Плоскость

Способы задания плоскости

Плоскость в начертательной геометрии рассматривается как множество точек, линий; результат перемещения точек, линий.

α (А, В, С) β (А,b) γ (с║d) δ (m║n)

α (АВС)

Следы плоскости

Следы плоскости – это линии пересечения плоскости с плоскостями проекций.

α (h_0α; f_0α)

h_0α – горизонтальный след плоскости

f_0α – фронтальный след плоскости

Плоскость общего положения – это плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций.

Плоскости частного положения

Плоскости уровня – это плоскости, параллельные какой-либо плоскости проекций.

Горизонтальная плоскость Фронтальная плоскость

уровня уровня

γ║π₁ σ║π₂

f_0γ║x h_0σ║x

Плоскости проецирования – это плоскости, перпендикулярные какой-либо плоскости проекций.

Горизонтально проецирующая Фронтально проецирующая

плоскость плоскость

α π₁ β π₁

f_0α  х h_0β  х

Теорема о принадлежности точки к плоскости

Если точка принадлежит прямой, принадлежащей плоскости, то она принадлежит этой плоскости.

Ml^lα(a║b)Mα

Если прямая принадлежит плоскости, то следы прямой принадлежат одноименным следам плоскости.

Особые линии плоскости

Горизонталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций.

Все горизонтали одной и той же плоскости параллельны друг другу и параллельны горизонтальному следу плоскости.

Фронталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций.

Фронтали одной и той же плоскости параллельны друг другу и параллельны фронтальному следу плоскости.

Линия наибольшего наклона – это линия, принадлежащая плоскости и перпендикулярная горизонтали плоскости (линия наибольшего ската) или фронтали плоскости (линия наибольшего наклона).

Взаимное положение прямых и плоскостей

1) Параллельность прямой и плоскости

Признак. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, расположенной в плоскости.

m║l^lα(a∩b) m║α

2) Параллельность двух плоскостей

Признак. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны между собой.

α(а∩b) ^ β(c∩d) ^ a║c ^ b║dα║β

3) Перпендикулярность прямой и плоскости

Признак. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то на эпюре ее фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции фронтали плоскости, а ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости.

4)Перпендикулярность двух плоскостей

Признак. Если в одной из двух плоскостей есть прямая, перпендикулярная другой плоскости, то эти две плоскости перпендикулярны друг другу.

5) Пересечение прямой и плоскости

γπ₂

а – прямая общего положения

1) Заключить прямую в проецирующую плоскость

γ  а  γπ₂

2) Строим линию пересечения

γ ∩ α(АВС) = (1,2)

3) (1,2) ∩ а = К

α ∩ а = К

6) Пересечение плоскостей

α ∩ β

Для определения α ∩ β = l – линии пересечения плоскостей общего положения необходимо привлечь семейство посредников, это могут быть плоскости уровня или проецирующие.

1. Применяем посредники – плоскость уровня γ₁║π₁ (горизонтальная плоскость уровня).

1.1 Найдем точки и линии пересечения посредника с плоскостями α и β

γ₁ ∩ α = (1,2) = m₁

γ₁ ∩ β = (3,4) = p₁

1.2 m₁ ∩ p₁ = К₁ – первая общая точка для плоскостей

2. Вводим второй посредник

γ₂║π₁

2.1 γ₂ ∩ α = (5,6) = m₂

γ₂ ∩ β = (7,8) = p₂ 2.2 m₂ ∩ p₂ = К₂ 3. (К₁; К₂) – α∩β) = l