Конспект лекций

по

Начертательной геометрии

Метод проекций

Центральное проецирование

S – центр проецирования

А, В – точки в пространстве

α – плоскость проекций

S₁, S₂ – проецирующие лучи

А', В' – центральные проекции точек А и В на плоскость α

Параллельное проецирование

Это частный случай центрального проецирования, когда центр проецирования отнесен в ∞. Проецирующие лучи превращаются в проецирующие прямые.

S – направление проецирования

S₁, S₂ – проецирующие прямые

А', В' – параллельные проекции точек А и В на плоскость α

Ортогональное проецирование

Это частный случай параллельного проецирования, когда проецирующие прямые перпендикулярны плоскости проекции. При ортогональном проецировании φ=90˚.

Проецирование на две плоскости проекций

А – точка в пространстве

π₁ – горизонтальная плоскость проекции

π₂ – вертикальная (фронтальная) плоскость проекции

А' – горизонтальная проекция точки А

А'' – фронтальная проекция точки А

А_x – проекция точки А на ось x

│А, π₁│=z_A

│А, π₂│=y_A

эпюр точки А

Проецирование на три плоскости проекций

π₃ – профильная плоскость проекции

А''' – профильная проекция точки А

│А, π₃│=х_A

Чтобы построить профильную проекцию точки по двум данным, необходимо из фронтальной проекции провести горизонтальную прямую и отложить на ней от осиz «y» вправо, если он положителен, и влево от оси z, если отрицателен.

Прямая линия

Прямая линия – это множество точек – результат движения (перемещения) точки.

Линия может задаваться двумя проекциями.

Прямые общего и частного положения

Прямая общего положения – прямая не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций.

Прямые частного положения

1. Прямые уровня – это прямые, параллельные одной из плоскостей проекций.

горизонтальная прямая фронтальная прямая профильная прямая

уровня уровня уровня

a║ π₁ b║ π₂ c║ π₃

а''║х, |а|=|а'| b'║х, |b|=|b''| c'х, c''х, |c|=|c'''|

β=(а^ π₂)=(а'^ х) α=(b^ π₁)=(b''^ х) α=(с^ π₁), β=(с^ π₂)

2. Проецирующие прямые – прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций.

горизонтально фронтально профильно проецирующая прямая проецирующая прямая проецирующая прямая

d π₁, d''х l π₂, l'х m π₃, m'║х, m''║х

Определение действительной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона его к плоскостям проекций

Z=Z_B-Z_A, α – угол наклона ([AB]^π₁), β – угол наклона ([AB]^π₂)

Правило. Для определения действительной величины отрезка прямой общего положения необходимо построить прямоугольный треугольник, у которого один катет – горизонтальная (фронтальная) проекция отрезка, второй катет по величине равен разности расстояний концов отрезка, взятой с фронтальной (горизонтальной) проекции отрезков от оси х, гипотенуза этого треугольника равна действительной величине отрезка. Угол между гипотенузой (действительной величиной) и горизонтальной (фронтальной) проекцией отрезка равен углу наклона отрезка к горизонтальной (фронтальной) плоскости проекции.

Теорема 1. Если точка принадлежит прямой, то проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой.

Теорема 2. Если точка делит отрезок в каком-то соотношении, то одноименные проекции точки делят одноименные проекции отрезка в том же соотношении.

Следы прямой

Следы прямой – это точки пересечения прямой с плоскостями проекций.

Н_а – горизонтальный след прямой

F_a – фронтальный след прямой

Взаимное расположение прямых

1. а║b 2. c∩d 3. m║n 4. l – k

1, 2 – конкурирующие точки, то есть точки, расположенные на одной проецирующей прямой.

Теорема о частном случае проецирования прямого угла

Если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая – не перпендикулярна ей, то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется в натуральную величину.