2.2.3. Влияние аналогового интегратора на корни характеристического уравнения

Структурная схема аналогового интегратора представлена на рис.1.

Примерные значения параметров схемы [2.9]: коэффициент усиления операционного усилителя К = 10⁸, входное сопротивление R = 1 Мом, емкость конденсатора С = 1мф, сопротивление утечки конденсатора R_k = 10000 Мом. Передаточную функцию W_a(p) схемы можно привести к следующему виду:

W_a(p) = K_a /(p + a) ; K_a = RC = 1сек ; a = 10^-4 1/сек

С учетом инерционных свойств операционного усилителя, передаточную функцию W_a(p) аналогового интегратора примем:

W_a(p) = 1 /(p + a)(1+Tp) ; T = 10^-4 сек (2.2.9)

Структурная схема моделирования уравнения (1) представлена на рис.2.

Напряжения U_k , k = 0…n моделируют производные x^(k) . При идеальных интеграторах с передаточной фикцией

W_и(p) = 1/p (2.2.10)

передаточная функция структурной схемы рис.5.2 имеет вид

W(p) = 1/( pⁿ + a_n-1p^n-1 + a_n-2p^n-2 +…+ a₁p + a₀) , (2.2.11)

что соответствует уравнению (1).

Характеристическое уравнение имеет форму (2), а при известных корнях – форму (3). При наличии в уравнении (3) m вещественных корней и (n-m)/2 комплексных корней, его можно привести к виду:

P(p) = П_к=1^(n-m)/2 (p²+2g_kp+d_k²)П_i=1^m(p+q_i) = 0 (2.2.12)

Определение корней уравнения (12) сводится к приравниванию нулю каждого из сомножителей. Апериодическим составляющим переходного процесса соответствуют сомножители (моды) с вещественными корнями:

(p+q_i) = 0 , p_i = - q_i , i = 1…m (2.2.13)

Колебательным составляющим переходного процесса соответствуют сомножители (моды) с комплексными корнями:

(p²+2g_kp+d_k²) = 0 , p_1k,2k = -g_k,

k = 1…(n – m)/2 (2.2.14)

Рассмотрим теперь работу схемы на рис.2. при аналоговых интеграторах с передаточной функцией (9), которую представим в следующем виде:

W_a(p) = 1/D(p), D(p) = (p+a)(Tp+1) (2.2.15)

Здесь D(p) – оператор аналогового интегратора.

Сравнивая передаточные функции идеального (10) и аналогового (15) интеграторов, можно видеть, что передаточную функцию схемы моделирования рис.2.2. при аналоговых интеграторах можно получить, подставив в (11) вместо оператора p из (10) оператор D из (15):

W(p) = 1/( Dⁿ + a_n-1D^n-1 + a_n-2D^n-2 +…+ a₁D + a₀)

(2.2.16)

Характеристическое уравнение (12), соотношения (13) и (14) для аналоговых интеграторов также формируются путем замены p на D. Для вещественных корней, из (13)

(D + q_i) = (p + a )(Tp + 1) + q_i = 0 (2.2.17)

Отсюда, при малых a и T, получим:

p_i1 = - q_i – a = p_i – a ; p_i2 = - 1/T + q_i ; i = 1…m (2.2.18)

Из выражения (18) видно, что каждому вещественному корню р_i характеристического уравнения (2) исходного уравнения соответствуют два корня схемы моделирования (рис.2.2) с аналоговыми интеграторами. Один из них – p_i1 – смещенный на малую величину а корень p_i . Второй, дополнительный, корень p_i2 – располагается вблизи большой по модулю величины – 1/T .

Для комплексных корней (14), используя (15), получим уравнение четвертой степени:

(D²+2g_kD+d_k²) = p⁴ + 2p³T(1+aT) + p² (1+ 4aT+a²T²+2g_kT) + 2p(1+aT)(a+g_k) + (d_k² + 2g_ka + a²) = 0 (2.2.19)

Проектируем приближенное (для малых a и T) решение уравнения (19) ввиде:

(p² + 2g_kp + d_k²)(T²p² + 2Tz_kp +1) = 0 (2.2.20)

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях p в уравнениях (19) и (20), можно получить приближенные соотношения:

g_k ²= g_k² + 2d_ka ; d_k = d_k +(a – g_k²T)

z_k = 1 – T(d_k +a) (2.2.21)

Из выражений (20) и (21) можно видеть, что аналоговые интеграторы приводят к смещению основных комплексных корней (параметры g_k и d_k ) , и к появлению пары дополнительных комплексных корней с вещественной частью, близкой к –1/T и затуханием z_k ,близким к единице.

Итак, применение аналоговых интеграторов для решения дифференциальных уравнений приводит к смещениию корней характеристического уравнения и появлению дополнительных корней.

Мерой пригодности аналоговых интеграторов для решения конкретной задачи является малость смещения основных корней и достаточно большая удаленность дополнительных корней от мнимой оси комплексной плоскости в сторону отрицательных значений. Для определенного типа аналоговой модели (с известными a и T) класс решаемых задач задается ограничениями на корни характеристического уравнения:

1/T>>[Re(p_k)] >>a ; 1/T>>[Im(p_k)] >>a