2.1.4. Выражение ошибки численного решения через изменение корней характеристического уравнения

Приведем матрицу A к диагональному виду [2.6]:

A = S L S^-1 (2.1.15)

Здесь L –диагональная матрица, составленная из собственных значений Z_k матрицы А, являющихся корнями характеристического уравнения

det(IZ – A ) = 0 , (2.1.16)

S - диагонализирующая матрица, составленная из собственных векторов матрицы А.

Известно, что диагонализирующая матрица S сохраняет свой вид для любой степени А и для любого матричного полинома по степеням А, включая сходящиеся степенные ряды. Диагонализируя матричную экспоненту (4) и умножая ее слева на S^-1 и справа на S, получим:

e^Lh = I + Lh + (Lh)²/2 + …+ (Lh)^r/r! + (Lh)^r+1 /(r+1)! +…

(2.1.17)

Здесь e^Lh – диагональная матрица со скалярными экспонентами

^eZkh по диагонали.

Диагонализируя соотношения (6) и умножая их слева на S^-1 и справа на S, получим:

e^Lh = e^Lh + de^Lh , e^Lh = I+Lh+L²h²…(Lh)^r/r! ,

(2.1.18)

de^Lh = (Lh)^r+1)/(r+1)! + …

Все матрицы в (18) диагональные.

Диагонализируем соотношение (12):

e^(L+dL)h = e^Lh (2.1.19)

Напомним, что матрица dA в (12) характеризует ошибку численного решения в области коэффициентов решаемого уравнения (1).

Аналогично, диагональная матрица dL из (19) характеризует ошибку численного решения в области корней характеристического уравнения (16). Точное решение (19) относительно dL имеет вид:

dL = ln(e^Lh )/h – L (2.1.20)

Диагонализируя (13), получим другю форму точного решения (19):

e^dLh – I = - e^-Lh de^Lh (2.1.21)

В (20) и (21) все матрицы диагональные, поэтому эти соотношения верны для любой строки, то-есть для любого корня характеристического уравнения (16). Учитывая вышесказанное и разлагая входящие в (21) экспоненты в степенные ряды, можно получить приближенные скалярные выражения разной степени точности:

dZ_k h- (Z_kh)^r+1 [1 – Z_kh(r+1)/(r+2) +…]/(r+1) dZ_k h- (Z_kh)^r+1 /(r+1)! (2.1.22)

Как видно из выражений (20) - (22), смещение dZ_k зависит только от

k -того корня Z_k и не зависит от других корней характеристического уравнения.

Таким образом, численное решение системы дифференциальных уравнений (1) с корнями характеристического уравнения

Z₁ , ..., Z_n эквивалентно точному решению другой системы уравнений со смещенными корнями Z_k + dZ_k , k = 1,…n, где смещения корней определяется соотношениями (2.1.20)…(2.1.22).

Если по условиям решаемой задачи можно сформулировать

_{допустимые изменения корней} dZ_k характеристического уравнения, то соотношения (2.1.20) …(2.1.22) позволят осуществить предварительный выбор порядка метода r и шага дискретизации h.