируемой. Рассмотрим случай y′ > 0, y′′ > 0,

остальные три разбираются аналогично. Имеем

ξ− x = R cos(α + π2 ) = −R sin α,

η− y = R sin(α + π2 ) = R cos α.

Учитывая, что

4.5. Эволюта и эвольвента

Геометрическое место центров кривизны данной кривой называется ее эволютой. Обратно, кривая по отношению к ее эволюте, называется эвольвентой.

54

x2

ПРИМЕР 4.6. Найдем эволюту парболы y = 2 . По формулам (4.13) находим координаты центра кривизны:

ξ = −x3, η = 1 + 32x2.

Это и есть параметрические уравнения эволюты параболы (где x в роли параметра). Исключая из этих уравнений x, получаем

ξ2 = 278 (η − 1)3.

Мы видим, что эволютой параболы служит полукубическая парабола (сделайте чертеж!).

ПРИМЕР 4.7. Найдем эволюту кривой

x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t − t cos t) (0 ≤ t < +∞) (4.15)

Используя формулы (4.14), без труда получаем

ξ = a cos t, η = a sin t.

Искомая эволюта, таким образом, есть окружность радиуса a ñ

центром в начале координат.

Кривая (4.15) была рассмотрена в примере 4.3. Эту кривую описывает конец нити, намотанной на окружность. Это общий

факт: эвольвенту описывает конец нити, разматываемой с эволюты, но доказывать мы этого не будем.

55